(完整word)高等代数第四章矩阵练习题参考答案

#第四章矩阵习题参考答案、判断题.对于任意n阶矩阵A,B，有|A+B|=圄+|B.错..如果A2=0,则A=0.(1 1)，一错.如A= A2=0,fiA丰0.L1-1J.如果A+A2=E，则A为可逆矩阵.正确.A+A2=EnA(E+A)=E,因此A可逆，且A-1=A+E..设A,B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A,B的秩一个等于n，一个小于n.错.由AB=0可得r(A)+r(B)<n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n..A,B,C为n阶方阵，若AB=AC,则B=C.错汝口A=-1错汝口A=-1-1\1 LJI-2-1JI-32\,有AB=AC,但B丰C.-2).A为mxn矩阵，若r(A)=s，则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=PAQ=0)0)正确.右边为矩阵A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形..n阶矩阵A可逆，则A*也可逆.正确.由A可逆可得IAlw0,又AA*=A*A=1AIE.因此A*也可逆，且(A*)-1=

.设A,B为n阶可逆矩阵，则(AB)*=B*A*.正确.(AB)(AB)*=1ABIE=1AIIBIE.又(AB)(B*A*)=A(BB*)A*=AIBIEA*=IBIAA*=IAIIBIE.因此(AB)(AB)*=(AB)(B*A*).由A,B为n阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆可得(AB)*=B*A*.二、选择题.设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(Bt=-B)，则下列矩阵中为反对称矩阵的是(B).(A)AB-BA⑻AB+BA(C)(AB)2 (D)BAB(A)(D)为对称矩阵，(B)为反对称矩阵，(C)当A,B可交换时为对称矩阵..设A是任意一个n阶矩阵，那么(A)是对称矩阵.(A)ATA (B)A-AT (C) A2 (D) AT-A.以下结论不正确的是(C).(A)如果A是上三角矩阵，则A2也是上三角矩阵；(B)如果A是对称矩阵，则A2也是对称矩阵；(C)如果A是反对称矩阵，则A2也是反对称矩阵；(D)如果A是对角阵，则A2也是对角阵.A是mxk矩阵，B是kxt矩阵，若B的第j列元素全为零，则下列结论正确的是(B)(A)AB的第j行元素全等于零；(B)AB的第j列元素全等于零；BA的第jBA的第j行元素全等于零;BA的第j列元素全等于零;.设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是(D)(A)(A+B)2=A2+2AB+B2 (B)A2—B2=(A+B)(A—B)(AB(AB)2=A2B2A2—E2=(A+E)(A—E).下列命题正确的是(B).(A)若AB=AC，则B=C⑻若AB=AC，且IA|中0，则B=C(C)若AB=AC，且A丰0，则B=C(D)若AB=AC，且B中0,C中0，则B=C.A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则(B).(A)当m>n时，必有行列式IAB|丰0；(B)当m>n时，必有行列式IAB|=0(C)当n>m时，必有行列式IAB|中0；(D)当n>m时，必有行列式IAB|=0.AB为m阶方阵，当m>n时，r(A)<n,r(B)<n,因此r(AB)<n<m，所以|AB|=0..以下结论正确的是(C)(A)如果矩阵A的行列式I川=0,则A=0；(B)如果矩阵A满足A2=0，则A=0；(C)n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；(D)对任意方阵A,B，有(A-B)(A+B)=A2-B29.设a,a,a,a是非零的四维列向量，A=(a,a,a,a),A*为A的伴随矩阵，1234 1234(A)a,a,a.

123已知Ax=0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组A*x(A)a,a,a.

123(B)a+a,a+a,a+a.1 22 33 1(C)a,a,a, (D)a+a,a+a,a+a,a+a,234 1 22 33 44 1(1)0由Ax=0的基础解系为(1,0,2,0)t可得(a,a,a,a) =0,a+2a=0.1 2 3 4 2 1 3<0/因此(A),(B)中向量组均为线性相关的，而(D)显然为线性相关的，因此答案为(C).由A*A=A*(a,a,a,a)=(A*a,A*a,A*a,A*a)=O1234 1 2 3 4可得a,a,a,a均为A*x=0的解.1234设A是n阶矩阵，A适合下列条件(C)时，I-A必是可逆矩阵nAn=A (B)A是可逆矩阵 (C)An=0A主对角线上的元素全为零n阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是(D)(A)|A|二1(B)|A|=0(C)A二AT(D)AW0A,B,C均是n阶矩阵，下列命题正确的是(A)(A)若A是可逆矩阵，则从AB=AC可推出BA二CA⑻若A是可逆矩阵，则必有AB=BA©若AW0，则从AB=AC可推出B二C(D)若BWC,则必有ABWACA,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABC=E,则有(C)(A)ACB=E (B)BAC=E (C)BCA=E(D)CBA=EA是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是(D)(A)若A是可逆矩阵，则A*也是可逆矩阵；(B)若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；

A*(C)若中0,则A是可逆矩阵；(D)|AA*|=|A*(C)若|AA*|二||A|E|二|A|n.设A是5阶方阵，且A丰0，则|A*|=(D)(A)A (B)|A|2 (C)Al3 (D)A4设A*是A=①)的伴随阵，则A*A中位于(i,j)的元素为(B)ijn义n(A)ZaAjkkik=1(A)ZaAjkkik=1(B)Zna Akjkik=1(C)ZnaAjkikk=1(D)Zna Akikjk=1应为应为A的第i列元素的代数余子式与A的第j列元素对应乘积和.17.设A=a11aInA11A17.设A=a11aInA11AInan1annAn1Ann，其中A是a的代数余子式，则(C)ijijA是B的伴随B是A的伴随(C)B是A'的伴随(D)以上结论都不对(D)以上结论都不对……4 「A0 _ / 、18.设A,B为方阵，分块对角阵C=八D，则C*=(C)0B(A)C=(C)A*00B*|B|A(A)C=(C)A*00B*|B|A*

