专题23导数单调性极值讨论求参

/34/34/专题23导数单调性、极值讨论求参目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】导函数图像判断极值 1【题型二】原函数与导函数图像互相判断 3【题型三】原函数导函数图像解不等式 5【题型四】求函数最值极值（不含参） 7【题型五】极值求参 9【题型六】单调性求参 11【题型七】不是单调函数求参 13【题型八】存在单调区间求参数 14【题型九】多个单调区间求参 16【题型十】“两根型”极值点不等式与范围 17【题型十一】多参型极值求范围 19培优第一阶——基础过关练 21培优第二阶——能力提升练 25培优第三阶——培优拔尖练 30【题型一】导函数图像判断极值【典例分析】已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为（????）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据函数的极值点要满足两个条件，结合导函数的图象逐个分析即可.【详解】对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右的导数值异号，由图象可知，导函数与轴有5个交点，因为在0附近的左侧，右侧，所以0不是极值点．其余四个点的左、右的导数值异号，所以是极值点，故极值点的个数是4.故选：A.【提分秘籍】基本规律通过导函数判断极值：1.导函数零点。2.零点两侧异号（穿越零点）；3.导函数先正后负对应极大值，先负后正对应极小值【变式训练】1.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（???????）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.故选：A.2.如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①x=-2是函数的极值点；②x=1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增．则正确命题的序号是（????）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【分析】根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断.【详解】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，故①正确；对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致，故②错误；对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；对于④，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.故选：D3.已知函数的导函数是，的图象如图所示，下列说法正确的是(????)A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增C．函数在处取得极小值 D．函数共有1个极大值点【答案】D【分析】根据导数正负与原函数单调性的关系即可判断求解．【详解】对于A，在，>0，f(x)单调递增，故A错误；对于B，在，不恒为正或负，故f(x)不单调，故B错误；对于C，在，恒成立，故f(x)单调递增，故x=3不是极值点，故C错误；对于D，在，>0，f(x)单调递增，在(－1,1)，<0，f(x)单调递减，故x=－1是f(x)的极大值点，且是唯一的极大值点，故D正确．故选：D.【题型二】原函数与导函数图像互相判断【典例分析】设是函数的导函数，在同一个直角坐标系中，和的图象不可能是（????）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据常见函数的导函数分析，结合导函数为原函数的切线斜率关系判断即可【详解】对A，和可满足，故A可能成立；对B，和可满足，故B可能成立；对C，和可满足，故C可能成立；对D，因为导函数为原函数的斜率函数，易得若任一一个函数图象为导函数，则原函数的切线斜率应该恒非负或非正，故不满足，故D错误；故选：D【提分秘籍】基本规律原函数与导函数图像：原函数“看增减”，原函数增减的“拐点”（拐点）是导函数的零点。导函数“看正负”，导函数的零点，是原函数增减的“拐点”（极值点）【变式训练】1.在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象，下列可能正确的序号是（????）A．①② B．①③ C．③④ D．①④【答案】A【分析】利用导数与函数之间的关系．把握住导数的正负确定出函数的单调区间，根据变化趋势选出不恰当的图象，从而可得出答案．【详解】解：根据时，递增，时，递减可得，①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误，④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误．故选：A.2.．设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，下列不可能正确的是（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据导函数与函数的的单调性之间的关系，判断图象的变化情况，可得答案.【详解】对于A，如果把作为的图象，则，原点处取等号，则单调递增，故A正确；对于B，如果把作为的图象，则，则单调递增，故B正确；对于C，如果把作为的图象，则，则单调递增，故C正确；对于D，如果把作为的图象，则，在个别点处取等号，则单调递增，与图中不符；如果把作为的图象，则在图象所对应的范围内，在个别点处取等号，则单调递减，与图中不符；故D不可能，故选：D3.