信号与系统课件-陈后金-北京交通大学教材资料

信号与系统SignalsandSystems

参考教材：北京市精品立项教材《信号与系统》.

主编：陈后金,胡健,薛健,清华大学出版社,2003年.陈后金，胡健，薛健北京交通大学国家电工电子教学基地hjchen@/jingpinke/xhyxt/dianzijiaoan/navigation.htm信号与系统分析导论信号的描述及分类系统的描述及分类信号与系统分析概述信号的描述与分类信号的基本概念信号的分类 确定信号与随机信号

连续信号和离散信号

周期信号与非周期信号

能量信号与功率信号一、信号的基本概念1.定义广义:信号是随时间变化的某种物理量。严格:信号是消息的表现形式与传送载体。电信号通常是随时间变化的电压或电流。2.表示

数学解析式或图形语音信号：空气压力随时间变化的函数语音信号“你好”的波形静止的单色图象：

亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。静止的彩色图象：三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。二、信号的分类1确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。随机信号也称为不确定信号，不是时间的确定函数。连续信号：

在观测过程的连续时间范围内信号有确定的值。允许在其时间定义域上存在有限个间断点。通常以f(t)表示。2.连续信号和离散信号模拟信号：取值是连续的连续信号。离散信号：信号仅在规定的离散时刻有定义。通常以f[k]表示。数字信号：取值为离散的离散信号。连续时间信号与离散时间信号波形连续时间信号离散时间信号离散信号的产生1)对连续信号抽样f[k]=f(kT)2)信号本身是离散的3)计算机产生3周期信号与非周期信号*连续时间周期信号定义:,存在非零T，使得

*周期信号每一周期内信号完全一样故只需研究信号在一个周期内的状况。成立，则f(t)为周期信号。*离散时间周期信号定义:kI,存在非零N，使得成立，则f[k]为周期信号。满足上述条件的最小的正T、正N称为信号的基本周期。*不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。4能量信号与功率信号能量信号:0<E<，P=0。功率信号:E，0<P<。直流信号与周期信号都是功率信号。归一化能量E与归一化功率P的计算

注意:

一个信号，不可能既是能量信号又是功率信号。连续信号离散信号系统的描述及其分类系统的描述

系统的数学模型

系统的方框图表示系统的分类

连续时间系统与离散时间系统 线性系统与非线性系统 时不变系统与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统系统是指由相互作用和依赖的若干事物组

成的、具有特定功能的整体。一、系统的描述输入输出描述：N阶微分方程或N阶差分方程状态空间描述：N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组RL串联电路1.数学模型2.方框图表示描述系统的基本单元方框图连续时间系统离散时间系统二、系统的分类连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为连续时间信号离散时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为离散时间信号连续时间系统的数学模型是微分方程式。离散时间系统的数学模型是差分方程式。1．连续时间系统与离散时间系统2．线性系统与非线性系统

线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括均匀特性与叠加特性。(1)均匀特性：(2)叠加特性：同时具有均匀特性与叠加特性方为线性特性，线性特性可表示为其中，为任意常数具有线性特性的离散时间系统可表示为其中，为任意常数非线性系统：不具有线性特性的系统。

线性系统的数学模型是线性微分方程式或线性差分方程式。含有初始状态线性系统的定义连续时间系统若则若则离散时间系统结论:

具有初始状态的线性系统，输出响应等于零输入响应

与零状态响应之和。3．时不变系统与时变系统系统的输出响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不变系统。否则，就称为时变系统。时不变特性时不变的离散时间系统表示为线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式或差分方程式描述。时不变的连续系统表示为4．因果系统与非因果系统

因果系统：当且仅当输入信号激励系统时才产生系统输出响应的系统。5.稳定系统与不稳定系统稳定系统：指有界输入产生有界输出的系统不稳定系统：系统输入有界而输出无界非因果系统：不具有因果特性的系统称为非因果系统。[例1]判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中y(0)为系统的初始状态，f(t)为系统的输入激励，y(t)为系统的输出响应）。线性系统非线性系统非线性系统线性系统分析注意2、零输入线性，系统的零输入响应必须对

所有的初始状态呈现线性特性。[解]：分析任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与零状态响应两部分之和,即。因此，判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：1、具有可分解性3、零状态线性，系统的零状态响应必须对

所有的输入信号呈现线性特性。判断系统是否线性注意问题1．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。2．在判断系统的零输入响应yx(t)是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y(0))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。3．在判断系统的零状态响应yf(t)是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（如上述例题中f(t)），而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。(1)y(t)=sin[f(t)]

(2)y(t)=cost·f(t)

(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)

