专题用勾股定理解决最短路径问题（原卷版）

/11/11/八年级下册数学《第十七章勾股定理》专题用勾股定理解决最短路径问题题型一用计算法求平面中的最短问题题型一用计算法求平面中的最短问题【例题1】如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．【变式1-1】（2022春?朝天区期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了步路．（假设2步为1米）【变式1-2】如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【变式1-3】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据：21=（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）【变式1-4】（2021秋?大名县期末）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．（1）求证：BD⊥AC；（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．题型二用平移法求平面中的最短问题题型二用平移法求平面中的最短问题【例题2】如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（）A．13 B．12 C．8 D．5【变式2-1】（2022春?梁山县期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（）A．14 B．6+3 C．8+2【变式2-2】如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．【变式2-3】（2022?南京模拟）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要米长．【变式2-4】（2022秋?丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．题型三用对称法求平面的最短问题题型三用对称法求平面的最短问题【例题3】（2022春?苍溪县期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．【变式3-1】（2022春?雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km,BB′=4km,且A′B′=8km.（1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明．（2）求这个最短距离．【变式3-2】（2021秋?新吴区期中）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．【变式3-3】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．【变式3-4】如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．题型四用展开图求长方体中的最短问题题型四用展开图求长方体中的最短问题【例题4】（2022秋?南关区校级期末）如图，一长方体木块长AB＝6，宽BC＝5，高BB1＝2．一只蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点C1位置最短路径的长度为（）A．89 B．85 C．125 D．80【变式4-1】如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）A．317cm B．10cm C．55【变式4-2】如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm．【变式4-3】边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P【变式4-4】（2022秋?安岳县期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走m的路程．【变式4-5】在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，求它需要爬行的最短路径的长．【变式4-6】（2021春?封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18 B．15 C．12 D．8【变式4-7】（2022秋?南海区期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处，若AB＝3，BC＝4，CC1＝5；（1）请你在下面网格（每个小正方形边长为1）中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为“面积法”．请“面积法”求点B1到最短路径的距离．【变式4-8】如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm．在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为cm．【变式4-9】（2022春?新市区校级期中）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为m的木棒；（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要m；（3）如图3，长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？题型五用展开图求圆柱体的最短问题题型五用展开图求圆柱体的最短问题【例题5】（2022秋?惠济区校级期末）一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面周长为12cm，高为8cm，则蚂蚁所走过的最短路径是cm．【变式5-1】（2022秋?城阳区期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为8cm，高为9cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）cm．【变式5-2】（2022秋?烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是丈．【变式5-3】国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（）A．7米 B．11米 C．13米 D．5米【变式5-4】（2022秋?高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为2πcm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为cm【变式5-5】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直