已知函数，若是的一个极小值点，则及其导函数的图象可能是（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，则，由题意得，即，再根据极小值点的定义，采用排除法即可求出答案．【详解】解：设，则，由题意得，且在的左侧附近时，，在的右侧附近时，，∴，且在的左侧附近时，，在的右侧附近时，，故排除A，C；而B选项中，函数在上存在一个极小值点，但由图可知，在上，恒成立，故排除B；故选：D．【题型三】原函数导函数图像解不等式【典例分析】已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据原函数单调性与导函数符号之间的关系，分类讨论，结合一元二次不等式的解法运算求解.【详解】由的图像可得：x00对于可得：当时，则，∴，解得；当时，则，故，不合题意，舍去；当时，则，∴，解得；当时，则，故，不合题意，舍去；当时，则，∴，解得；综上所述：不等式的解集为.故选：D.【提分秘籍】基本规律解含导函数的不等式，按照正负分类讨论。【变式训练】1.已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果.【详解】对于不等式对，当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．综上，原不等式的解集为．故选：A2.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调区间判断导数的正负性，列不等式组求解即可．【详解】因为的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以当时，，当时，，等价于，或，解得或．故选：B3.函数的图象如图所示，则不等式的解集（???）A． B．C． D．【答案】A【分析】先通过原函数的单调性判断导函数的正负，在判断的正负即可【详解】由函数的单调性可得，在上，在上又因为在为负，在为正故的区间为故选：A【题型四】求函数最值极值（不含参）【典例分析】函数的极小值为（????）A． B．1 C．2 D．e【答案】B【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值.【详解】解：由，得，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值为.故选：B.【提分秘籍】基本规律1.函数的最大值不一定是函数的极大值2.函数在区间上连续，则在区间上一定有最值，但不一定有极值【变式训练】1.已知函数，则该函数的极小值为（????）A． B．3 C．0 D．1【答案】A【分析】利用函数的极小值的定义求解.【详解】解：由题意得，令，得或－1，当或时，，当时，，所以，所以极小值为e．故选：A．2.已知函数，，则函数的最大值为______.【答案】0【分析】先对函数求导，由导数的方法判定函数单调性，进而可求出最值.【详解】由得，当时，，所以函数单调递增；当时，，所以函数单调递减；因此函数在处取得极大值，也是最大值；即.故答案为：0.3.设，其中?，则?的极大值点个数是（????）A．1009 B．1010 C．2019 D．2020【答案】A【分析】先求出其导函数，求得函数的单调区间，结合极值点的概念，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，令，即，解得，令，即，解得，所以函数在递增，在递减，故函数的极大值点为，因为，即，共1009个.故选：A.【题型五】极值求参【典例分析】已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得的取值范围.【详解】的定义域是，，令，所以在区间递减；在区间递增.要使有两个极值点，则，此时，构造函数，所以在上递增，所以，所以，所以实数a的取值范围.故选：D【提分秘籍】基本规律极值求参数：导函数有“变号”零点；对于导函数零点，可以分类讨论求参，也可以分离参数数形结合求解求导后世一元二次型，则可以用“根的分布”求参【变式训练】1.已知函数存在极大值点和极小值点，则实数可以取的一个值为（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得的导数，可得有两个不等的正根，等价于的最小值小于0，分别讨论、，求得的导数，判断的单调性和最值，解不等式可得m的取值范围，再结合选项即可得答案.【详解】解：因为，，所以，由题意可得有两个不等的正根，则的最小值小于0，又因为，，当时，单调递增，不合题意；当时，由图象可得，一定有变号的正零点，令的根为，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取极小值，且为最小值，所以，化为，由于在上单调递增，且时，，所以的解为，则，只有A选项才满足，故选：A.2.在等比数列中，是函数的极值点，则a5＝（????）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知：是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.【详解】因为，所以.又因为是函数的极值点，即是方程的两根，则有，由为等比数列可知：，因为，且，所以，则有，所以，故选：.3.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】在在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解.【详解】因为函数在内无极值，所以在在内无变号零点，根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增，所以或即可，解得或，故选：C.