小学数学《数学广角 排队问题》课堂实录

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文字录入：同福中路第一学校

课前谈话

师：同学们，刚才我听你们背了一首诗，是什么时候学的呢？

生：四班级

师：看来你们对四班级该掌控的知识真的还掌控的不错。我们是第一次见面，刚刚才见面，但是你们的笑容告知我，你们是欢迎我的，是吗？

生：是？

师：感谢。刚才我把一张纸发了下去，先把它压在书下面，我们稍后统一再用。今日我们在这里上课，由于空间比较大，所以等一下同学们回答下列问题的时候，可能需要用到麦克风，麦克风在中间那一排同学那里，大家看看。麻烦中间六位同学在等一下上课的时候手勤快一些。当我点到某一个同学回答下列问题，请很快地把麦克风递给他。还有，我们来上数学课，你觉得数学课最重要的一点，上课要怎么样？

生：仔细听。

师：呦，数学可不是听来的，

生：积极发言、思索……

师：说得真好。我们要把数学学好，需要要——思索！对！要不要听？要不要说？但更重要的是什么？

生：思索。

师：更重要的是思索。等一下看看我们班的同学积极思索，举手发言，给我的印象就真好。你情愿做前面的还是情愿做后面？

生：前面的！

师：这个同学反应很快，看来他真的要做前面的。还有一点大家回答下列问题不要可怕，我们第一次见面就当做是交个伙伴。好不好？

生：好！

师：那下面我们要预备开始上课了，行吗？

生：行！

教学过程

师：同学们爱听故事吗？

生：爱！

师：我来讲个故事，这个故事就发生在我们学校。〔边讲故事边播放课件〕前几天放学后，四年一班和四年二班的值日生接到一个紧急任务。请看屏幕。要四年一班和四年二班的值日生在20分钟内把桌椅、地板用水擦洁净，把花浇好。只有20分钟的时间，但是这个时侯已经放学了，每个班里只剩下3个值日生。他们立刻分工合作，忙得不亦乐乎。20分钟过去了，四年二班顺当完成任务，但是四年一班由于时间不够，完成不了。后来级长来了解缘由，发觉两个班的值日生都做得特别仔细，他们的工作程序和工作分工都是一样的。由于擦桌椅、地板，浇花都要用到水，而在课室的不远处，就有两个水龙头，刚好每班一个。所以他们第一步都是三个值日生一起先到水龙头处拿水，把水打回来后，分工合作，然后谁先做完了就帮没做完的同学。程序一样，分工一样，究竟什么地方不同，导致最末四年二班顺当完成任务，但是四年一班却不行呢？问题原来就出在用水龙头打水这个环节上。同学们，打水可是需要时间的，每个人只有多少分钟？

生：20分钟。

师：打水的时间长了，搞卫生的时间就短了。你看，第一个大水桶打水的时间是5分钟。中水桶？

生：3分钟。

师：小水桶？

生：1分钟。

师：那你猜，四年一班和四年二班在打水的时候，他们的安排有什么不同呢？思索一下。

生：〔宁静思索〕

师：都是这样子打水，都是一起到那里打水，原来他们在打水时，水桶的排序不一样，排队的顺次不一样。怎么了？这些水桶哪些水桶先，哪些水桶后，花的时间不是一样的吗？一样吗？

生：不一样。

师：莫非排队的顺次也会影响工作的结果吗？

生：会。

师：对！真的会！所以今日，我们就站在数学的角度去讨论一下排队的问题。今日，我们学习的是什么？

生：数学广角！

师：我们来学习的是数学广角。〔板书课题〕

师：现在猜一猜，你说四年一班是怎么排这些水桶的顺次？猜一猜，他赢了，他是怎么排这些顺次的？

生：我想他们是先用最小的水桶先打水，然后再是中水桶，再用大水桶打。

师：也就是说，根据“小—中—大”这样的顺次来排。〔在黑板的表格上填写〕这是这个同学的猜想。小水桶打水是几分钟？

生：1分钟。

师：中水桶？

生：3分钟。

师：大水桶？

生：五分钟。

师：好，还有其他猜想吗？四年二班赢了，他是按什么样的顺次？

生：我猜他是先叫中水桶，再小水桶，再大水桶。

师：根据“中—小—大”这样的顺次来排。〔在黑板的表格上填写〕还有没有别的猜想？

生：我猜他们可能是5分钟大水桶先，接着中水桶，然后小水桶。

师：根据“大—中—小”这样的顺次来做的。〔在黑板的表格上填写〕看来还有不同的'看法？也就是，我们的排序止不止这3种？

生：不止。

师：我们还有其他的排序，是吧？

生：是。

师：但究竟那一种顺次才是最快的顺次呢？我们先不急，我们先把这些水桶排队的顺次先列举出来。这是我们以前学过的知识。会吗？

生：会。

师：拿出你们的练习纸，立刻列一列，同位两个同学相互合作。

生：〔在练习纸上列顺次〕〔00：13：09——00：15：00〕

师：列举完的请举手。还有哪些顺次？你做到不重复，不遗漏了吗？做完的边举手边检查。请个同学说说，这些水桶排队有哪些顺次呢？〔生边汇报师边板书〕

生：“小—中—大”