(4)y(t)=2t·f(t)[例2]试判断下列系统是否为时不变系统时不变系统时变系统时不变系统时变系统分析：判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t)变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为

y(t-t0)。注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。信号与系统分析概述信号分析的主要内容系统分析的主要内容信号与系统之间的关系系统与电路之间的关系信号与系统的应用领域信号与系统课程的学习方法参考书信号分析连续信号离散信号取样时域：信号分解为冲击信号的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合时域：信号分解为冲击序列的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合系统分析连续系统离散系统系统的描述输入输出描述法：N阶微分方程系统响应的求解系统的描述系统响应的求解状态空间描述：N个一阶微分方程组时域：频域：复频域：输入输出描述法：N阶差分方程状态空间描述：N个一阶差分方程组时域：频域：Z域：信号与系统是相互依存的整体。信号与系统之间的关系1.信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没有孤立存在的信号；2.系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理，没有信号的系统就没有存在的意义。信号与系统的应用领域通信控制计算机等信号处理信号检测非电类:社科领域：电类机械、热力、光学等股市分析、人口统计等系统与电路的关系1.通常把系统看成比电路更为复杂、规模更大的组合2.处理问题的观点不同：电路：着重在电路中各支路或回路的电流

及各节点的电压上系统：着重在输入输出之间的关系上，

即系统能实现何种功能。信号与系统课程的学习方法3.加强实践环节(学会用MATLAB进行信号分析)，通过实验加深对理论与概念的理解。1.着重掌握信号与系统分析的物理含义，将数学概念、物理概念及其工程概念相结合。2.注意提出问题，分析问题与解决问题的方法。4.通过多练，复习和加深所学的基本概念，掌握解决问题的方法。主要参考书[1]EdwardW.K.,BonnieS.H.FundamentalsofSignalsandSystemsUsingMATLAB,Prentice-HallInternational,Inc.1997.[2]SimonH.,BarryV.V.SignalsandSystems,JohnWiley&Sons,Inc.1999.[3]A.V.Oppenheim.SignalsandSystems或中译本（第二版）,西安交通大学出版社.[4]刘树棠译，信号与系统计算机练习—利用MATLAB，西安交通大学出版社，2000.主要参考书[5]郑君里，应启珩等.信号与系统,第二版.高等教育出版社，2000.[6]吴大正.信号与线性系统分析,第三版，高等教育出版社，2000.[7]朱钟霖等.信号与系统.中国铁道出版社,1996.[8]吴湘淇.信号、系统与信号处理,(上).电子工业出版社，1999.[9]骆丽,胡健等译.全美经典学习指导系列《信号与系统》，科学出版社，2002.信号的时域分析连续时间信号的时域描述连续时间信号的基本运算离散时间信号时域描述离散时间信号的基本运算确定信号的时域分解连续时间信号的时域描述典型普通信号 正弦信号 实指数信号 虚指数信号 复指数信号 抽样函数奇异信号 单位阶跃信号 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号1正弦信号A:振幅w0:角频率弧度/秒j:初始相位一、典型普通信号2指数信号——实指数信号

2指数信号——虚指数信号复指数信号的周期：复指数信号的基波周期：Euler公式：2指数信号——复指数信号tt3.抽样函数抽样函数具有以下性质：与Sa(t)函数类似的是sinc(t)函数，其定义为1单位阶跃信号定义:二、奇异信号阶跃信号的作用：1．表示任意的方波脉冲信号f(t)=u(t-T)-u(t-2T)

2．利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围阶跃信号的作用：2.冲激信号单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流i(t)=Cdu(t)/dt可用冲激信号表示。狄拉克定义式：(t)=0,t02)冲激信号的定义1)冲激信号的引出3)冲激信号的图形表示说明：(1)冲激信号可以延时至任意时刻t0，以符号(t-t0)表示，其波形如图所示。(t-t0)的定义式为：(3)冲激信号的物理意义：表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型(4)冲激信号的作用：(2)冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。A.表示其他任意信号；B.表示信号间断点的导数。4)冲激信号的极限模型5)冲激信号的性质(1)筛选特性(2)取样特性(3)展缩特性推论：冲激信号是偶函数。5)冲激信号的性质证明：取a=-1即可得d(t)=d(-t)(4)冲激信号与阶跃信号的关系5)冲激信号的性质3.斜坡信号

