2023年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第38讲数学归纳法实战演练理

PAGEPAGE42022年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第38讲数学归纳法实战演练理1．(2022·陕西卷)设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x>0，n∈N，n≥2.设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比拟fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明．解析：由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，gn(x)＝eq\f(n＋1xn＋1,2)，x＞0.当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)＜gn(x)；①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－eq\f(1,2)(1－x)2＜0，所以f2(x)＜g2(x)成立．②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)＜gk(x)．那么，当n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1＜gk(x)＋xk＋1＝eq\f(k＋11＋xk,2)＋xk＋1＝eq\f(2xk＋1＋k＋1xk＋k＋1,2).又gk＋1(x)－eq\f(2xk＋1＋k＋1xk＋k＋1,2)＝eq\f(kxk＋1－k＋1xk＋1,2)，令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x＞0)，那么h′k(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1＝k(k＋1)xk－1(x－1)．所以当0＜x＜1时，h′k(x)＜0，hk(x)在(0,1)上递减；当x＞1时，h′k(x)＞0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．所以hk(x)＞hk(1)＝0，从而gk＋1(x)＞eq\f(2xk＋1＋k＋1xk＋k＋1,2).故fk＋1(x)＜gk＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立．由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)＜gn(x)．综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，fn(x)＜gn(x)．2．(2022·安徽模拟)如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C：y2＝3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i＝0,1,2，…，n)在x轴的正半轴上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)．(1)写出a1，a2，a3；(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式并证明．解析：(1)依题意得：x1＝eq\f(a1,2)，y1＝eq\r(3)·eq\f(a1,2)，yeq\o\al(2,1)＝3x1，解得a1＝2，同理可得a2＝6，a3＝12.(2)依题意，得xn＝eq\f(an－1＋an,2)，yn＝eq\r(3)·eq\f(an－an－1,2)，又yeq\o\al(2,n)＝3xn，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)·\f(an－an－1,2)))2＝eq\f(3,2)(an＋an－1)，即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．由(1)可猜测：an＝n(n＋1)(n∈N*)．下面用数学归纳法予以证明：①当n＝1时，命题显然成立：②假定当n＝k时命题成立，即有ak＝k(k＋1)，那么当n＝k＋1时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)，得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，即aeq\o\al(2,k＋1)－2(k2＋k＋1)ak＋1＋k(k－1)·(k＋1)(k＋2)＝0，解得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)(ak＋1＝k(k－1)＜ak不合题意，舍去)，即当n＝k＋1时成立．由①②知，猜测成立，∴an＝n(n＋1)(n∈N*)．3．(2022·重庆模拟)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－eq\f(1,an).(1)设c＝eq\f(5,2)，bn＝eq\f(1,an－2)，求数列{bn}的通项公式；(2)求使不等式an<an＋1<3成立的c的取值范围．解析：(1)由有：an＋1－2＝eq\f(5,2)－eq\f(1,an)－2＝eq\f(an－2,2an)，所以eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(2an,an－2)＝eq\f(4,an－2)＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋eq\f(2,3)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn＋\f(2,3)))，又a1＝1，故b1＝eq\f(1,a1－2)＝－1，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn＋\f(2,3)))是首项为－eq\f(1,3)，公比为4的等比数列，bn＋eq\f(2,3)＝－eq\f(1,3)×4n－1，bn＝－eq\f(4n－1,3)－eq\f(2,3).(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋1.①当n＝1时，a2＝c－eq\f(1,a1)＞a1，命题成立；②设当n＝k时，ak＜ak＋1，那么当n＝k＋1时，ak＋2＝c－eq\f(1,ak＋1)＞c－eq\f(1,ak)＝ak＋1，不等式成立．故由①②知当c＞2时，an＜an＋1.当c＞2时，令α＝eq\f(c＋\r(c2－4),2)，由an＋eq\f(1,an)＜an＋1＋eq\f(1,an)＝c得an＜α.当2＜c≤eq\f(10,3)时，an＜α≤3.当c＞eq\f(10,3)时，α＞3，且1≤an＜α，于是α－an＋1＝eq\f(1,anα)(α－an)≤eq\f(1,3)(α－an)，α－an＋1≤eq\f(1,3n)(α－1)．当n＞log3eq\f(α－1,α－3)时，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3.因此c＞eq\f(10,3)不符合要求．所以c的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).4．(2022·重庆卷)设a1＝1，an＋1＝eq\r(a\o\al(2,n)－2an＋2)＋b(n∈N*)．(1)假设b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)假设b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．解析：(1)a2＝2，a3＝eq\r(2)＋1，可写为a1＝eq\r(1－1)＋1，a2＝eq\r(2－1)＋1，a3＝eq\r(3－1)＋1.因此猜测an＝eq\r(n－1)＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n＝1时结论显然成立．假设n＝k时结论成立，即ak＝eq\r(k－1)＋1，那么ak＋1＝eq\r(ak－12＋1)＋1＝eq\r(k－1＋1)＋1＝eq\r(k＋1－1)＋1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．综上可知，an＝eq\r(n－1)＋1(n∈N*)．(2)设f(x)＝eq\r(x－12＋1)－1，那么an＋1＝f(an)．令c＝f(c)，即c＝eq\r(c－12＋1)－1，解得c＝eq\f(1,4).下面用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n＋1<1.当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝eq\r(2)－1，所以a2<eq\f(1,4)<a3<1，结论成立．假设n＝k时结论成立，即a2k<c<a2k＋1<1.易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而c＝f(c