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文档简介

一、变上限定积分第四章函数积分学第六节微积分基本公式二、微积分基本公式第1页第1页一、变上限定积分假如x是区间[a,b]上任意一点，定积分表示曲线y=f(x)在部分区间[a,x]上曲边梯形AaxC面积，如图中阴影部分所表示面积.当x在区间[a,b]上改变时,阴影部分曲边梯形面积也随之改变，因此变上限定积分yxy=f(x)axbOACB是上限变量x函数.记作(x)，即≤≤(x)第2页第2页定理1

若函数

f(x)在区间

[a,b]

上连续，则变上限定积分在区间

[a,b]

上可导，并且它导数等于被积函数，即第3页第3页证按导数定义，给自变量x以增量x，x+

x[a,b]，由(x)定义得相应函数(x)量(x)，即(x)=(x+x)-

(x)x+xACbBy=f(x)xyxaO(x)第4页第4页依据积分中值定理知道，在x与x+

x之间至少存在一点x，(x)又由于f(x)在区间[a,b]上连续，因此，当x0时有xx，f(x)

f(x)，从而有(x)故使成立.第5页第5页定理1告诉我们，是函数f(x)在区间[a,b]上一个原函数，这就必定了连续函数原函数是存在，因此，定理1也称为原函数存在定理.变上限定积分第6页第6页例1

求(x).解

依据定理1，得第7页第7页例2

求F(x).解

依据定理1，得第8页第8页例3

求(x).解(x)第9页第9页例4

解第10页第10页二、微积分基本公式定理2

假如函数

f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是

f(x)在区间

[a,b]

上任一原函数，那么第11页第11页证由定理1知道f(x)在[a,b]上一个原函数，又由题设知道F(x)也是f(x)在[a,b]上一个原函数，由原函数性质得知，同一函数两个不同原函数只相差一个常数，即把x=a代入①式中，则，常数C=F(a)，于是得①≤≤第12页第12页令x=b代入上式中，移项，得再把积分变量t换成x，为了此后使用该公式以便起见，把②式右端这样②式就写成下列形式：得②第13页第13页例5

计算下列定积分

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