师：已经有了，说说没有的。

生：“小—大—中”

师：你把它放在哪里？第几栏？

生：最末。

师：最末？想想老师为什么会问你这个问题。然后？

生：“大—小—中”

师：写在哪里？

生：第四栏。

师：这一栏还是这一栏？

生：第四……第五……

师：你说一说，你的顺次是什么？

生：“小—中—大”

师：“小—中—大”已经有了，“小—大—中”也已经有了。想想，〔指板书〕老师为什么要这样排列？找到方法规律了吗？

生：“大—小—中”

师：在哪里？

生：第二个。

师：“大—小—中”

生：“中—大—小”

师：完了吗？都列举完了吗？没有重复没有遗漏吗？

生：没有。

师：为什么你这么确定？有什么方法？

生：先把“大”先排出了，再排两个“中”，再排两个“小”开头的。

师：听懂他的话了吗？

生：听懂。

师：也就是我们在排队的时候，假如我们根据顺次来排的话，才会做到不重复不遗漏。古怪了，其实无论怎么排，打水的时间是不是一样的？

生：不是…是…

师：为什么是一样的？你来说说。

生：由于每5分钟打水、3分钟打水、1分钟打水加起来都是一样的数。

师：都是多少？

生：9

师：都是9分钟。恩，这是他的见解。无论怎么排都是5+3+1=9。有什么区分呢？下面我们来看看有什么区分。好，我们来看看，我们来算一算，这三个人，他们打水的时间总和是不是一样的？我们来看看，他们的打水时间：大水桶几分钟？

生：5分钟。

师：中水桶呢？

生：3分钟。

师：小水桶呢？

生：1分钟。

师：那第一个人用了……？

生：5分钟。

师：第二个人呢？

生：3分钟。

师：别忘了，他不等啊？他不等前一个人吗？

生：8分钟。

师：为什么是8分钟？唉，反应过来了，我说就不一样嘛。

生：由于第1个人已经用了5分钟，第二个人用了3分钟，然后5分钟加3分钟就等于8分钟。

师：前面的5分钟是干嘛的？

生：前面的5分钟是打大水桶的。

师：也就是说第二个人究竟用了几分钟？

生：8分钟……3分钟……

师：8分钟还是3分钟？

生：8分钟。

师：怎么是8分钟？明明是3分钟？同位说说，明明是3分钟，为什么是8分钟？

生：〔同位争论〕

师：有答案了吗？

生：有！

师：那一起告知我，为什么是8分钟？

生：由于……

师：用个算式来告知我行不行？

生：5+3=8

师：对呀。前一个人打水，后一个人还得要等啊。第三个人要用多少分钟？好，一起说！

生：9分钟。

师：怎么算出来的？

生：5+3+1=9

师：对，假如按这样的排序，第一人用了5分钟，第二人用了〔5+3〕分钟，第三个人用了〔5+3+1〕分钟，三个人打水一共用了多少分钟？

生：9分钟。

师：〔作无奈状〕第一人用了5分钟，第二人用了〔5+3〕分钟，第三个人用了〔5+3+1〕分钟，三个人打水一共用了多少分钟？你看看一些举手的同学，他们算得多快呀。好，你来。

生：一共用了20分钟。

师：好，你来补充。

生：一共用了22分钟。

师：好，请坐。我们一起来算算看看是不是。用了几个5分钟？

生：3个。

师：用了3个5分钟。继续说。

生：2个3分钟。

师：真行。2个3分钟，用了……1个1分钟。好，我们来算算，这是15，这是6，这是1，多少？

生：22

师：用了22分钟。三个人一共用了22分钟来打水。那他们搞卫生……？

生：没时间了。

师：有，怎么没时间呢？他们搞卫生用了多少时间？第一个人有多少分钟？

生：5分钟。

师：有多少分钟搞卫生？

生：15分钟。

师：对，有15分钟搞卫生。第二个人？

生：12分钟。

师：算得快！第三个人？

生：11分钟。

师：有11分钟搞卫生。一共搞卫生用了多少时间？

生：38分钟。

师：用了38分钟。除了这样的算法，还有没有更快的算法？1个人有20分钟，3个人有？打水就用了？

生：22分钟。

师：所以他这里用来多少分钟？怎么列式？

生：20×60

师：20×3就是60，一共用了60分钟，减去？

生：减去22分钟

师：等于？

生：等于38分钟。

师：他跟我一样，都是近视，我能理解他，离得远看不清。你看，有两种算法都能算出来是38。刚才我们算了大水桶、中水桶、小水桶这样的顺次，“大—中—小”。那么我们再挑一个来算一算。你们刚才说花的时间是一样的，现在我们来看一看，是不是真的一样。一起来算，假如根据“大—小—中”，那是5分钟……