与阶跃信号之间的关系：定义：4.冲激偶信号冲激偶信号图形表示定义：性质：四种奇异信号具有微积分关系[例题]计算下列各式的值[解]注意：2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为1/|a|(t+b/a)形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是(-，+)，但只要积分区间不包括冲激信号(t-t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。连续时间信号的基本运算信号的尺度变换信号的翻转信号的平移信号相加信号相乘信号的微分信号的积分1.尺度变换f(t)

f(at)a>0若0<a<1，则f(at)是f(t)的扩展。若a>1，则f(at)是f(t)的压缩。例：尺度变换变换后语音信号的变化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)2.信号的翻转 f(t)

f(-t)将f(t)以纵轴为中心作180翻转3.时移（平移）f(t)

f(t-t0)f(t-t0)，则表示信号右移t0单位；f(t+t0)，则表示信号左移t0单位。

4.信号的相加f(t)=f1(t)+f2(t)+……fn(t)5.信号的相乘f(t)=f1(t)·

f2(t)·……·fn(t)6.信号的微分y(t)=df(t)/dt=f'(t)注意：对不连续点的微分7.信号的积分[例题]已知f(t)的波形如图所示，试画出f(6-2t)的波形。0<a<1，扩展a倍a>1，压缩1/a倍-：右移b/a单位+：左移b/a单位先翻转 再展缩 后平移离散时间信号的时域描述离散时间信号的表示基本离散时间序列

实指数序列 虚指数序列和正弦序列 复指数序列 单位脉冲序列 单位阶跃序列一、离散时间信号的表示序列的列表表示表示k=0的位置序列的图形表示二、基本离散时间序列1．实指数序列2.虚指数序列和正弦序列利用Euler公式可以将正弦序列和虚指数序列联系起来，即两者的区别:的振荡频率不随角频率0的增加而增加。周期性： 如果W0/2p=m/N，N、m是不可约的整数，则信号的周期为N。即0N=m2

，m=正整数时，信号是周期信号。离散信号周期判断举例：1)f1[k]=sin(kp/6)W0/2p=1/12,由于1/12是不可约的有理数，故离散序列的周期N=12。

W0/2p=1/12p,由于1/12p不是有理数，故离散序列是非周期的。

W0/2p=3/8由于3/8是不可约的有理数，故f3[k]的周期为N=8。2)f2[k]=sin(k/6)3)对f3(t)=sin6pt,以fs=8Hz抽样所得序列3．复指数序列衰减正弦信号增幅正弦信号4.单位脉冲序列定义：单位脉冲序列作用表示任意离散时间信号5.单位阶跃序列定义：d[k]与u[k]关系:6.矩形序列7.斜坡序列r[k]离散时间信号的基本运算翻转(f[k]

f[-k])位移(f[k]

f[kn])内插与抽取序列相加序列相乘差分与求和1.翻转f[k]f[-k]将f[k]以纵轴为中心作180度翻转2.位移f[k]

f[kn]f[k+n]表示将f[k]左移n个单位。f[k-n]表示将f[k]右移n个单位。3.尺度变换抽取(decimation)M在原序列中每隔M-1点抽取一点f[k]f[Mk]M为正整数3.尺度变换内插(interpolation)M在序列两点之间插入M-1个点4．序列相加指将若干离散序列序号相同的数值相加5.序列相乘指若干离散序列序号相同的数值相乘6.差分一阶后向差分二阶后向差分一阶前向差分二阶前向差分N阶后向差分N阶前向差分单位脉冲序列可用单位阶跃序列的差分表示7.求和单位阶跃序列可用单位脉冲序列的求和表示信号的分解1．信号分解为直流分量与交流分量2．信号分解为奇分量与偶分量之和3．信号分解为实部分量与虚部分量4．连续信号分解为冲激函数的线性组合5．离散序列分解为脉冲序列的线性组合连续时间信号离散时间信号直流交流2.信号分解为交流分量与直流分量之和2.信号分解为奇分量与偶分量之和连续时间信号离散时间信号偶分量奇分量[例1]画出f(t)的奇、偶两个分量3．信号分解为实部分量与虚部分量连续时间信号离散时间信号实部分量虚部分量4.连续信号分解为冲激函数的线性组合当0时，k，d，且物理意义：不同的信号都可以分解为冲激序列，信号不同只是它们的系数不同。实际应用：当求解信号f(t)通过LTI系统产生的响应时，只需求解冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时不变系统的特性，进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。信号分解(t)为物理意义与实际应用任意序列可以分解为单位脉冲序列及其位移的加权和5.离散序列分解为脉冲序列的线性组合系统的时域分析线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应连续时间系统的单位冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质单位冲激响应表示的系统特性线性时不变系统的描述及特点连续时间系统用N阶常系数微分方程描述ai、

bi为常数。离散时间系统用N阶常系数差分方程描述ai、

bi为常数。线性时不变系统的特点LTI系统除具有线性特性和时不变特性外，还具有:1）微分特性与差分特性：若T{f(t)}=y(t)则若T{f[k]}=y[k]则T{f[k]

-f[k-1]}=y[k]

