在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究

在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究CCDs得以最广泛应用原因CCDs序贯本质,它自然地将因子点划分为两个子集,第一个子集预计线性和两因子交互效应,第二个子集预计曲性效应.CCDs很有效,以最少试验循环提供了关于试验变量和试验误差很多信息.CCDs很灵活,其设计类型能够应用于不一样操作域和设计域.在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究2/20经典RSM模型经典RSM模型是建立在方差一致性假设基础之上,首先是拟合一阶模型,利用脊分析,找到优化域,再拟合二阶响应曲面模型:此模型包含1+2k+k(k-1)/2个参数,所以必须最少有1+2k+k(k-1)/2个不一样设计点,而且最少每个设计变量是三个水平.在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究3/20主要概念操作域(OperabilityRegion):在安全性允许条件下,加工设备和生产过程加工操作范围所定义研究变量上下界限几何区域。设计域(RegionofInterest):由设计变量各个水平集合上下界限所定义几何区域,在此区域内,真实函数关系能够由一个多项式模型很好地近似,每个试验各自设计域或相同或不一样,但都在操作域之内。在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究4/20评价CCDs一个主要指标-预测方差对于一个二阶设计,在设计域上拥有一个（N表示样本量,X是设计变量矩阵）合理稳定分布是主要。因为一开始设计者并不知道设计空间准确范围或者预测方向以及在设计空间中优化值位置,而一个合理稳定

分布就确保了未来响应预测值

质量。在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究5/20旋转性一个可旋转设计就是与中心点距离相同任意两点

相等,即预测方差一致性.当试验者在试验之前不知道设计域内优化点位置时,旋转性使得设计目标清楚.在CCDs中,经过恰当地选择α可满足旋转性要求,就得到旋转性,F是2k析因设计点数目(k是所研究变量数目)。旋转性本身即使不能确保

在整个设计域上稳定性,但它对设计参数选择提供了指导标准,像对轴向距离α和中心点数目

选择。在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究6/20以三因子为例经典CCDs包含:析因部分:一个立方体2k顶点或者这些析因点一部分(图1中立方体各个顶点)。带有参数α2k个轴向点(图1中各个“星”点),这些点实际上扩展了设计区域,提供了对二阶响应曲面模型纯平方项

预计.一系列中心点(图1中位于各个图形中心点).在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究7/20CCC、CCI和CCF介绍全部设计变量均以编码单位来表示,从设计矩阵中心点到因子高低水平距离是±1,轴向点或者“星”点到中心距离是±α.时轴向点普通在球体上,α=1.0时轴向点在立方面上.轴向点在立方体外面,比因子高低水平±1更高或更低,这种设计称之为外切中心复合设计(CCC).对于CCC设计,每个因子有五个水平:±α,0,±1.当受到条件制约时,可降低因子集合范围,使得轴向点落在每个因子设计域内部,即将±α值设在因子设计域最大和最小界限上,这么得到设计称之为嵌套(内接)中心复合设计CCI.CCI含有CCC全部特征,CCI也是每个因子有五个水平:±0.7,0,±1.当五个水平难以满足或者受到条件制约时,就将轴向点放在设计空间每个面中心上,称之为面心复合设计CCF.CCF仅需要每个因子三个水平:±1,0。在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究8/20轴向距离和中心点数目标作用CCDs优点来自于其灵活性和作为序贯试验设计有用性,灵活性来自于对轴向距离α和中心点数目

选择。其中α选择包括到设计旋转性、模型不符合规格限稳健性、参数预计对外推稳健性等方面。旋转特征与中心点数目无关,仅依赖于α值。中心点数目标选择控制了RSM一些特征:中心点加入不改变正交性特点,但却不再是一个方差优化条件,也就是说,在每个试验点上,回归系数方差不再最小;在一些情况下,中心点数目使得设计含有“一致精度”(UniformPrecision),一致精度确保了在所定义单位距离区域内所预测优化值含有相同方差。中心点数目是CCDs关键成份,其正确选择是到达一致精度决定原因。因为中心点个数决定着