生：1分钟，3分钟。

师：第一人5分钟。

生：第二人〔5+1〕分钟。

师：第三人？

生：〔5+1+3〕分钟。

师：那总和是多少分钟？搞卫生的时间又是多少分钟？你会算吗？能不能？

生：能？

师：接着下来这些你都能算吗？我们同位合作，看看那个同学合作得好，抓紧时间把它算出来。

生：〔同学计算〕

师：有些同学一个在写一个在算，这样就快了。

生：〔同学计算〕

师：好，请把笔放下。来，我们一起看。刚才有的同学合作得特别好，一个算上一题，一个算下一题，这叫节约时间。今日我们讨论的也是有关合作的问题啊。好，我们一起来看一看，刚才算的这一个大中小桶最末这个时间是多少？

生：……

师：几个5？

生：3个5

师：继续说？

生：2个1

师：反应很快，继续……

生：1个3

师：15+2+3等于28分钟。所以搞卫生用了……

生：……

师：怎么没声音呀？哦，原来是之前我写错了。难怪，我就说怎么都没声音的呢。15+2+3=20才对。好，继续，60-20=40分钟。好，接着，中小大的顺次，能不能反应快一些呢？好，我们一起来。

生：……

师：几个3？请看！！三个3！几个1？

生：两个1，一个5。

师：3*3+2*1+5*1=？

生：16

师：接着……

生：60-16=44

师：好，接着，这里……

生：这里是3，这里是3+5，这里是3+5+1

师：猜，我为什么不写这一个。我不写这一个我都能列这个算式。板书33+53+5+1

这里是几个3？

生：三个3。

师：三个3，两个5，加一个1，等于……？

生：……

师：不要在误导我。究竟是多少？

生：20

师：搞卫生的时间是60-20=40分钟，好，继续！这里是……

生：11+51+5+3

师：几个1？

生：三个1。两个5，加一个3。

师：等于……

生：16

师：等于16。

生：60-16=44分钟。

师：我都觉得烦了。干嘛写这个呢？我不写这个能写这个吗？

生：能！

师：怎么样？三个1，两个3，一个5〔列式〕等于……？

生：16……14……

师：14

生：60-14=46

师：我们知道，不同的排序，打水的时间一样吗？

生：不一样。

师：搞卫生的时间就不一样。你猜，四年2班赢了，他用的是哪种的排列顺次呢？

生：……

师：刚才谁猜对呢？都没有人举手。好现在一起手，是哪一种排列顺次？

生：第6种。

师：也就是说，四年2班用的是第6种的顺次。对了，四年1班输在哪里呢？他们用了第一钟的顺次。用第一种的顺次跟用了第六种的顺次，最大的区分在哪里？我们一起来观测一下这些算式……我们一起来看屏幕。〔屏幕显示条形图〕假如我们根据小中大的顺次来排的话，我们发觉，3个人都是有20分钟。但第一个人打水1分钟，搞卫生19分钟。第二个人打水4分钟，搞卫生16分钟。第三个人打水9分钟，搞卫生就用了11分钟。所以，假如根据小中大这样的顺次来排的话，用了14分钟打水，用了46分钟搞卫生。这就是四年2班的顺次。而四年1班他们采纳的是……刚好反过来，大中小的顺次。都有20分钟，第一个人用了5分钟，第二个人用了8分钟，还剩下12分钟。三个人用了9分钟，还剩下11分钟。所以他打水用了22分钟，搞卫生用了38分钟。赢的策略跟输的策略。搞卫生的时间就相差了多少分钟？

生：相差了8分钟。

师：相差了8分钟。就是由于这8分钟，四年1班输了，四年2班赢了。看看，刚才同学们说打水，不管那桶怎么排，都是用了9分钟。这句话只对了一半。是谁用了9分钟？

生：最末一人。

师：是最末一人用了9分钟，但是他们前面的同学用的时间一样吗？

生：不一样。

师：不一样！所以，现在想想，假如我要节约这些打水的时间……这是不是打水的时间啊？是打水的时间吗？那他为什么这里用了5分钟，这里用了8分钟呢？前面的5分钟是用来干嘛的？