-y[k-1]2）积分特性与求和特性：若T{f(t)}=y(t)则若T{f[k]}=y[k]则连续时间LTI系统的响应经典时域分析方法卷积法

零输入响应求解 零状态响应求解系统响应求解方法1.经典时域分析方法:求解微分方程2.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应一、经典时域分析方法 微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根s1,s2,,sn(2)特征根是相等实根s1=s2==sn(3)特征根是成对共轭复根常用激励信号对应的特解形式例1已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y’(0)=2,输入信号f(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。特征根为齐次解yh(t)解(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为2)求非齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)解得A=5/2，B=-11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。3)求方程的全解讨论1)若初始条件不变，输入信号f(t)=sint

u(t)，则系统的完全响应y(t)=？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y’(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。二卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式，再由初始条件确定待定系数。[解]系统的特征方程为例2已知某线性时不变系统的动态方程式为:系统的初始状态为y(0-)=1，y'(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。系统的特征根为y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1y'(0-)=y'x(0-)=-2K1-3K2=3解得K1=6，K2=-5例3已知某线性时不变系统的动态方程式为

系统的初始状态为y(0-)=2，y'(0-)=-1，求系统的零输入响应yx(t)。[解]系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）y(0-)=yx(0-)=K1=1;y'(0-)=y'x(0-)=-2K1+K2=3解得K1=1,K2=5例4已知某线性时不变系统的动态方程式为

系统的初始状态为y(0-)=1，y'(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。[解]系统的特征方程为系统的特征根为y(0-)=yx(0-)=K1=1y'(0-)=y'x(0-)=-K1+2K2=3解得K1=1，K2=22、系统的零状态响应求解系统的零状态响应yf(t)方法：

1)直接求解初始状态为零的微分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yf(t)表示。卷积法求解系统零状态响应yf(t)的思路1)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合。2)求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应—单位冲激响应h(t)。3)利用线性时不变系统的特性，求出单位冲激信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t)。卷积法求解系统零状态响应yf(t)推导由时不变特性由均匀特性由积分特性例5已知某LTI系统的动态方程式为y´(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲激响应h(t)=2e-3t

u(t),f(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yf(t)。[解]连续时间系统的单位冲激响应连续时间系统单位冲激响应的定义冲激平衡法求系统的单位冲激响应连续时间系统的单位阶跃响应连续时间系统单位冲激响应的定义 在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位冲激响应，以符号h(t)表示。N阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足冲激平衡法求系统的单位冲激响应由于t>0+后,方程右端为零,故n>m时nm时,为使方程两边平衡,h(t)应含有冲激及其高阶导数,即将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡,确定系数Ki，

Ai例1已知某线性时不变系统的动态方程式为

试求系统的单位冲激响应。解：当f(t)=d(t)时,y(t)=h(t),即动态方程式的特征根s=-3,且n>m,故h(t)的形式为解得A=2例2已知某线性时不变系统的动态方程式为

试求系统的冲激响应。解：当f(t)=d(t)时,y(t)=h(t),即动态方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式为解得A=-16,B=3冲激平衡法小结1)由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式.2)由动态方程右边d(t)的最高阶导数与方程左边h(t)的最高阶导数确定d(j)(t)项.连续系统的阶跃响应求解方法:1)求解微分方程2)利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系例3求例1所述系统的单位阶跃响应g(t)。例1系统的单位冲激响应为解：利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系，可得h(t)=2e-3t

u(t)卷积积分的计算和性质卷积积分的计算卷积积分的性质

交换律、分配律、结合律、位移特性、展缩特性

延迟特性、微分特性、积分特性、等效特性奇异信号的卷积积分一卷积积分的计算卷积的定义：1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自变量；卷积的计算步骤：2）把其中一个信号翻转、平移；3）将f(t)与h(t-t)相乘；对乘积后的图形积分。例1例2：计算y(t)=p1(t)*p1(t)。a)-<t

-1b)-1

t<0y(t)=0c)0

t<1d)1

t<y(t)=0练习1：u(t)*u(t)练习2：计算y(t)=f(t)*h(t)。=r(t)二卷积的性质1)交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2)分配律[

f1(t)+f2(t)]*f3(t)=f1(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)3)结合律[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]4)位移特性

已知f1(t)*f2(t)=y(t)则:f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1

-t2)5)展缩位移特性证明：展缩特性证明：例：利用位移特性及u(t)*u(t)=r(t)，计算y(t)=f(t)*h(t)。y(t)=f(t)*h(t)=[u(t)-

u(t-1)]*[u(t)-

u(t-2)]=u(t)*u(t)-

u(t-1)*u(t)-

u(t)*u(t-2)-

u(t-1)*u(t-2)=r(t)-

r(t-2)–r(t-1)+r(t-3)三奇异信号的卷积1)延迟特性f(t)*(t-T)=f(t-T)

