专题12圆锥曲线(原卷版)

专题12圆锥曲线目录一常规题型方法1题型一轨迹方程1题型二椭圆3题型三双曲线6题型四抛物线9题型五圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题11题型六圆锥曲线中的最值、范围问题14二针对性巩固练习15练习一轨迹方程15练习二椭圆16练习三双曲线17练习四抛物线19练习五圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题19练习六圆锥曲线中的最值、范围问题20常规题型方法题型一轨迹方程【典例分析】典例1-1．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期末）已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为（????）A．B．C．D．典例1-2．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（????）A．B．C． D．典例1-3．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（????）A． B．C． D．【方法技巧总结】1.分类：直接法、相关点法、定义法、消元法、交轨法。2.技巧：直接法先设出所求点坐标（x,y），并根据题意写出含x,y的等式关系，化简后即为所求点轨迹方程；相关点法也是先设出所求点坐标（x,y），并根据题意另外一动点的坐标（用含x,y表示），最后把点带入所在方程化简后即为所求点轨迹方程；定义法时根据题意可以分析出所求轨迹是哪种曲线（椭圆、双曲线、抛物线等），然后设出方程，利用待定系数法求解参数，进而求出动点轨迹方程。【变式训练】1．（2022秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知点，，动点满足，动点的轨迹为，则轨迹的方程为（????）A．B．C． D．2．（2022秋·北京·高二北京二中校考阶段练习）设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程是（????）A． B． C． D．3．（2022秋·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（????）A． B．C． D．题型二椭圆【典例分析】典例2-1．（2022秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期中）已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（????）A． B． C． D．典例2-2．（2022秋·福建南平·高三校考期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（????）A．B．C．D．典例2-3．（2022秋·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（????）A．4 B．4 C． D．8典例2-4．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）“方程表示椭圆”是“”的（????）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件典例2-5．（2023·广西柳州·二模）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（????）A． B．C． D．典例2-6．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，为上一点，且的内心为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．典例2-7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知是椭圆的右焦点，是的上顶点，直线与交于两点.若，到的距离不小于，则的离心率的取值范围是（????）A． B． C． D．典例2-8．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为（????）A． B．C． D．【方法技巧总结】1.技巧：在处理椭圆上动点与定点及焦点的和差问题时要遵循“同侧转换，异侧相连”，且圆上的动点可用圆心配合加减半径使其变为定点；求离心率或离心率范围需先尽量把几何长度都用含abc来表示，然后利用勾股定理、余弦定理、定义等建立abc的等式或不等式，最后通过整理化简求出离心率或离心率范围；处理弦中点问题适用“点差法”，流程为：设点，带入，做差、整理。【变式训练】1．（2022·全国·高三专题练习）点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（????）A． B． C． D．2．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）点是圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足．已知点和，则的最小值为（????）．A． B． C． D．3．（2023秋·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）已知是椭圆的左?右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（????）A． B． C． D．4．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（????）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2022秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左?右焦点分别为，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，则E的标准方程为（????）A． B． C． D．6．（2023秋·湖北·高二武汉市第二十三中学校联考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与C在x轴上方的交点为A．若，则C的离心率是（????）A． B． C． D．7．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（????）A．B．C． D．8．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（????）A．B．C． D．或题型三双曲线【典例分析】典例3-1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（????）A．2或12 B．2或18 C．18 D．2典例3-2．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知，双曲线的左?右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（????）A．5 B．7 C．9 D．11典例3-3．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设是双曲线的两个焦点，点在上，且，则的面积为（????）A． B．2 C． D．4典例3-4．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（????）A．B．C． D．典例3-5．（2023秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（????）A．B．C． D．典例3-6．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知分别为双曲线的左?右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（????）A． B． C． D．典例3-7．（2022秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（????）A．B．C． D．典例3-8．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（????）A． B． C． D．【方法技巧总结】1.技巧：在处理双曲线上动点与定点及焦点的和差问题时也要遵循“同侧转换，异侧相连”；求双曲线离心率或离心率范围流程与椭圆相同；处理弦中点问题同样使用“点差法”。【变式训练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是（????）A．3 B． C．4 D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（????）A． B． C． D．3．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（????）A． B． C． D．4．（2022秋·四川·高二四川师范大学附属中学校考阶段练习）设是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（????）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（????）A． B．C． D．6．（2023秋·湖北·高三统考期末）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（????）A． B． C． D．27．（2022秋·山西晋城·高二校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（????）A． B． C． D．8．（2022秋·河北石家庄·高二统考期末）已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（????）A．