新教材高考数学一轮复习考点规范练26等差数列及其前n项和含解析新人教版

PAGEPAGE5考点规范练26等差数列及其前n项和一、基础巩固1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2+a8=6,则S9等于()A.272 B.27 C.54 D.2.已知等差数列{an}的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为()A.110 B.200 C.210 D.2603.已知数列{an}是等差数列,且a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,数列{an}的前n项和为Sn,则使得Sn最大的n是()A.18 B.19 C.20 D.214.(多选)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各选项中也一定为定值的有()A.a7 B.a8 C.S15 D.S165.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n等于()A.5 B.6 C.7 D.86.(多选)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是()A.d>0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值7.已知等差数列{an}的前3项依次是-1,a-1,1,则a=;通项an=.

8.设Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=9.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=1a(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.二、综合应用10.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+5a3=S8,则下列结论一定正确的是()A.a10=0B.当n=9或10时,Sn取最大值C.|a9|<|a11|D.S6=S1311.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S20>0,S21<0,则S1a1,SA.S10a10 B.S11a1112.(2020山东,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.

13.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22.(1)求an;(2)求Sn的最小值;(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=Snn+三、探究创新14.下表数阵的特点是每行、每列都成等差数列,记第i行第j列的数为aij,则(1)ann=(n∈N*);

(2)表中的数52共出现次.

234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……15.已知各项均为正数的等差数列{an}满足a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能够被5整除.

考点规范练26等差数列及其前n项和1.BS9=9(a12.C设等差数列{an}的前n项和为Sn.由于在等差数列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,又S4=30,S8=100,所以30,70,S12-100成等差数列,即2×70=30+S12-100,解得S12=210.3.C根据题意可知,由a1+a3+a5=105,得a3=35,由a2+a4+a6=99,得a4=33,则等差数列{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.4.BC由等差中项的性质可得a3+a8+a13=3a8为定值,则a8为定值,S15=15(a1+a15)2=15a8为定值,但S16=165.D(方法一)由题知Sn=na1+n(n-1)2d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.6.BD根据题意,设等差数列{an}的公差为d.由于S6=S7,则S7-S6=a7=0,故B选项正确;由S5<S6,得S6-S5=a6>0,则d=a7-a6<0,故A选项错误;若S9>S5,则a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,又由a7=0,且d<0,得a8<0,即a7+a8<0,矛盾,故C选项错误;因为S5<S6,S6=S7>S8,所以S6与S7均为Sn的最大值,故D选项正确.7.1n-2因为-1,a-1,1构成等差数列,所以2(a-1)=-1+1=0,解得a=1.因为首项a1=-1,公差d=1,所以an=n-2.8.4设等差数列{an}的公差为d.∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.∴S10S9.(1)证明由题意可知,an≠1.由1a得bn+1-bn=13,故{bn}是公差d=13(2)解由(1)及b1=1a1-1=12-1即an-1=3n+2,故an10.AD设等差数列{an}的公差为d.由于a1+5a3=S8,则a1+5a1+10d=8a1+8×7d2,得a1+9d=0,即由于a1+9d=0,当d>0时,a1<0,则Sn有最小值,故B错误;因为|a9|=|a10-d|=|d|,|a11|=|a10+d|=|d|,所以|a9|=|a11|,故C错误;由于S6=6a1+6×5d2=-54d+15S13=13a1+13×12d2=-117d+78故D正确.11.A由题意可得等差数列{an}的公差d<0,因为S20=20(a1+a20)2=所以a1+a20>0,则a10+a11>0.同理由S21<0可得a1+a21<0,即a11<0,得a10>0.当n≤10时,S10最大,而a10最小,故S10a12.3n2-2n数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列时的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以数列{an}的前n项和为Sn=n×1+n(n-1)2×6=13.解(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.又a3a4=117,∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个实数根.又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,∴a1∴an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,则Sn=na1+n(=2n2-n=2n故当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,即bn=Sn则b1=11+c,b2=62+c,∵数列{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3,即62+c×2∴2c2+c=0,∴c=-12或c=0(舍去)14.(1)n2+1(2)4(1)根据题意得,第i行的等差数列的公差为i,第j列等差数列的公差为j,所以第一行数组的数列a1j是以2为首项,公差为1的等差数列,可得a1j=2+(j-1)×1=j+1,又因为第j列数组成的数列aij是以a1j为首项,公差为j的等差数列,所以aij=a1j+(i-1)j=(j+1)+(i-1)×j=ij+1.因为aij=ij+1,所以ann=n×n+1=n2+1;(2)由于aij=ij+1=52,则ij=51,得i=1且j=51或i=51且j=1或i=3且j=17或i=17且j=3,故表中的数52出现了4次.15.解(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,∴a1∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)·d=2