2)微分特性f(t)*

'(t)=f'(t)

3)积分特性4)等效特性例1：已知y(t)=f1(t)*

f2(t)，求y'(t)。解：y'(t)=y(t)*d'(t)=[f1(t)*

f2(t)]*d'(t)例2：已知y(t)=f1(t)*

f2(t)，求y(-1)(t)。解：y(-1)(t)=y(t)*u(t)=[f1(t)*

f2(t)]*u(t)=

f1'(t)*

f2(t)=f1(t)*

f2'(t)=

f1(-1)(t)*

f2(t)=f1(t)*

f2(-1)(t)例3：利用等效特性，计算y(t)=f(t)*h(t)。f'(t)=d(t)-d(t-1)f'(t)*

h(t)=h(t)-

h(t-1)离散时间LTI系统的响应迭代法求系统响应经典时域法求系统响应卷积法求系统响应

零输入响应求解 零状态响应求解离散时间LTI系统的数学模型为2.经典时域分析方法:求解差分方程3.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次差分方程得到零输入响应yx[k]利用卷积和可求出零状态响应yf[k]系统响应求解方法:1.迭代法:一、迭代法已知n个初始条件{y[-1],y[-2],y[-3],∙∙∙∙,y[-n]}和输入f[k]，由差分方程迭代出系统的输出。迭代法举例例1一阶线性常系数差分方程y[k]-0.5y[k-1]=u[k],y[-1]=1，用递推法求解差分方程。解：将差分方程写成：代入初始条件，可求得依此类推:缺点：很难得到闭合形式的解。二、经典时域分析方法 差分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh[k]和特解yp[k]组成:齐次解yh[k]的形式由齐次方程的特征根确定特解yp[k]的形式由方程右边激励信号的形式确定齐次解的形式(1)特征根是不等实根r1,r2,,rn(2)特征根是相等实根r1=r2==rn(3)特征根是成对共轭复根常用激励信号对应的特解形式ak(a不是特征根)ak(a是特征根)例2已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y[0]=0,y[1]=-1,输入信号f[k]=2k

u[k]，求系统的完全响应y[k]。特征根为齐次解yh[k]解(1)求齐次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=0的齐次解yh[k]特征方程为2)求非齐次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=f[k]的特解yp[k]解得C1=-3，C2=3由输入f[k]=2k

u[k]，设方程的特解形式为将特解带入原微分方程即可求得常数A=-2。3)求方程的全解讨论1)若初始条件不变，输入信号f[k]=sin0

k

u[k]，则系统的完全响应y[k]=？2)若输入信号不变，初始条件y[0]=1,y[1]=1,则系统的完全响应y[k]=？经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。三、卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:求解方法：根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式，再由初始条件确定待定系数。[解]系统的特征方程为例3已知某线性时不变系统的动态方程式为:系统的初始状态为y[-1]=0，y[-2]=1/2，求系统的零输入响应yx[k]。系统的特征根为解得C1=1，C2=-2例4已知某线性时不变系统的动态方程式为

系统的初始状态为y[-1]=0，y[-2]=-1，求系统的零输入响应yx[k]。[解]系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）解得C1=4,C2=4例5已知某线性时不变系统的动态方程式为

系统的初始状态为y[-1]=2，y[-2]=-1，y[-3]=8，求系统的零输入响应yx[k]。[解]系统的特征方程为系统的特征根为解得C1=1，C2=0，C3=52.系统的零状态响应求解系统零状态响应yf[k]的方法：

1)直接求解初始状态为零的差分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。 当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f[k]产生的响应称为零状态响应，用yf[k]表示。卷积法求解系统零状态响应yf[k]的思路1)将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合2)求出单位脉冲序列作用在系统上的零状态响应单位脉冲响应。3)利用线性时不变系统的特性，求出单位脉冲序列线性组合作用在系统上的响应，即系统在任意信号f[k]激励下的零状态响应yf[k]。卷积和求解系统零状态响应yf[k]推导由时不变特性由均匀特性由叠加特性例6若描述某离散系统的差分方程为已知激励求系统的零状态响应yf

[k]。解：离散系统的单位脉冲响应单位脉冲响应h[k]定义h[k]的求解

迭代法 等效初始条件法单位阶跃响应g[k]的求解1.单位脉冲响应h[k]定义 单位脉冲序列[k]作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应,用符号h[k]表示。对N阶LTI离散时间系统，h[k]满足方程2.h[k]的求解求解方法:2)等效初始条件法 将d[k-j]对系统的瞬时作用，转化为系统的等效初始条件。

