【同步习题】3．两条直线平行与垂直的判定

[A基础达标]1．下列说法中正确的是()A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B．平行的两条直线的倾斜角一定相等C．垂直的两直线的斜率之积为－1D．只有斜率相等的两条直线才一定平行答案：B2．直线l过(m，n)、(n，m)两点，其中m≠n，mn≠0，则()A．l与x轴垂直B．l与y轴垂直C．l过原点和第一、三象限D．l的倾斜角为135°解析：选D.直线的斜率k＝eq\f(m－n,n－m)＝－1，所以直线l的倾斜角为135°.3．若过点A(2，－2)，B(5，0)的直线与过点P(2m，1)，Q(－1，－m)的直线平行，则m的值为()A．－1 B．1C．2 D．eq\f(1,2)解析：选B.由eq\f(0－（－2）,5－2)＝eq\f(－m－1,－1－2m)，得m＝1.故选B.4．已知直线l1经过点A(0，－1)和点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,a)，1))，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为()\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．6 D．－6解析：选D.由题意得l1∥l2，则eq\f(1＋1,－\f(4,a)－0)＝eq\f(－2－1,0－1)，解得a＝－6.5．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④RP⊥QS.正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为kPQ＝eq\f(－4－2,6＋4)＝－eq\f(3,5)，kSR＝eq\f(12－6,2－12)＝－eq\f(3,5)，kPS＝eq\f(12－2,2＋4)＝eq\f(5,3)，kQS＝eq\f(12＋4,2－6)＝－4，kPR＝eq\f(6－2,12＋4)＝eq\f(1,4).又P、Q、S、R四点不共线，所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.故①②④正确．6．已知定点A(1，3)，B(4，－2)，在y轴上求一点C，使得AC⊥BC，那么C点坐标是________．答案：(0，2)或(0，－1)7．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________．解析：设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由AD⊥BC得kAD·kBC＝－1，所以eq\f(1－2,m－2)×eq\f(3－1,4－0)＝－1⇒m＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)8．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，则顶点D的坐标为__________．解析：设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0－1,1－0)＝\f(3－n,4－m)，,\f(n－1,m－0)＝\f(3－0,4－1)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝4，))所以点D的坐标为(3，4)．答案：(3，4)9．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行．解：(1)由kAB＝eq\f(m－3,2m2)＝－1，得2m2＋m－3＝0，解得m＝－eq\f(3,2)或1.(2)由eq\f(－7－2,0－3)＝3及垂直关系，得eq\f(m－3,2m2)＝－eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(3,2)或－3.(3)由eq\f(m－3,2m2)＝eq\f(9＋3,－4－2)＝－2，解得m＝eq\f(3,4)或－1.10．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，直线l2与l1平行，且l2是线段AB的垂直平分线，A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．解：如图，因为直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以l1的斜率k1＝tan60°＝eq\r(3).由题意知直线AB的斜率为eq\f(m－1－2,1－m)＝eq\f(m－3,1－m)，所以线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝－eq\f(1－m,m－3)＝eq\f(m－1,m－3).因为l1与l2平行，所以k1＝k2，即eq\r(3)＝eq\f(m－1,m－3)，解得m＝4＋eq\r(3).[B能力提升]1．已知直线l1经过A(－3，4)，B(－8，－1)两点，直线l2倾斜角为135°，那么l1与l2()A．垂直 B．平行C．重合 D．相交但不垂直解析：选A.因为直线l1经过A(－3，4)，B(－8，－1)两点，所以直线l1的斜率k1＝eq\f(4－（－1）,－3－（－8）)＝1；因为直线l2倾斜角为135°，所以直线l2的斜率为k2＝tan135°＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2，故选A.2．已知点A(0，1)，O(0，0)，点B的横坐标与纵坐标满足x＋y＝0.若AB⊥OB，则点B的坐标是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))C．(－1，1) D．(1，－1)解析：选A.设B的坐标为(x，－x)，因为AB⊥OB，所以eq\f(－x－1,x)×eq\f(－x,x)＝－1且x≠0，所以x＝－eq\f(1,2)，所以点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).3．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x，6)且l1∥l2，则logeq\s\do9(\f(1,9))x＝__________．解析：因为l1∥l2，所以eq\f(6＋2,x＋1)＝2，所以x＝3.故logeq\s\do9(\f(1,9))3＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)4．(选做题)在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．解：四边形OPQR是矩形．OP边所在直线的斜率kOP＝t，QR边所在直线的斜率kQR＝eq\f(（t＋2）－2,（1－2t）－（－2t）)＝t，OR边所在直线的斜率kOR＝－eq\f(1,t)，PQ边所在直线的斜率kPQ＝eq\f(（2＋t）－t,（1－2t）－1)＝－eq\f(1,t).所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，所以OP∥QR，OR∥PQ，所以四边形OPQR是平行四边形．又kQR·kOR＝t×eq\b\lc\