七年数学下册第章多边形.1三角形.1.2三角形中三种主要线段课件（新版）华东师大版

9.1三角形第2课时

三角形中三种

主要线段第9章多边形1课堂讲解三角形的角平分线三角形的中线三角形的高2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升有一天，小明回家看到弟弟正在对着下边的三角形发呆，小明有一点奇怪了，外号“坐不住〞的弟弟怎么能坐住了？原来是弟弟想作出三角形ABC的三条高，但是他不会作边AB、BC上的高，小明不假思索的说：“我来帮你〞，当他准备作时，也难住了，聪明的你，能帮帮小明兄弟吗？1知识点三角形的角平分线如下图，作△ABC的内角∠BAC的平分线交BC于点D，线段AD就是△ABC的一条角平分线.显然，△ABC有三条角平分线.知1－导如图是一个锐角三角形ABC，在这个三角形中画出三条角平分线.把锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形，再试一试.你发现了什么知1－导知1－讲1.定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点和交点之间的线段叫这个三角形的角平分线．2.位置图例：任何三角形的三条角平分线交于一点，

且该点在三角形的内部，这点叫这个三角形的内

心．如图.知1－讲3.表达方式：(1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC交BC于点D；(3)∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.

注：上述三种情况都表示同一意义，即AD是△ABC

的角平分线，选用哪种表示法，应根据解题需要.知1－讲4.特别提醒：(1)三角形中的重要线段：三条高、三条中线、三条角

平分线．(2)三角形中的三个重要的点：三条高的交点叫垂心，

三条中线的交点叫重心，三条角平分线的交点叫内

心．5.易错警示：

角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条

线段，不要混淆．关于三角形的角平分线，以下说法正确的选项是()A．是线段B．是射线C．是直线D．可以是射线或线段知1－讲例1导引：三角形的角平分线是一条线段，应选A.A总

结知1－讲三角形的角平分线与角的平分线是不同的两个概念：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线；一个三角形的角平分线有三条，一个角的平分线只有一条；在三角形中，三角形的角平分线是三角形的内角平分线上的一局部．此题易因混淆概念而错选D.如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，EF交AD于点O，请问DO是△DEF的角平分线吗？说明理由．知1－讲例2导引：要知道DO是不是△DEF的角平分线，只需要知道∠EDO与∠FDO是否相等．假设相等，根据三角形的角平分线的定义即可判定．知1－讲解：DO是△DEF的角平分线．理由如下：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠DAB＝∠DAC(角平分线定义)．因为DE∥AC，DF∥AB，所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF(两直线平行，内错角相等)，所以∠ADE＝∠ADF(等量代换)，所以DO是△DEF的角平分线．总

结知1－讲本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件(如平行等)推出新的一组相等的角，最后由角平分线的定义证明角平分线，它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法．1(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形是________；(2)如图，假设AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．知1－练知1－练2如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，那么________是△ABD的角平分线；________是△ADC的角平分线；AD是△________和△________的角平分线．知1－练3如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，以下结论错误的是()A．BD是△ABC的角平分线B．CE是△BCD的角平分线C．∠3＝∠ACBD．CE是△ABC的角平分线2知识点三角形的中线知2－导如下图，取△ABC边AB三的中点E，连接CE，线段CE就是△ABC的一条中线.显然，△ABC有三条中线.如图是一个锐角三角形ABC，在这个三角形中画出三条中线.把锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形，再试一试.你发现了什么知2－导知2－讲1.定义：连结三角形一个顶点和它对边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线．2.位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该点在三角形内部，如图，这个点叫三角形的重心.知2－讲3.表达方式：(1)AD是△ABC中BC边上的中线．(2)点D是BC边的中点．(3)BD＝DC或BD＝BC或DC＝BC或BD＝DC

＝BC.注：上述三种情况都表示AD是中线，选用哪种表示法，应根据解题需要．4.易错警示：中线是线段，不要将它与线段所在直线

混淆.(动手操作题)在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两局部，求三角形的各边长．知2－讲例3导引：因为中线BD将△ABC的周长分成两局部：(BC＋CD)和(AD＋AB)，谁为12cm，谁为15cm，不确定，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因此可建立方程的模型，利用设未知数来求解．知2－讲解：设AB＝xcm，那么AD＝CD＝xcm.(1)如图①，假设AB＋AD＝12cm，那么x＋x＝12，解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此时AB＋AC＞BC，所以三边长分别为8cm，8cm，11cm.知2－讲(2)如图②，假设AB＋AD＝15cm，那么x＋x＝15，解得x＝10，即AB＝AC＝10cm，那么CD＝5cm，故BC＝12－5＝7(cm)．显然此时三角形存在，所以三边长分别为10cm，10cm，7cm.综上所述，此三角形的三边长分别为8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm.总