等效初始条件由差分方程和h[-1]=h[-2]==h[-n]=0递推求出。1)迭代法例1若描述某离散时间LTI系统的差分方程为

求系统的单位脉冲响应h[k]。解：h[k]满足方程1)求等效初始条件对于因果系统有h[-1]=h[-2]=0，代入上面方程可推出注意：选择初始条件的基本原则是必须将d[k]的作用体现在初始条件中可以选择h[0]和h[1]或h[-1]和h[0]作为初始条件2)求差分方程的齐次解特征方程为特征根为齐次解的表达式为代入初始条件，有解得C1=-1，C2=23.单位阶跃响应单位阶跃序列u[k]作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号g[k]表示。求解方法：1)迭代法2)经典法3)利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系h[k]=g[k]-g[k-1]例2求例1所述系统的单位阶跃响应g[k]。解:例1所述系统的单位脉冲响应为利用h[k]与g[k]的关系，可得h[k]=[-(-1)k+2(-2)k]u[k]卷积和的计算与性质图解法计算卷积和列表法计算卷积和卷积和的性质

交换律结合律分配律位移特性 差分与求和特性一.图解法计算卷积和计算步骤:1)将f[k]、h[k]中的自变量由k改为n；2)把其中一个信号翻转，如将h[n]翻转得h[-n]；3)把h[-n]平移k，k是参变量。k>0图形右移，k<0图形左移。4)将f[n]与h[k-n]重叠部分相乘；5)对乘积后的图形求和。卷积和定义为例1已知f[k]=u[k],h[k]=aku[k],0<a<1,计算y[k]=f[k]*h[k]k

<0,f[n]与h[k-n]图形没有相遇k

>0,f[n]与h[k-n]图形相遇y[k]=0例2计算y[k]=RN[k]*RN[k]。k

<0时,RN

[n]与RN

[k-n]图形没有相遇y[k]=00

k

N-1时,重合区间为[0，k]N-1

k2N-2时,重合区间为[-(N-1)+k，N-1]k>2N-2时,RN

[n]与RN

[k-n]图形不再相遇y[k]=0二.列表法计算序列卷积和设f[k]和h[k]都是因果序列，则有当k=0时，当k=1时，当k=2时，当k=3时，以上求解过程可以归纳成列表法。列表法将h[k]的值顺序排成一行，将f[k]的值顺序排成一列，行与列的交叉点记入相应f[k]与h[k]的乘积，对角斜线上各数值就是f[n]h[k-n]的值。对角斜线上各数值的和就是y[k]各项的值。例3计算与的卷积和。三.卷积和的性质交换律:f[k]*h[k]=h[k]*f[k]f[k]*{h1[k]*

h2[k]}={f[k]*h1[k]}*

h2[k]f[k]*{h1[k]+h2[k]}=f[k]*h1[k]+f[k]*

h2[k]结合律:分配律:卷积和的性质（续）位移特性：f[k]*d[k-n]=f[k-n]推论：若f[k]*h[k]=y[k]，则f[k-n]*h[k-l]=y[k-(n+l)]差分与求和特：若f[k]*h[k]=y[k]例4计算与的卷积和解：利用位移特性单位冲激响应表示的系统特性级联系统的单位冲激响应并联系统的单位冲激响应因果系统稳定系统1.级联系统的单位冲激响应根据卷积积分的结合律性质，有h(t)结论:1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应。两个离散时间系统的级联也有同样的结论。2.并联系统的单位冲激响应应用卷积积分的分配律性质，有h(t)结论并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。两个离散时间系统的并联也有同样的结论。例1求图示系统的冲激响应。其中h1(t)=e-3t

u(t)，

h2(t)=d(t-1)，h3(t)=u(t)。解：

子系统h1(t)与h2(t)级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)级联支路并联。例2求图示系统的单位脉冲响应。其中h1[k]=2k

u[k]，

h2[k]=d[k-1]，h3[k]=3k

u[k]，h4[k]=u[k]。解：

子系统h2[k]与h3[k]级联，h1[k]支路、全通支路与h2[k]h3[k]级联支路并联，再与h4[k]级联。全通支路满足全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列d[k]3.因果系统定义：因果系统是指系统t0时刻的输出只和t0时刻及以前的输入信号有关。因果系统的充分必要条件因果连续时间LTI系统的单位冲激响应必须满足因果离散时间LTI系统的单位脉冲响应必须满足一个因果系统的冲激响应在冲激出现之前必须为零。例3判断M1+M2+1点滑动平均系统是否是因果系统。解：M1+M2+1点滑动平均系统的输入输出关系为系统的单位脉冲响应为即显然，只有当M2=0时，才满足h[k]=0,k<0的充要条件。即当M2=0时，系统是因果的。4.稳定系统定义：若连续系统对任意的有界输入其输出也有界，则称该系统是稳定系统。稳定系统的充分必要条件连续时间LTI系统稳定的充分必要条件是离散时间LTI系统稳定的充分必要条件是例4判断M1+M2+1点滑动平均系统是否稳定。解：由例3可知，系统的单位脉冲响应为由离散时间LTI系统稳定的充分必要条件可以判断出该系统稳定。对h[k]求和，可得例5已知一因果LTI系统的单位冲激响应为h(t)=eatu(t)，判断该系统是否稳定。解：由于当a<0时，系统稳定当a0时，系统不稳定信号的频域分析连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频谱常见连续时间信号的频谱连续时间Fourier变换的性质离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析周期信号的傅立叶级数展开周期信号的频谱及其特点傅里叶级数的基本性质周期信号的功率谱