B．C． D．题型四抛物线【典例分析】典例4-1．（河北省石家庄市2023届高三上学期期末试题）已知抛物线：的焦点为，准线为，点P在C上，过点P作准线的垂线，垂足为A，若，则（????）A．1 B． C． D．2典例4-2．（2019秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）若点坐标为，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使取得最小值，点坐标应为（????）A． B． C． D．典例4-3．（2023·安徽淮南·统考一模）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，点在的准线上，若为等边三角形，则（???）A． B．6 C． D．16典例4-4．（2022秋·北京·高二汇文中学校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为（????）A． B． C． D．【方法技巧总结】1.抛物线的性质：(1)焦半径：，；(2)焦点弦：；(3)若直线的倾斜角为，则，；(4)以为直径圆与准线相切，以为直径圆与y轴相切；(5)；(6)通径：；(7)x1x2=p24,y1y2=-p2；2.技巧：抛物线的二级结论虽然做题很快，但记忆量较大，酌情使用。【变式训练】1．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（????）A．7 B．8 C．9 D．102．（天津市和平区2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若是圆：上任意一点，则的最小值是（????）A． B．4 C．5 D．63．（2023秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（????）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（????）A． B． C． D．题型五圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题【典例分析】典例5-1．（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，椭圆的左?右顶点分别为，点是椭圆上异于的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点，并求出此定点坐标.典例5-2．（2023秋·湖北·高二江夏一中校联考期末）已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上的两点，且，求证：为定值；反之，若为此定值时，是否成立？试说明理由．典例5-3．（2023·贵州·校联考一模）已知椭圆过点，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．【方法技巧总结】1.技巧：直线与圆锥曲线大题需熟练流程，第一步：设点、设直线（讨论斜率存不存在）且直线有两种不同设法，需结合题意来选择；第二步：联立方程并整理成含参一元二次方程；第三步：韦达定理（可配合根的判别式）；第四步：将伟大定理带入题干中产生的等式或不等式，并整理化简，最后求出结果。【变式训练】1．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知双曲线的左?右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.2．（2023秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）已知抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点A不重合）.(1)求抛物线的方程及焦点坐标；(2)设直线的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值.3．（2021·浙江·高二学业考试）如图所示，P（在函数的左边）与Q（在函数的右边）分别为函数的两个点，F为该抛物线的焦点．（1）若P的坐标为（-2，t），连接PF交抛物线另一点于H点，求H点的坐标；（2）记PQ直线为m，其在y轴上的截距为6，过P作抛物线的切线，交抛物线的准线于M点，连接QF，若QF恰好经过M点，求直线m的方程．题型六圆锥曲线中的最值、范围问题【典例分析】典例6-1．（2023·安徽淮南·统考一模）已知椭圆的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为.(1)求C的方程；(2)若过点的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线上，求n的值及面积的最大值.典例6-2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知椭圆长轴长为4，离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点的直线l交椭圆C于A、B两点，求的取值范围.【方法技巧总结】1.技巧：流程同上一题型一致，需注意自变量的范围求解，以及对所含变量最值范围的求解，通常化为函数，并使用构造、换元、同除等方法来求解。2.【变式训练】1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，且到点的距离的最小值为.直线与交于另一点，是上位于直线下方的动点.(1)求的值；(2)当，且△ADE面积最大时，求△ADE外接圆的标准方程2．（2021秋·吉林白山·高二抚松县第一中学校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点的坐标为，过的直线与双曲线交于不同两点、.(1)求双曲线的方程；(2)求的取值范围（为坐标原点）.针对性巩固练习练习一轨迹方程1．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为2，则圆心的轨迹方程为（????）A．B．C． D．2．（2022秋·甘肃陇南·高三统考期中）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（????）A． B．C． D．3．（2022·高二课时练习）已知半径为1的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是（????）A．B．或C．D．或练习二椭圆4．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为（????）A． B．2 C． D．35．（2022·高二单元测试）点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（????）A． B． C． D．6．（2022秋·广西玉林·高二校联考期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（????）．A． B． C． D．7．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（????）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（????）A． B． C． D．9．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知点A，B是椭圆长轴上的两个顶点，点P在椭圆上（异于A，B两点），若直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（????）A． B． C． D．10．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点.若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（????）A． B． C． D．11．（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（????）A． B． C． D．练习三双曲线12．（2021·高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，那么的值是（????）A．21 B．30 C．27 D．1513．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（????）A． B．8 C． D．914．（2021秋·河南安阳·高二安阳市第三十九中学校考期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（????）A． B． C． D．15．（2022·全国·高三专题练习）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（????）A．B．C．D．16．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在轴上，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（????）A． B． C． D．17．（2023秋·天津和平·高二天津一中校考期末）已知F是双曲线C：的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若，则双曲线C的离心率为（????）A．2 B． C． D．18．（2022秋·浙江温州·高二校考期中）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（????）A． B． C． D．19．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（????）A． B． C． D．练习四抛物线20．（2023秋·安徽