【题型六】单调性求参【典例分析】已知函数，若在上是单调减函数，则实数a的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函数的导函数，根据题意对恒成立，转化为关于的不等式组求解.【详解】解：由，得，函数在上为单调减函数，对恒成立，即对恒成立，，解得，的取值范围是.故选：A.【提分秘籍】基本规律单调性求参：单调增函数，则导函数大于0单调减函数，则导函数小于0注意在定义域内，求参时是否能取“等”【变式训练】1.已知在区间上为单调递增函数，则实数m的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导函数，推出在区间上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数的取值范围．【详解】在区间上为单调递增函数。则在区间上恒成立即在区间上恒成立。设，函数在上是减函数，则所以．故选：D．2.“”是“函数是上的单调增函数”的（????）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据单调性得到恒成立，计算得到，根据范围的大小关系得到答案.【详解】函数是上的单调增函数，故恒成立.即恒成立，，故.故“”是“函数是上的单调增函数”的必要不充分条件.故选：B3.已知函数是定义在上的单调递增函数，，当时，恒成立，则的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数是定义在上的单调递增函数，则每一段都为增函数，且的右侧的函数值不小于左侧函数值求得a的范围，再根据时，恒成立，转化为恒成立求解.【详解】令，则，所以在上递增，因为函数是定义在上的单调递增函数，所以，解得．又当时，恒成立，即，即，当时，，显然成立；当时，化简可得．令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最小值0，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以．综上可知．故选：C．【题型七】不是单调函数求参【典例分析】函数在区间上不单调，实数的范围是（????）A．或或 B．或C． D．不存在这样的实数【答案】B【分析】求导，得到函数的单调区间，若在区间上不单调，故或者计算即得解.【详解】由于令或，故在单调递增；令，故在单调递减.函数在区间上不单调，故：即或者即故实数的范围是：或故选：B【提分秘籍】基本规律函数在区间上不单调在区间上存在极值点；【变式训练】1.已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】求导得，等价于在区间的函数值有正有负，解不等式组即得解.【详解】解：，令，由于函数在内不是单调函数，则在区间的函数值有正有负，而二次函数开口向上，对称轴为轴，所以在区间上递增，所以，解得.所以实数的取值范围是.故选：A.2.已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】由于函数在不是单调函数，则在内存在极值点，求导即可得结果．【详解】由于函数在不是单调函数，则在内存在极值点，所以在内有解，即在内有解，．故选：D3.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】把在区间上不是单调函数，转化为在区间上有零点，用分离参数法得到，规定函数，求出值域即可得到实数的取值范围.【详解】因为在区间上不是单调函数，所以在区间上有解，即在区间上有解．令，则．当时，；当时，．故在上单调递减，在上单调递增．又因为，且当时，所以在区间上单调递增，所以，解得.故选：A【题型八】存在单调区间求参数【典例分析】已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把问题转化为函数在区间上存在子区间使得不等式成立，列出不等式求解即可.【详解】∵函数在区间上存在单调增区间，∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立，，设，则或，即或，得或，则；故选：A．【提分秘籍】基本规律函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.【变式训练】1.已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可【详解】由题,,因为,则若函数在区间存在单调递减区间,即在上有解,即存在,使得成立,设,则,当时,,所以,即,故选:B2.已知函数在上不是单调减函数，则的取值范围是________．【答案】或．【分析】根据导数与原函数单调性的关系，若函数不是单调减函数，说明导函数有大于零的值，再根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵函数，∴导函数，若函数在上不是单调减函数，则函数的判别式，即，解得或．3.若函数在内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】求定义域，求导，分和两种情况，结合函数单调性，求出，得到答案.【详解】定义域为，，，当时，恒成立，故函数在上单调递减，不合题意，舍去；当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，因为在内存在单调递增区间，所以，故实数a的取值范围是.故选：A【题型九】多个单调区间求参【典例分析】若函数，有6个不同的单调区间，则的取值范围是_______．【答案】【详解】试题分析：由于的定义域为，并且为偶函数，所以要使在上有个不同的单调区间，只需在上有个不同的单调区间即可，因为时，，则只需，解得，故的取值范围是．