00|A|B*(B)C=(D)|A|A*

00|B|B*C=ABA*00|A||B|B*利用利用CC*=1CIE验证.19.已知A=3546下列运算可行的是(19.已知A=3546下列运算可行的是(C)(A)A+B(B)A-B(C)AB(D)AB-BA20.设A,B是两个mxn矩阵，C是n阶矩阵，那么(D)C(A+B)=CA+CB(At+Bt)C=AtC+BtCCt(A+B)=CtA+CtB(A+B)C=AC+BC21.对任意一个n阶矩阵A,若n阶矩阵B能满足AB=BA，那么B是一个(C)21.(A)对称阵(A)对称阵(B)对角阵 (C)数量矩阵(D)A的逆矩阵与任意一个n阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22.设A是一个上三角阵，且|A|=0，那么A的主对角线上的元素(22.24.(A)全为零(C)至少有一个为零贝UA-1=23.a1a2a3b1b2b324.(A)全为零(C)至少有一个为零贝UA-1=23.a1a2a3b1b2b3(A)(B)只有一个为零(D)可能有零，也可能没有零c1c2c3」若AP=a1a2a3c1c2c32b2b122b3(B)(C)(D)-iaa…aaia…a25.设n(n>3)阶矩阵A=aai…a,若矩阵A的秩为1,则a必为(A)laaa…1_(A)1 (B)-1(C)ii(D)--i-nn-1矩阵A的任意两行成比例.26.设AB为两个n阶矩阵，现有四个命题：①若A,B为等价矩阵,则A,B的行向量组等价；②若A,B的行列式相等,即IAHBI,则A,B为等价矩阵；③若Ar=0与Bx=0均只有零解,则A,B为等价矩阵；④若A,B为相似矩阵,则Ax=0与Bx=0解空间的维数相同.以上命题中正确的是(D)(A)①，③. (B)②，④. (C)②，③. ⑻③，④.当B=P-1AP时，A,B为相似矩阵。相似矩阵的秩相等。齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。三、填空题1.设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，有|A|二2，则(1A)-1-2A*=A*=IAIA-i=2A-i,(1A)-i=3A-i,因此3(1A)-i-2A*=|3A-i-4A-i卜卜A-i卜(-1)3|A|-1=-13 11 2.设A,B为4阶方阵，且圄=3，则卜(3A)-i卜1/27 ,^AA2B-i|二 9。.设A是一个mxn矩阵，B是一个nxs矩阵，那么是(AB)'一个sxm阶矩阵，它的

第，・行第j列元素为X。b.jkkik=1.n阶矩阵A可逆04非退化今IA|W0今A与单位矩阵等价0A可以表示为一系列初等矩阵的乘积.a00] 「bcb0，则A的伴随矩阵A*= 000ac00ab一123一5.设A=0231，则(A*)-1=-A.0034.三阶对角矩阵A=000c(A*)-i6.设a1丰0,i=1,2,..!•n,矩阵-00•••0ana10•••000a2•••00… 0… 0••••••…dn-1...0的逆矩阵为一0 0 …0a-1na-1 0 0 010 a-1 …0 0 0 0 …0-1 0L 77-17.设A,B都是可逆矩阵，.矩阵C=一0BA一0的逆矩阵为一0_A-1B-10.一12一「13「「31[，则|B(2A-C)|=(8.设A=_34_，B=_24_,c=_24_9.A既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A为零矩阵.|A+B=bxcby11111bxc,B=by22222bxcby3333310.设方阵A=c1c2c3」且|A|=—2，B=3则行列式bxcbyc2bx+y2cbx+yc11111111111111bxc+byc=2bx+y2c=4bx+yc22222222222222bxcbyc2bx+y2cbx+yc333333」333333334IA+B1=bxcbyc111111bxc+4byc222222bxcbyc333333=4=4x(—2)+4x3=4.11.设A为m阶方阵，B为n阶方阵，已知|A|=a,|B|=b,则行列式=(—1)mnab.将A的各列依次与B的各列交换，共需要交换mn次，化为12.设A为n阶方阵，且|A|丰0，则在A等价关系下的标准形为—n_阶单位矩阵.(1213.设A=2-1、31(a为某常数)，B为4x3的非零矩阵，且BA=0,则矩阵B的秩为1 .由BA=0可得A的各列为齐次线性方程组Bx=0的解，A的前两列线性无关，因此Bx=0的基础解系至少有两个解，因此r(B)<1.又B为非零矩阵，因此r(B)>1.即r(B)=1.四、解答下列各题1.求解矩阵方程(1)(4、2—6、1?(2)—1)01>(T(4)解：(1)(2)X(3)X=(TT)-4-11(121213(4)X=(02.设A=-25Y1(4-5)(4(2-23、I-1(2-1、-1-1(-21-8/3-2/3)4、-1(3、（-1-4-21(2-4、(3-1)1T)2UU/4-1-4-2-10¥1-1、-2(2AB=A+2B解：(A-2E)B=A.-4,求B(0311(—213—1I-123JA—2E=2，因此A—2E可逆.(03..设P-3..设P-1AP=A，其中P=(—1—43—100\2,,求A11.解：A=PAP-1,A”=PA11PA”=PA11P―1=(—1—4V—1211J31—1—1,I-22114—213—4—211并求其逆.4.设3级方阵A,B满足2A-1B=B—4E，