山东省济南市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

山东省济南市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

阅卷人

——、单选题(共8题；共16分)

得分

L(2分)函数/(%)=cos(%—1)的导函数/'(%)=()

A.sin(x—1)B.-sin(x—1)C.cos(x-1)D.-cos(x-1)

【答案】B

【解析】【解答】由复合函数求导法则，f(%)=—sin(x—1)•(x—1)=—sin(x—1)，

故答案为：B

【分析】利用复合函数求导法则与基本初等函数求导公式即可.

2.(2分)已知事件A,B,若P(B)=}P(AB)=则P(A|B)=()

A-B—C—D

142821

【答案】A

【解析】【解答】因为P(B)=%P(/W)=

所以P(川8)=多盥=*

故答案为：A.

【分析】直接利用条件概率公式计算即可求出.

3.(2分)若©o=C符-3则实数x的值为()

A.2B.4C.6D.2或6

【答案】D

(%<20(%<20

【解析】【解答】由=C符-3得『久二上£203x-4<20

或・解得％=2或%=6,

k3%—4=%<3x—4=20—%

所以实数X的值为2或6.

故答案为：D.

【分析】根据组合数的定义及组合数的性质即可求解.

4.(2分)若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间

放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有()

A.12种B.18种C.36种D.54种

【答案】B

【解析】【解答】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，

2

则剩下四盆花有£1组，再分配到3个不同的房间中，

2

共有盟种排法，

所以不同的放法数与x，=18(种).

J2

故答案为：B.

2

【分析】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有£1组，再分配到各

2

个房间即可得解.

5.(2分)函数/(%)=靖—ln(%+m)在［0,1］上单调递增，则实数6的取值范围为()

A.［1,+co)B.［――1,+oo)

1

C.(0,1］D.(—oo,——1］

【答案】A

【解析】【解答】因为/(x)=e》—lnQ+7n),所以/(%)=/—岛

因为函数f(%)=ex-ln(x+m)在［0,1］上单调递增，

所以/'(%)=6%一不占之0在［0,1］上恒成立，

所以mN或一%在［0,1］上恒成立，即—%)max，XG［0,1］即可

令g(X)=3-x,%e［0，1］则

由函数单调性的性质知，g(x)在［0,1］上减函数，

1

g(x)max=9(0)=9一。=1，即巾2L

所以实数m的取值范围为［1,+00),

故答案为：A.

【分析】根据函数/(%)=靖一111。+770在［0,1］上单调递增，可得/'(X)20在［0,1］上恒成立，然

后利用分离参数法即可求解.

6.(2分)已知函数f(x)及其导函数尸(x)的定义域均为R,且(Q+1)为奇函数，则()

A./⑴=0B.1(2)=0

C.f(0)=/(2)D.尸(0)=/(2)

【答案】C

【解析】【解答】解：因为函数f(x)及其导函数(。)的定义域均为R,且/''(x+l)为奇函数，

所以不妨设((久+1)=%,则((x)=x-l,f(2)=1,f(0)=-1,BD不符合题意；

=1x2—x+c,则f(l)=c—/(0)=/(2)=c,A不符合题意，c符合题意，

故答案为：C

【分析】取/''(%+1)=%，f(X)=］/一X+C,逐项判断即可.

7.(2分)(%+2y-3z)4的展开式中，所有不含z的项的系数之和为()

A.16B.32C.27D.81

【答案】D

【解析】【解答】解：(久+2y—3z)4展开式的通项公式为77+1=C［a+2y)4-r(—3z)r,

若展开式中的项不含z,贝卜=0,此时符合条件的项为(x+2y)4展开式中的所有项，

令％=y=1,可得所有不含Z的项的系数之和为(1+2XI)4=81-

故答案为：D.

【分析】原问题即为求(x+2y)4展开式中的所有项的系数和，令％=y=l,即可得答案.

8.(2分)已知离散型随机变量X的分布列为P(X=71)=而6布S=1,2,15),其中a为

常数，则P(X<8)=()

A-iB.|C.|D.|

【答案】B

【解析】【解答】P(X=n)=鬲;而=a(Vn+1-Vn),所以P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=

.______1

15)=10a(V15+1-1)=1=>a=i；

故P(X<8)=P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=8)=掾(V8TT-1)=|

故答案为：B

【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1可求解a=%进而根据概率公式即可求解.