生：等第一个。

师：等第一个，也就说他把时间花在了等前面人的身上。所以，想想，这是不是打水的时间？是什么时间？

生：等待的时间。

师：对。这根本就不是打水的时间，其实他是把时间花在了等这里。是等候的时间。而真正用来搞卫生的时间是后面的这一半。那现在，你想想，假如要赢的话，应当按怎么样的排序才能赢呢？把什么放在前面？把什么放在后面？同位两个商量一下。

生：〔同学争论〕

师：好，谁来说一说？这个小男孩来说。

生：先把小中大放在第一个。

师：也就是说，把什么排在第一，把什么排在第二，把什么排在第三？

生：把小的放在……

师：什么小？

生：把小桶……

师：事实上就是什么少？

生：时间。

师：把时间少的放在前面。然后呢？

生：把时间中的防在第二个，最末把时间久的防在第三个。

师：这样做有什么好处啊。

生：可以节约时间。

师：怎么会节约？谁来帮他补充？

生：就可以等候的时间少一点。

师：对。不用等前面的人等得那么久。对，你看，这就是合作操作。我们在合作工作的时候，排队的顺次，往往会影响工作效率。当然谁都不盼望久等，但是在合作的时候，假如我们合理地排列这些顺次，我们就可以使等的时间少一点……

生：搞卫生的时间就多一点。

师：搞卫生有这样的规律，那么其他的问题上都是等候，会不会也有这样的规律呢？好，我们来看一看。北江又在堵船了，干嘛回家堵船的？这些船啊，原来都在等候卸货。但是码头只有3个船位，是可以让轮船靠近去的，而这些船的货物还得一船一船的卸货。有的船货多，泻货的时间就长。有的船货物少，泻货的时间越短。现在我想解决这个河道堵塞的问题。假如你就是这个调度员，怎样安排——预备起！一起读。

生：……

师：猜到了吗？那个女同学很想回答。让她回答。

生：先让那些小的船先卸货，然后是中的船，最末大的船。这样，等候的时间就花得越少。

师：你是这样猜的，还有其他的猜想吗？你说，你猜。

生：我猜先是小的船靠近，然后是大的船，然后是中船。

师：小的、大的、中的，是吧？好，下面我们就来讨论一下。我想问一问，你的猜想跟刚才那个女同学接近的请举手。

生：〔同学举手〕

师：跟刚才那个男同学一样的请举手。

生：〔同学举手〕

师：好，请放下手。那么我们来看看，是不是真的是这样。船太多的，我们就按这位同学所说的，把它看作是一只货物小的船，一只货物中等的船，一只货物比较多的船，我们一起来讨论一下看看。这里有三艘船，这一艘船需要……1小时。另一艘船需要4小时，第三艘船需要8小时。我们就把它叫做小船、中船和大船。好，我们来看看，这里有句话是怎么说的？

生：只能一船一船地卸货。

师：有什么问题？

生：要使三艘货船的等候时间最少，应当按怎样的顺次卸货？

师：想一想，我们预备怎样解决？刚才你们猜想，刚才那个女同学的猜想是小——中——大，那个男同学的猜想是小——大——中。好，这样，我们把这张纸翻到后面，请在第一栏写出你猜想的顺次。你们先别忙，我还没说完呢。第一栏写出你猜想的顺次，然后再算它的时间。然后，你再随意列一种顺次，也算算它的等候时间，看看你的猜想对不对。行不行？

生：行。

师：好，开始做。……〔巡察〕看来刚才还有同学没听懂，第一栏是你的最正确方案，第二栏是对比的方案。明白了吗，就两个方案就行了。

生：〔同学争论，计算〕

师：好，请第一个同学。做完了请举手。〔拿了两个同学的练习纸到实物投影〕。好，有答案的同学请坐好。好，这个同学，他的最正确方案是小——中——大，他的等候总时间是19分钟。然后，他的对比方案是小——大——中。他的等候时间是23分钟。他通过这样一对比，的确是第一方案是最好的。有没有其他的看法？刚才那位同学不是说小——大——中吗？是不是？那你现在，你自己的认为呢？站起来说一说你的看法。

生：我认为是先小后大再中。

师：现在你还坚持这样的看法吗？

生：不坚持。

师：不坚持了，那你现在认为呢？

生：我认为小——中——大。

师：其他同学，你们的看法假如有不同的，你可以举手说出来。有没有？你们都是认为按什么的顺次？

生：小——中——大

师：好，那我看看是不是。由于时间的问题，老师给你们把它全部算出来了。你看