2.6 利用三角函数测高 同步练习

第二章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高基础过关全练知识点利用三角函数测高1.(2020江苏苏州中考)如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他进行了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α；(2)量得测角仪的高度CD=a；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为()A.a+btanα B.a+bsinα C.a+btanα D.a2.(2022湖北随州中考)如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD=a，则建筑物AB的高度为()A.atanα−tanβ B.a3.(2022广西贺州中考)如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园.现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角∠B'C'A=60°，∠B'D'A=30°，同时量得CD为60m.烟囱AB的高度为多少米?(精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)4.(2022内蒙古包头中考)如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高DH=CG=1.5米.某数学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为α，再向前走5米到达G处，测得建筑物顶端A处的仰角∠ACE为45°，已知tanα=79，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度5.(2021甘肃白银中考)图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年(1535年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A，D，B在同一条直线上).数据收集：通过实地测量，地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD=42°，∠CBD=58°.问题解决：求宝塔CD的高度(结果保留一位小数).参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60.根据上述方案及数据，请你完成求解过程.能力提升全练6.(2023山东烟台莱阳期中改编)中国的社会主义国家性质，走和平发展道路的战略抉择，独立自主的和平外交政策，“和为贵”的中华文化传统，决定了中国始终不渝奉行防御性国防政策.如图，某大楼上竖立一块国防政策的宣传牌，高CD=3m，小亮和小伟要测量宣传牌底部D到水平地面的距离(DH的长)，小亮在水平地面A处安置测倾器，测得宣传牌底部D的仰角为22°，小伟在水平地面B处安置测倾器，测得宣传牌顶部C的仰角为45°，两人合作量得测倾器的高度AE=BF=1.2m，测点A和测点B之间的距离为9m，请根据以上信息，求宣传牌底部D到水平地面的距离.(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)7.(2022甘肃武威中考)灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(如图1)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥.某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数(A，B，D，F在同一条直线上)，在河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE).数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°.问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数).参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.根据上述方案及数据，请你完成求解过程. 图1 图2素养探究全练8.(2022山东烟台莱州期中)市政府为实现5G网络全覆盖，2021—2025年拟建设5G基站三千个.如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1∶2.4.小芳在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A，B，C，D均在同一平面内，CE为地平线)参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43(1)求D处的竖直高度；(2)求基站塔AB的高.

第二章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高答案全解全析基础过关全练1.A如图，延长CE交AB于F，则四边形BFCD是矩形.∴BF=CD=a，CF=BD=b.∵tan∠ACF=AFCF，∴AF=btan∴AB=BF+AF=a+btanα.故选A.2.D设AB=x.在Rt△ABD中，tanβ=ABBD=xBD，∴∴BC=CD+BD=a+xtanβ.在Rt△ABC中，tanα=ABBC=xa3.解析解法一：设C'B'=xm，在Rt△AC'B'中，∠AC'B'=60°，∴tan60°=AB'x，得AB'=3xm在Rt△AD'B'中，∠AD'B'=30°，∴tan30°=AB'60+x，得AB'=33(60+∴3x=33(60+x)，∴AB=AB'+BB'=3×30+1.2≈53.2(m).答：烟囱AB的高度约为53.2m.解法二：由题意得BB'=DD'=CC'=1.2m，D'C'=DC=60m，∵∠AC'B'是△AD'C'的一个外角，∴∠D'AC'=∠AC'B'-∠AD'B'=60°-30°=30°.∴∠AD'C'=∠D'AC'=30°.∴D'C'=AC'=60m.在Rt△AC'B'中，∠AC'B'=60°，∴AB'=AC'·sin60°=60×32=30∴AB=AB'+BB'=303+1.2≈53.2(m).答：烟囱AB的高度约为53.2m.4.解析根据题意可知，∠AED=90°，∠ADE=α，∠ACE=45°，DC=HG=5米，EB=CG=DH=1.5米.设AE=x米.在Rt△AEC中，∵∠AEC=90°，∠ACE=45°，∴CE=AE=x米.在Rt△AED中，∵DC=5米，∴DE=(x+5)米.∵tan∠ADE=AEDE，tanα=79，∴∴9x=7x+35，∴x=17.5，即AE=17.5米.∵EB=1.5米，∴AB=AE+EB=17.5+1.5=19(米).答：建筑物AB的高度为19米.5.解析设CD=xm，在Rt△ACD中，AD=CDtan∠CAD在Rt△BCD中，BD=CDtan∠CBD=∵AD+BD=AB，∴x0.90+x1.60≈58，解得x答：宝塔CD的高度约为33.4m.能力提升全练6.解析如图，延长EF交CH于点G，易知FG⊥CH.由题意，得EF=AB=9m，AE=BF=GH=1.2m.∵∠CFG=45°，∴∠FCG=45°.∴FG=CG.设FG=CG=xm，∴DG=CG-CD=(x-3)m.在Rt△EDG中，∠EGD=90°，∠DEG=22°，EG=EF+FG=(9+x)m，∴DG=EG·tan22°，∴x-3≈(9+x)×0.40，解得x≈11.∴DG=x-3=11-3=8(m).∴DH=DG+GH=8+1.2=9.2(m).答：宣传牌底部D到水平地面的距离为9.2m.7.解析设CF=xm，在Rt△ACF中，AF=CFtan∠CAF在Rt△BCF中，BF=CFtan∠CBF∵AF-BF=AB，∴x0.50−x0.70=8.8，解得x∴CF=15.4m.∵FG=DE=1.5m，∴CG=CF+FG=15.4+1.5=16.9(m).答：灞陵桥拱梁顶部到水面的距离约为16.9m.素养探究全练8.解析(1)如图，过点D作DM⊥CE，垂足为M.∵斜坡CB的坡比为1∶2.4，∴DMCM=12.4设DM=5k米，k>0，则CM=12k米，在Rt△CDM中，CD=13米，由勾股定理得DM2+CM2=CD2，即(5k)2+(12k)2=132，∴k=1(舍负).∴DM=5米，CM=12米.∴D处的竖直高度为5米.(2)如图，过点D作DF⊥AE于点F，设DF=12a米，a>0，则ME=12a米，BF=5a米.∵∠ACE=45°