【变式训练】1.已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数的导函数，利用导数有两个不等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根，则满足，解得或，即实数的取值范围是.故选：C.2.已知函数，若函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是__________.【答案】.【解析】对求导，可得，由函数存在三个单调区间，可得有两个不等实根，即有两个不等实根,令，对其求导，可得其单调区间与极值，可得的取值范围.【详解】解：由，可得，函数，若函数存在三个单调区间即0有两个不等实根，即有两个不等实根，转化为与的图像有两个不同的交点令，即，即在上单调递减，在上单调递增，，当时，，所以的范围为,故答案为：3.函数恰有个单调区间的必要不充分条件是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得，然后对分类讨论求出使有两个不等根的的范围，结合充分必要条件的判定方法得答案．【详解】解：由，得，当时，由，解得，函数有两个单调区间；当时，由，解得，即，此时函数恰有3个单调区间；当时，，解得，即，此时函数恰有3个单调区间．综上所述是函数恰有3个单调区间的充要条件，分析可得是其必要不充分条件．故选：．【题型十】“两根型”极值点不等式与范围【典例分析】已知函数有两个极值点，则（????）A．或 B．是的极小值点 C． D．【答案】A【分析】根据函数有两个极值点，则导数为有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.【详解】因为函数有两个极值点，所以有两个根,所以,,故选项错误;因为有两个根,所以,即得,解得或,故选项正确;因为有两个根,在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,故选项错误;故选:A.【变式训练】1.设是函数的两个极值点，且，则实数b的最小值为（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意求导，从而可得是方程的两个根，利用根与系数的关系可得，，从而可化简，从而解得．【详解】解：∵，∴，∴是方程的两个根，∴，，∵，，∴两根一正一负，∴，即，故.设，设，对称轴方程为，所以当时，函数.故.故选：B．2.已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（????）A． B．C． D．有极小值点【答案】C【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，利用函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数，则，当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为函数有两个零点且，对A，则，且，所以，解得，所以A项正确；对B，，且，，故，，所以，所以B正确；对C，由，则，但不能确定，所以C不正确；对D，由函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值点为，且，所以D正确；故选：C.3.设，是函数的两个极值点，若，则实数的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求函数的导数，再根据极值点的分布，求参数的取值范围.【详解】，则，是的两相异实根，则解得．故选:D【题型十一】多参型极值求范围【典例分析】已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（????）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】讨论的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解.【详解】设，，若，对任意恒成立，则，对任意恒成立，当时，在同一坐标系中作出函数的图象，显然，由图可知，对任意不恒成立；当时，在同一坐标系中作出函数的图象，由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时，由，求导，设，解得，且，∴当的切线斜率为1时，切点坐标为，故，所以即两边同除以，，令求导令，得，即当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以当，函数取到最大值，且故的最大值为故选：C.【变式训练】1.，不等式恒成立，则的最大值是（????）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导函数研究其单调性，得到，进而得到恒成立，求出函数，的最值，得到答案.【详解】令，，，显然，当时，恒成立，即在上单调递增，无最小值，舍去；当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，因为，不等式恒成立，所以，所以，恒成立，令，，，当时，，当时，，所以，所以，则的最大值为.故选：D2.．设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为，再令，得到，求其最大值即可.【详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立，令，则在上恒成立，令，所以，若，则，在递增，当时，，不等式不成立，故，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，所以，所以，所以，令，则，所以，当时，当时，，所以当时，取得最小值，所以的最小值是故选：D3.