阅卷入

二、多选题(共4题；共8分)

得分

9.(2分)某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为小y=0.68%+

a,计算其相关系数为勺，决定系数为好.经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下

的五对数据计算得到经验回归方程为％：?=放+0.68,相关系数为全，决定系数为腐.下列结论正

确的是()

>

X

B.Rl>Rj

A.r2>rj>0

C.0cb<0.68D.£>0.68

【答案】A,C

【解析】【解答】由图可知两变量呈现正相关，故勺>0,r2>0,去掉“离群点”后，相关性更强，所

以故A符合题意，B不正确.

根据图象当去掉F点后，直线的基本在A,B,C,D,E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略

向％轴偏向，故斜率会变小，因此可判断0<5<0.68,C符合题意，D不符合题意.

故答案为：AC.

【分析】根据散点图对相关性的强弱的影响即可判断四个选项.

10.(2分)已知(％—I)，=QQ+Q](%+1)+Q2。+l)2+…+。5(%+1)，贝1J()

A.UQ——32B.UQ+%+…+。5——1

C.Q5=-1D.。2+。4=-90

【答案】A,B,D

【解析1【解答】(%—I)，=QQ+%(%+1)+@2(%+if+…+的(％+1)5

取％=-1,则有劭=(一2)5=-32，A符合题意；

取％=0,则有的+即+…+。5=(-1)5=-1，B符合题意；

2345

令%=y-1,则(y—2>=的+01y+a2y+a3y+a4y+asy,

因为a5y5=虑谟*(一2)°=y5,所以=1,C不符合题意；

因为a2y2=c|yzx(—2)3=-80y2>a4y，=C1y4x(—2)=-10y4>所以。2+。4=-90,D符合题

忌.

故答案为：ABD

【分析】使用赋值法可判断AB；令％=然后根据通项直接求解可判断CD.

11.(2分)甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时从甲、乙两盒中

随机取出2=1,2)个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的数学期望为8(X),

Ei(Y),则下列结论正确的是()

A.Ei(X)+4W)=3B.F2(X)>F2(V)

c.E1(X)>E1W)D.Ei(X)=E2(y)

【答案】A,C,D

【解析】【解答】当2=1时，X的可能取值为1,2,3,且

224

==-X-=-

p(339

〜、

pn(x=r2)=2X31+,13x2=4g；

P(X=3)=3x3=g*

所以Ei(X)=1XQ4-2XQ+3XQ=Q-.

丫的可能取值为0,1,2,且

P(r=o)=jx|=；

21124

P(y=1)=+=

224

wX

一

==一=-

p(2)339

所以E1D=0Xg+lXg4-2Xg=2，

A,C符合题意.

当i=2时，X的可能取值为0,1,2,且

111

p(x=0)=|x1=|；

21124

P(X=1)=3X3^3X3=9;

P(X=2)=f2xI2=4

所以E2(X)=0Xg4-lXg+2Xg=2-

Y的可能取值为1,2,3,且

224

e==-X-=-

p(339

21124

P(y=2)=3X3+3X3=9；

ill

P(y=3)/x1丁

LL-441cl

所以£*2(y)=lXq+2Xg+3Xg=w.

B不符合题意，D符合题意.

故答案为：ACD.

【分析】分别求出？=1和》=2这两种情况下的分布列，再求出数学期望.

12.(2分)已知/(%)=/(0)靖+乙驶了，且r(l)=e+l,则()

A.存在殉e(0,1),使得f(x0)=0

B.对任意打。久2,都有＞f(2芳)

C.对任意“1。彳2，都存在G使得/(%1)-/(%2)=/(。(对一起)

