线性代数第二章

第二章矩阵(a11

a12

a1nb1)(a21

a22

a2nb2)(am1

am2

amnbm)

一个线性方程组与一个数表存在一一对应关系,

这个数表就称为矩阵

引例

§2.1矩阵及其运算

一、矩阵的概念

矩阵的定义

在数域F上，由mn个数

(i12

m

j12

n)排成的m行n列的矩形数表称为mn矩阵记作

其中aij

称为矩阵的第i行第j列的元素,还可记为A(i；j

)

将所有数域F的mn

矩阵的集合记为Fmn.

元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.

矩阵用大写字母A

B

C等表示

mn矩阵A简记为A(aij)mn或Amn

例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

分别称为对角矩阵(或对角阵)和反对角矩阵(或反对角阵).（3）形如

的方阵,分别记作和

（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，

零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如(5)方阵全为1称为数量矩阵称为单位矩阵(6)设A(aij)nn，如果当i>

j(或i<

j)时,aij=0,即

则矩阵A分别称为上三角矩阵和下三角矩阵.或例如为同型矩阵.

同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作

矩阵举例

例1

某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中aij为工厂向第i个店发送第j种产品的数量

这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵

其中bi1为第i种产品的单价

bi2为第i种产品的单件重量

矩阵举例

例2

由结点和有向边构成的有向图与矩阵之间存在一一对应关系例如

注：图中的结点可以看作城市有向边可以看作单向或双向航线

①②③④①②③④

例3

线性变换与矩阵之间存在一一对应的关系

线性变换所对应的矩阵称为线性变换的系数矩阵恒等变换的系数矩阵为单位阵线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.

二、矩阵的运算

1.加法

设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)

矩阵A与B的和记为AB

规定为AB(aijbij

)

即提示只有当两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算

例１减法:负矩阵：矩阵加法满足的运算规律:

2.数乘矩阵

数与矩阵A的乘积记为A或A

规定为A=(aij)

即

数乘矩阵的运算规律

设A、B都是mn矩阵

、是数则

(1)()A(A)

(2)()AAA

(3)(AB)AB;(4)1A=A,0A=O.

矩阵的加法运算与数乘运算合起来统称为矩阵的线性运算

注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.这个线性变换称为前两个线性变换的乘积它的系数矩阵可以看作是前两个线性变换的系数矩阵的某种乘积

引例

可得线性变换

相继作线性变换

3.矩阵的乘法

设A(aij)是一个ms矩阵

B(bij)是一个sn矩阵那么

矩阵A与矩阵B的乘积记为AB

规定为mn矩阵C(cij)

其中注意

只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时两个矩阵才能相乘

解

31103313107

问题

BA是否有意义？

解

解

32161680000

说明

(1)乘法一般不满足交换律

(2)乘法一般不满足消去律：即从ABO一般不能推出AO或BO

从A(XY)O一般不能推出XY

如果两矩阵A与B相乘有ABBA

则称矩阵A与矩阵B可交换

矩阵乘法的性质(1)(AB)CA(BC)

(2)(AB)(A)BA(B)(其中为数)

(3)A(BC)ABAC

(BC)ABACA

另一方面

矩阵乘法的性质(1)(AB)CA(BC)

(2)(AB)(A)BA(B)(其中为数)

(3)A(BC)ABAC

(BC)ABACA

单位矩阵在矩阵乘法中的作用

ImAmnAmn

AmnInAmn

简记为IAAIA

数量矩阵在矩阵乘法中的作用

(1)由(I)AA

A(I)A

数量阵I与矩阵A的乘积等于数与矩阵A的乘积

(2)当A为n阶方阵时有(In)AnAnAn(In)

数量阵I与任何同阶方阵都是可交换的

定理

当A与B可交换时有（1）(AB)kAkBk

（2）(AB)(AB)A2B2(AB)2A22ABB2

（3）

矩阵的幂

设A是n阶方阵定义A1AAklAk

Al

A2A1A1其中k为正整数.显然只有方阵它的幂才有意义

矩阵的幂的运算规律(1)AklAk

Al(2)(Ak)lAkl其中k、l为正整数解例5

由此归纳出当时，显然成立。假设时成立，则时，用数学归纳法证明:所以对于任意的都有

设f(x)a0a1x

amxm为x的m次多项式

A为n阶矩阵

记f(A)a0Ia1A

amAmf(A)称为方阵A的m次多项式

方阵的多项式4转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵叫做A的转置矩阵记作AT

120311

转置矩阵的运算规律

(1)(AT)TA

(2)(AB)TATBT

(3)(A)TAT

(4)(AB)TBTAT

性质(AB)T=BTAT

的证明

设A(aij)msB(bij)sn

记AB(cij)mn

BTAT(dij)nm

(AB)T的第i行第j列的元素就是AB的第j行第i列的元素

cjiaj1b1iaj2b2iajsbsi

BTAT的第i行第j列的元素是BT的第i行

(b1ib2ibsi)

与AT的第j列

(aj1aj2ajs)T

的乘积

dijb1iaj1b2iaj2bsiajsaj1b1iaj2b2iajsbsi

因此dijcji(i12nj12m)即(AB)TBTAT解于是

设A为n阶方阵如果满足ATA

即aijaji(i

j12

n)则称A为对称矩阵简称对称阵

对称阵的特点是

它的元素以对角线为对称轴对应相等

设A为n阶方阵如果满足AT-A

即aij-aji(i

j12

n)则称A为反对称矩阵简称反对称阵

反对称阵的的主对角线上的元素均零

性质

任意的n阶方阵,均可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

5

方阵的行列式

由n阶方阵A的元素所构成的行列式称为方阵A的行列式记作|A|或detA

方阵的行列式的运算规律

(1)|AT||A|

(2)|A|n|A|

(3)|AB||A||B|

公式|AB||A||B|的证明

设A(aij)

B(bij)

记2n阶行列式则D|A||B|其中C(cij)

cijb1jai1b2jai2

bnjain

故CAB

再对D的行作rjrnj(j12

n)

有

于是

D(1)n|I||C|(1)n(1)n|C||AB|

因此