已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】设为函数的两个零点，其中，，由根与系数的关系得，.表示则，再运用基本不等式可得，令，求导，得出在所给区间内导函数的正负，原函数的单调性，可得选项.【详解】不妨设为函数的两个零点，其中，，则，.则，由，，所以，可令，当，恒成立，所以.则的最大值为，此时，，所以，时，，.所以的取值范围是.故选：B.分阶培优分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．函数的最小值是（????）A． B．4 C． D．3【答案】C【分析】利用导数讨论单调性并求最值.【详解】由题意可得，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，故的最小值是．故选:C.2．函数的单调递增区间为（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】求导，然后令，可求出结果.【详解】，，令，得，所以函数的单调递增区间为.故选：C3．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（????）A．为的极小值点 B．2为的极大值点C．在区间上，是增函数 D．在区间上，是减函数【答案】B【分析】根据导函数符号与函数单调性的关系，结合极值点定义判断即可.【详解】对AD，在，，单调递增；在，，单调递减，故为的极大值点，AD错；对B，在，，单调递增；在，，单调递减，故2为的极大值点，B对；对C，在，，单调递减；在，，单调递增，C错.故选：B4．已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】对求定义域，求导，观察出导函数单调递增，结合零点存在性定理得到，对求定义域，求导，得到其单调性和极值，最值，得到，判断出.【详解】的定义域为，在上单调递增，且，，所以，．的定义域为，由，当时，，当时，，故在处取得极大值，也是最大值，，即．所以．故选：A5．若函数在内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】求定义域，求导，分和两种情况，结合函数单调性，求出，得到答案.【详解】定义域为，，，当时，恒成立，故函数在上单调递减，不合题意，舍去；当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，因为在内存在单调递增区间，所以，故实数a的取值范围是.故选：A6．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数分析可知，函数在上单调递增，从而可知函数在上为增函数，利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】当时，，则，所以，函数在上单调递增，由题意可知，函数在上为增函数，当时，为增函数，则，可得，且有，解得.综上所述，.故选：B.7．已知是的导函数，，则下列结论正确的为（????）A．与的图像关于直线对称B．与有相同的最大值C．将图像上所有的点向右平移个单位长度可得的图像D．当时，与都在区间上单调递增【答案】BC【分析】先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移,根据函数的对称性,根据求三角函数的值域，根据求解三角函数的单调性等分别验证ABCD选项的正误.【详解】已知的图像与的图像关于直线对称，，故A选项错误；，其中，最大值为，，其中，最大值为，故B选项正确；，.将的图像向右平移个单位得的图像，故C选项正确；当时，，，当时，在上单调递增，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递减，综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.故选：BC8．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为偶函数，，且，则不等式的正整数解以是（????）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性、导数的性质、通过构造新函数逐一判断即可.【详解】因为为偶函数，所以所以为即的对称轴，即，因为，所以，所以为的对称中心①，，所以，所以在R上单调递减，记，即，由①可知，所以，因为，所以，所以．故选择：AB培优第二阶——能力提升练1．已知函数，则（????）A．在上单调递增 B．无极小值C．无最小值 D．有极小值，极小值为【答案】ABC【分析】求导得，判断的正负情况结合原函数的定义域和奇偶性可得ABC正确.【详解】易知函数的定义域为且为偶函数，因为，当时，，单调递减，结合偶函数图像关于轴对称知在上单调递增，则A正确；易知单调函数在开区间内无极值和最值，则在和内均没有极值和最值，则B,C正确，D错误.故选：ABC.2．已知函数在处有极值，且极值为8，则（????）A．有三个零点B．C．曲线在点处的切线方程为D．函数为奇函数【答案】AC【分析】由条件根据极值与导数的关系求，判断B，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断A，根据导数的几何意义求切线，判断C，根据奇函数的定义判断D.【详解】由题意得，又，又，解得(舍去）或，故B项错误；，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，，，所以有三个零点，故A项正确；又，，则曲线在点处的切线方程为，即，故C项正确；，故D项错误.故选：AC.3．已知函数，下列命题正确的是（????）A．