大小,这二者成反比关系,因而球形设计需要3-5个中心点以防止

严重失衡。在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究9/20设计评价、比较和应用选择在RSM设计进行评价比较时,应该依据以下三个方面标准来衡量:首先是BoxandWilson(1951)在其文章中引入了复合设计概念从而能够有效地预计二阶模型平方项,利用预测方差在其设计域上分布来评价一个设计,得出了旋转性这一特征.预测方差应含有稳定性这一特点,因为很多设计在其设计边界上方差是不稳定,从而得出了一致精度概念.RSM设计对模型不符合规格限(ModelMisspecification)稳健性概念,不但因为模型不符合规格限所造成偏移应该考虑,即使是中等程度不符合,使用者也必须在设计选择中认真考虑.在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究10/20从设计域及其复杂性上比较为了成功地运行任一安排试验,操作域必须包含设计域.这意味着过程必须能够在设计域上含有可操作性,所以,正确选择CCDs第一步就是将设计域与操作域相比较.假如试验者能够充分推测出优化目标存在于所研究变量区域内,普通采取球形域.在许多实际情况下,当过程不能够在设计域一个或者多个边界点上操作时,设计域与操作域相同,这时设计域是个立方体.假如过程不能在区域一个或者多个立方体顶点上操作,那么CCF是不适当,这就留给试验者两个选择:降低变量区域产生一个新CF,或者产生一个CCI.因为将轴向点放在变量范围上下界,析因点就落在了设计空间内部,CCI限制了由变量所定义区域真实设计空间.在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究11/20从设计域及其复杂性上比较考虑轴向距离α与设计域和操作域关系:设计域经常表示出α值,α普通取1.0到,在α取值上这三个设计是不一样,假如是球形域CCC,α上界就是k;在CCI中,α上界就是1;在立方域CCF,α=1.0是恰当选择。所以α选择依赖于操作域和设计域.各设计中轴向点相对于因子点位置:CCC、CCI使全部设计点(不包含中心点)与中心等距,这些设计点就形成了一个圆;CCF将轴向点放在立方体表面中心,析因点在立方体顶点,因而它是不可旋转。将α设为k就将一个可旋转CCD转换为一个球形CCD,在球形CCD中,全部设计点都在同一个几何球体上,这些设计不是准确地可旋转,但它们是近似旋转。在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究12/20从设计域及其复杂性上比较考虑设计复杂性:在应用CCC时,延伸所定义变量界限得到轴向点,这就需要操作过程中每个变量含有五个水平(对于CCI一样)。相反,对于CCF,仅需要每个变量三个水平,使之成为一个更简单设计.试验者应该充分重视因为设计水平增加而增加复杂性,即使一个重新装配过程成本不高且不费时间,但这会引发更多实误差变异起源。依据经验,在应用试验设计时,最常见失效原因是因为无法预期较大试验误差所引发,所以选择误差起源少设计是有道理,因为在多数情况下,可旋转性设计优势不能够赔偿所增加复杂性和相关风险.在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究13/20从设计稳健性方面进行比较稳健性是指试验设计对规格限不符合稳健性,从误差角度看就是同时考虑了模型两类误差:随机误差即前面所述和系统误差即偏倚.当偏倚存在于拟合之中时,拟合模型就不可能很好地代表真实模型,拟合不良检验应该是显著.仅用方差作为标准,实际上是假定模型是正确.对于某一特定拟合值,这两类误差实际上就是损失函数标准.试验设计选择应该基于两类误差:方差误差和偏倚误差,这么设计试验才能够确保RSM设计不但到达预测方差在设计域上分布稳健性,而且到达了对模型不适合情况下稳健性,这也显著地提升了设计外推能力.在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究14/20案例分析三个设计所拟合模型都是显著(p<0.05),即模型是充分代表了真实函数,没有偏倚误差。从调整可决系数

看出,而且三个设计所到达拟合程度基本一致.从均方误差(RMSE)来看,CCI最小,CCC最大,这是因为预测误差大小是伴随设计点与设计域之外距离呈几何增加缘故,而在这三种设计中,CCC设计域最大;相对于CCC而言,CCI和CCF对预测响应外推稳健性要好,由此说明轴向距离选择(设计域)极大地影响了设计外推稳健性.从模型系数预计精度可看出,CCC预计精度最高,尤其是平方效应预计,CCI最差,CCI显著地不如CCC有效,这表明设计空间对模型参数预计精度有影响.而从优化点坐标值可推断出,设计域同时极大地影响着优化点位置.在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究15/20案例分析从设计点预测误差来看,CCC、CCI轴向点和析因点性能相同;CCF轴向点要显著地好于析因设计点,这说明球形设计一致精度比立方域要好。对于被CCI排除但依然在CCF操作域之内各个顶点而言,意味着预测误差增加了27%(36.1575435/28.3826518-1)。从中心点预测方差来看,CCF含有最高精度,误差小,这说明CCF设计对中心点数目是稳健.在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究16/20CCC、CCI和CCF异同点比较和总结各个设计析因部分都是

个顶点或者这些析因点一部分,用于预计一阶项和交互作用项,对于5～6个因子,CCD设计因子部分必须是一个含有最小分辨率为V级分式析因设计;但各个设计点位置不一样.轴向点用于预计二阶响应曲面模型纯平方项.轴向距离依赖于操作域和定义域,它决定着设计旋转性,影响到设计外推稳健性和参数预计精度,同时优化点位置随设计域不一样而不一样.对于球形域CCC,2～6个因子时推荐使用α=1.4～2.8,上界为α=k,对于立方域,α=1.0.中心点用于提供一致精度和纯误差预计.在不一样形状设计域中,中心点所起作用显著不一样,在球形设计中,为了到达

合理分布中心点是必需,但在CCF,仅2个中心点就可得到合理稳定性.球形设计对中心点数目是敏感,而CCF对中心点数目是稳健,增加中心点或者重复外部点是为了得到纯预计.在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究17/20在模型拟合程度方面这三种设计一样有效,但在模型预计精度、方差稳定性和一致精度以及模型外推稳健性方面都不一样.对于CCC和CCI,每个试验变量有五个水平,CCF仅需要三个水平,这使得它成为CCD最简单类型,同时也是最不易于受到试验误差起源影响而失效设计,但它是不可旋转,这是它一个缺点.与CCF相比,CCC预测误差精度一性好而且改进了平方(曲性)效应预计.然而,给定一个合理试验误差,这些优势可能不能赔偿每个变量五个水平所增加复杂性.从方差角度来看,假如设计域是球形,CCD最有效设计是用α=k以及3～5个中心点.近于可旋转性时其旋转性上损失并不大,有时设计更可取。在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究18/20选择CCDs指导标准基于可利用资源和因子集合限制来选择经典CCDs,选择由经典设计所推荐轴