将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合

(1)从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。

(2)从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。连续周期信号的频域分析意义：一、周期信号的傅立叶级数展开1.周期信号展开为傅立叶级数条件周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即：(1)绝对可积，即满足 (2)在一个周期内只有有限个不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。2.指数形式傅立叶级数连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为其中两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。3.三角形式傅立叶级数若f(t)为实函数，则有利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为令由于C0是实的，所以b0=0，故三角形式傅立叶级数纯余弦形式傅立叶级数

称为信号的直流分量，

Ancos(n0+n)称为信号的n次谐波分量。例题1试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展开式。解:该周期信号f

(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，必然存在傅立叶级数展开式。可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为若=T/2，则有由因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为例2试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。解:该周期信号f

(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为由周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开式为二、周期信号的频谱及其特点周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和

Cn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。1、频谱的概念2、频谱的表示 直接画出信号各次谐波对应的An、

Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。幅频特性相频特性例1周期矩形脉冲信号的频谱图3．频谱的特性(1)离散频谱特性周期信号的频谱是由间隔为ω0的谱线组成信号周期T越大，ω0就越小，则谱线越密。反之，T越小，ω0越大，谱线则越疏。3．频谱的特性

(2)幅度衰减特性当周期信号的幅度频谱随着谐波nw0增大时，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。

f(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减f’(t)不连续时，Cn按1/n2的速度衰减(3)信号的有效带宽0~2

/这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即

信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。即

越大，其ωB越小；反之，

越小，其ωB越大。物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。4相位谱的作用幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变1.线性特性

2.时移特性

三、傅里叶级数的基本性质3.卷积性质(1)若f(t)为实信号 若f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号，且4.微分特性5.对称特性5.对称特性(2)纵轴对称信号 fT(t)=fT(-t)

纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。(3)原点对称信号 fT(t)=-fT(-t)

原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦项。(4)半波重迭信号

fT(t)=f(t±T/2)

半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。(5)半波镜像信号 fT(t)=-f(t±T/2)半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。去掉直流分量后，信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性[例题3]四、周期信号的功率谱物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。 周期信号的功率频谱：|Cn|2

随nw0分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理[例题4]试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。[解]周期矩形脉冲的傅立叶系数为将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p代入上式功率谱信号的平均功率为包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。吉伯斯现象 用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且为跳变值的9%。吉伯斯现象产生原因 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。N=5N=15N=50N=500周期信号的频域分析小结分析问题使用的数学工具为傅里叶级数最重要概念：频谱函数要点 1.频谱的定义、物理意义 2.频谱的特点 3.频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱 4.功率谱的概念及在工程中的应用连续非周期信号的频谱从傅立叶级数到傅立叶变换频谱函数与频谱密度函数的区别傅里叶反变换非周期矩形脉冲信号的频谱分析1．从傅立叶级数到傅立叶变换讨论周期T增加对离散谱的影响：周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为物理意义:F(jw)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。2.频谱函数与频谱密度函数的区别(1)周期信号的频谱为离散频谱，

非周期信号的频谱为连续频谱。(2)周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为TCn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。两者关系：物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，复振幅为[F()/2p]d的复指数信号ejwt的线性组合。T

,记nw0=w,w0=2p/T=dw,3.傅里叶反变换傅立叶正变换：傅立叶反变换：符号表示：狄里赫莱条件狄里赫莱条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值。（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些点必须是有限值。[例题]试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数[解]非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为由傅立叶正变换定义式，可得分析：2.周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得3.信号在时域有限，则在频域将无限延续。4.信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。5.脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。常见连续时间信号的频谱常见非周期信号的频谱(频谱密度)单边指数信号双边指数信号e-|t|单位冲激信号(t)直流信号符号函数信号单位阶跃信号u(t)常见周期信号的频谱密度虚指数信号正弦型信号单位冲激序列1.常见非周期信号的频谱(1)单边指数信号幅度频谱为相位频谱为单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱(2)双边指数信号e-|t|幅度频谱为