若是函数的极值点，则B．若是函数的极值点，则在上的最小值为C．若在上单调递增，则D．若在上恒成立，则【答案】AB【分析】对于A，由可求出a的值，再检验；对于B，由选项A，可求得，然后利用导数可求出在上的最小值；对于C，由题意可得，利用分离常数法得到在上恒成立.令，利用导数即可求出a的范围；对于D，将问题转化为即在上恒成立.令，再利用导数求出其最大值即可.【详解】对于A，由得.因为是函数的极值点，所以，得.此时.所以当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增，所以是函数f(x)的极小值点，所以A正确.对于B：由选项A，可知，则.由，得或；由，得.所以在单调递减，在，单调递增.所以当时，有在单调递减，在单调递增.所以时，取得最小值.故B正确；对于C：因为在上单调递增，所以，即，得在上恒成立.令，则，所以在单调递增，所以当，有，即，所以.故C错误.对于D：由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立.令，则，所以在上单调递增，所以.所以.故D错误.故选：AB4．已知函数，则下列结论正确的是（????）A．函数只有两个极值点B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为C．方程共有4个根D．若，，则的最大值为2【答案】ACD【分析】对函数求导，利用导数研究函数的极值判断；分析函数的性质，借助图象判断；结合图象和函数的零点判断；由结合取最大值的x值区间判断D作答.【详解】对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项正确；对于，由选项知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项错误；对于，由得：，解得，令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，因为，所以，所以方程有两解；又因为，结合图象可知：也有两解，综上：方程共有4个根，故选项正确；对于，因为，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，所以t的最大值为2，故选项正确.故选：CD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.5．已知函数若方程有两个不同的实数根，且，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】分析函数的性质并画出图象，结合图象确定的取值范围，再构造函数，求出最大值，建立不等式求解作答.【详解】当时，函数单调递增，取值集合为，函数图象与y轴交于点，当时，，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，而，在坐标平面内作出函数的图象，如图，方程有两个不同的实数根，即直线与函数的图象有两个不同交点，交点横坐标为，不妨令，观察图象知，直线必与函数的图象有公共点，则，，由得：，由知，，即有，，则有，，令函数，当时，，即函数在上单调递增，，依题意，，因此，解得，综上得，所以实数a的取值范围是.故答案为：6．若函数在上存在最小值，则实数的取值可以是______.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，函数的极小值在内，即可求出实数的取值范围.【详解】因为，所以，令得，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当，有极小值，因为函数在上存在最小值，所以，解得，故答案为：内任一值均可.7．已知函数，，若，，则的最大值为______．【答案】【分析】对已知等式进行同构可得，令，利用导数可求得单调递增，由此可得，从而将所求式子化为；令，利用导数可求得，即为所求最大值.【详解】由得：；由得：，；，令，，，在上单调递增，；令，则，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进行同构变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所求式子化为单变量的式子来进行求解.8．已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是_____．【答案】【分析】设，令，要使恒成立，即恒成立.求出最小值，令得到，再求出的取值范围即可.【详解】设，令，要使恒成立，即恒成立.，由可得，在上有一个解，即，，又，，因此当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.则，，将代入，得，设，，令，解得.因此当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.，即的取值范围是，故的取值范围是.故答案为：培优第三阶——培优拔尖练1．函数在定义域上的最小值为_________.【答案】【分析】化简得，构造函数，再利用导数求出函数的最小值即可.【详解】解：，令，则，令，则，所以函数在上是增函数，又，则当时，，即，当时，，即，所以函数在上递减，在上递增，所以，所以.故答案为：.2．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_________．【答案】【分析】由有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，令，利用导数判断出函数的单调性，结合图象可得答案.【详解】由，得，则有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，当时，，当时，，当时，的增长速率