结知2－讲(1)本例中由于条件不确定，因此我们针对条件的不确定性对图形可能出现的不同情况，运用分类讨论思想对题目进行分类讨论；解答中，针对题中涉及的线段这个“形〞较多，为了使解答更简练，我们将建立方程这个“数〞的模型；因此本例的解答过程表达了：分类讨论思想、建模思想、数形结合思想、方程思想等．(2)警示：求三角形的边时，要注意隐含条件：三角形三边关系．1如图，BD是△ABC的中线，AC的长为5cm，△ABD与△BDC的周长之差为3cm，AB的长为13cm，求BC的长．知2－练知2－练2三角形的三条中线交于一点，那么以下结论：①这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形的外部；③这一点是三角形的重心．其中正确的结论有________．(填序号)D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么以下说法中不正确的选项是()A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BE＝ECD．AD＝EC，DC＝BE33知识点三角形的高知3－导如下图，过顶点B作△ABC的边AC的垂线，垂足为点F，线段BF就是△ABC的一条高.显然，△ABC有三条中线、三条角平分线和三条高.如图是一个锐角三角形ABC，在这个三角形中画出三条高.把锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形，再试一试.你发现了什么知3－导知3－讲1.定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做该三角形这条

边上的高；一个三角形有三条高．2.位置图例：(1)三个角都是锐角的三角形：三条高都

在三角形内部，其交点也在三角形内部(如图1)．图1知3－讲(2)有一个直角的三角形：一条高在三角形内部，两条

高在三角形边上；其交点为直角顶点(如图2)．(3)有一个钝角的三角形：一条高在三角形内部，两条

高在三角形外部，其交点在三角形外部(如图3)．图2图33.表达方式：(1)AD是△ABC的BC边上的高；(2)AD⊥BC于D；(3)∠ADC＝90°，∠ADB＝90°，或∠ADC＝

∠ADB＝90°.注：上述三种情况都表示AD是高，选用哪种表示

法，应根据解题需要合理选用．4.易错警示：(1)三角形中大于90°的角的两边上的高

的作法(高均在三角形外部)．(2)任何三角形的三条高所在直线交于一点(垂心)．知3－讲(动手操作题，易错题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)例4导引：“作一边上的高〞，即可看作“过一点(这边所对角的顶点)作直线(这边所在的直线)的垂线．〞按照“过一点作直线的垂线〞进行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意AB，BC边上的高在三角形的外部，作高时先延长AB与CB.知3－讲解：如下图.知3－讲总

结(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的步骤就是“过一点作直线的垂线〞的步骤：一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、二找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)、三画线(画垂线段)，如图.(2)注意：高是线段，垂线是直线．知3－讲如图，△ABC中，BC＝4cm，AC＝5cm.(1)假设BC边上的高AD＝4cm，试求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)试求AD∶BE的值．例5导引：利用三角形面积公式及等积原理求解．知3－讲解：(1)S△ABC＝BC·AD＝×4×4＝8(cm2)，∴S△ABC＝AC·BE＝×5×BE＝8(cm2)，∴BE＝cm.(2)AD∶BE＝4∶＝.知3－讲总

结求三角形面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形面积是解三角形问题中常用的思想方法之一，而用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系，是一种很重要的数学方法：等积法．知3－讲1(长沙)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的选项是()知3－练2以下说法中正确的选项是()A．三角形的三条高都在三角形内B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．三角形每一边上的高都小于其他两边知3－练知识总结知识方法要点关键总结注意事项三角形的三条重要线段三角形的三条重要的线段是指三角形的内角平分线、三角形的三边的中线和三条高上的高线.①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条高线交于一点:a.三角形的角平分线交于一点，交点在三角形的内部.b.三角形的三条中线的交点交于一点，交点在三角形的内部.