相位频谱为(3)单位冲激信号δ(t)单位冲激信号及其频谱(4)直流信号 直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限的方法求出其傅里叶变换。

对照冲激、直流时频曲线可看出:时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱（5）符号函数信号符号函数定义为符号函数的幅度频谱和相位频谱(6)单位阶跃信号u(t)单位阶跃信号及其频谱2常见周期信号的频谱(1)虚指数信号同理:（2）正弦型信号余弦信号及其频谱函数正弦信号及其频谱函数（3）一般周期信号两边同取傅立叶变换

（4）单位冲激序列因为T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅立叶级数：单位冲激序列及其频谱函数1.线性特性 2.共轭对称特性3.对称互易特性 4.展缩特性 5.时移特性6.频移特性7.时域卷积特性 8.频域卷积特性9.时域微分特性10.积分特性 11.频域微分特性12.能量定理傅里叶变换的基本性质1.线性特性其中a和b均为常数。2.共轭对称特性当f(t)为是实函数时，有|F(jw)|=|F(-jw)|，f(w)=-f(-w)F(jw)为复数，可以表示为3．时移特性式中t0为任意实数证明：令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(jw)。[解]无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t)如右图，因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为4.展缩特性证明:令x=at，则dx=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。例：尺度变换变换后语音信号的变化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)5.互易对称特性6.频移特性（调制定理）若 f(t)

F(jw)式中0为任意实数证明： 由傅立叶变换定义有则信号f(t)与余弦信号cosw0

t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移w0，幅度减半。同理

[例2]试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cosw0t相乘后信号的频谱函数。应用频移特性可得[解]已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为7.时域微分特性则若 f(t)

F(jw)

[例3]试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。[解]

由时域微分特性因此有8.积分特性若信号不存在直流分量，即F(0)=0则若 f(t)

F(jw)则9.频域微分特性则若 f(t)

F(jw)将上式两边同乘以j得证明：[例4]试求单位斜坡信号tu(t)的傅立叶变换。 [解]已知单位阶跃信号傅立叶变换为:利用频域微分特性可得:10.时域卷积特性证明：11.频域卷积特性(调制特性)证明：12.非周期信号的能量谱密度由于信号f(t)为实数，故F(-jw)=F*(jw)，因此上式为 信号的能量可以由|F(jw)|2在整个频率范围的积分乘以1/2

来计算。 物理意义：非周期能量信号的归一化能量在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。能量频谱密度函数(能量频)：单位角频率的信号能量帕什瓦尔能量守恒定理1.线性特性 2.对称互易特性3.展缩特性 4.时移特性 5.频移特性6.时域卷积特性 7.频域卷积特性8.时域微分特性9.积分特性 10.频域微分特性傅立叶变换性质一览表非周期信号频域分析小结重要概念:非周期信号的频谱1)非周期信号的频谱与周期信号的频谱的区别2)非周期信号频谱的物理意义3)非周期信号频谱的分析方法:应用常用基本信号的频谱与傅里叶变换的性质分析问题使用的数学工具:傅里叶变换工程应用:调制、解调，频分复用离散Fourier级数（DFS）DFS的定义常用离散周期序列的频谱分析 周期单位脉冲序列d

N[k] 正弦型序列 周期矩形波序列DFS的性质一、DFS的定义IDFSDFS0k不是N的整数倍Nk是N的整数倍DFS的物理含义1)周期为N的任意序列可分解为基本序列{exp(2pkm/N;m=0,1,,N-1}的线性组合。2)任意序列在的抽样值，做DFS获得可通过对二、常用离散周期序列的频谱分析1.周期单位脉冲序列d

N[k]二、常用离散周期序列的频谱分析2.正弦型序列周期序列f[k]=cos(pk/6)的频谱二、常用离散周期序列的频谱分析3.周期矩形波序列当m=0,N,2N,时有周期矩形波序列的频谱N=30M=2N=30M=12三DFS的基本性质1.线性特性三DFS的基本性质2.位移特性k0123a)时域位移b)频域位移三DFS的基本性质3.对称性实序列偶对称实序列奇对称实序列实部为零，F[m]共轭偶对称(虚部奇对称)周期序列的对称偶对称奇对称三DFS的基本性质4.周期卷积定理周期卷积定义离散时间Fourier变换(DTFT)DTFT的定义DTFT的性质一DTFT的定义DTFT 1)F(ejW)是连续的IDTFT 2)F(e

jW)是周期为2的周期函数F(ejW)特点：例2：解：例3：试求单位脉冲序列f[k]=d[k]的DTFT。解：二DTFT性质1.线性特性2.对称特性当f[k]是实序列时:F(ejW)可表示为若f[k]实偶对称，则F(e