D.若过点(1,a)可以作曲线y=/(%)的两条切线，贝打＜a＜e+l

【答案】B,C,D

【解析】【解答】/(x)=/(0)ex+^^.故f(0)=/(0)二/'(0)=2/(0),/'(%)=

/(0)(婷+1),

再由/'(1)=/(0)(e+1)=e+1，可得/(0)=l，f(0)=2，故/(%)=/+X，

/(x)=ex+l>0.故/(%)在R上单调递增，

对A,/(x)在R上单调递增且f(0)>0,故不存在比€(0,1),使得/(与)=0,A不符合题意；

对B,/(x)=e^+1，在R上单调递增，故/(%)在R上增加得越来越快，图像下凸，故对任意％1力

冷，都有，江)；八"2)>/(然吗,B对；

对C,由上得，/(%)图像下凸，故f(x)图像上任意一条割线AB,必存在与AB平行，切点为

C(6/(f))的切线，此时八。J与?，2),即/(%])_/。2)=/'(打(%1-％2)，C对；

对D,设切点为(t,/(t)),则切线方程为y—(et+t)=(et+l)(x—t),将(1,a)代入得：a=

2/-18+1,要有两条切线，则方程有两个互异实根，

令g(t)=2e，—te，+1,则g'(t)=(1—t)/,则当t<l时，g'(t)〉0,g(。在(-8,1)上单调递

增；当t>l时，g'(t)<0,g(t)在(1,+8)上单调递减，故g(t)max=9(1)=e+1，

当x——8时，，g(t)=(2-t)ef+1-»1；当xt+8时，g(f)=(2-t)et+1——8,

故只需ae(l,e+1)，即可使a=2/-t/+1有两个互异实根，D对.

故答案为：BCD

【分析】先根据/'(%)=/(0)Q+乙兴，所以/'(0)=/(0)+匚兴，再由/'(l)=/(0)(e+l)=e+l

构造方程，解出/(0)=1,/(0)=2,求出解析式，然后根据零点存在性定理，函数的切线判断方

法逐一判断即可.

阅卷人

------------------£、填空题(共4题；共4分)

得分

13.(1分)已知随机变量X〜N(3,4),且P(X>3c-2)=P(X<2c+l),则c的值

为.

【答案】\

【解析】【解答】因为随机变量X〜N(3,4),所以直线〃=3为正态曲线的对称轴，

而P(X>3c-2)=P(X<2c+1),由正态分布的对称性可知，

3・2产+1=3,解得c=(.

所以C的值为看

故答案为：

【分析】根据已知条件及正态分布的对称性即可求解.

14.（1分）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢

徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取

的女生人数为

【答案】9

【解析】【解答】由题可知，喜欢徒步的男生有500x0.6=300人，喜欢徒步的女生有450x0.4=

180人,

则女生应抽取人数为180X、志刖=9人・

DUU-TloU

故答案为：9

【分析】先根据等高堆积条形图求出喜欢徒步的男女生人数，再由分层抽样方法可得.

15.（1分）将（我-会）6展开式中的项重新排列，则X的次数为整数的项全部相邻的排法共有

种.（用数字作答）

【答案】576

【解析】【解答】二项式（正+专）6的展开式中，通项公式为77+]早，因为竽为整数，且

r=0,1,2,3,4,5,6,可得r=0,2,4,6

展开式共有7项，其中x的次数为整数的项有4个，把展开式中的项重新排列，

则x的次数为整数的项相邻，即把4个整次数项捆绑看成一个整体，和3个次数为非整数的项全排

列，然后再考虑解绑，共有方法共有所属=576种,

故答案为：576.

【分析】根据二项式定理展开式的通项特征，可确定共有4项次数为整数的项，根据相邻问题捆绑

法即可求解.

16.■分)已知函数/'(x)=log2。+1)-k2依>0),若存在x>0,使得f(x)20成立，则k

的最大值为.

【答案】工

eln2

kx+k

【解析】【解答】由/(%)=log2(x+1)-k2>0,可得

即Q4-l)log2(x+1)>k(x+1)2、(X+D,(x+l)log2(x+1)>2k(*+1)•log22k(x+D

构造函数g(x)=xlog2%，显然在(1,+8)上单调递增,

Ax+1>2k(x+1),即k<也弹

―x+l2

令岫)二/2,即求函数的最大值即可,

h'(x)=导%0+1)=啥一脸0+1),

(x+1)2(x+1)2

.•.在(1,e-l)上单调递增，在(e—l,+8)上单调递减,

.,.h(x)的最大值为h(e-D=/

•••。<心康，即k的最大值为盛

故答案为：盍.

【分析】由/(欠)之0,可得(x+l)log2(x+1)-k(x+1)2以%+1)30,同构函数g(%)=xlog2%，结

合函数的单调性，转化为以%)=”咨工的最大值问题.

阅卷人

—四、解答题(共6题；共55分)

得分

17.(5分)某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的

服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：

满意不满意

男顾客1()

女顾客15

附:

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2

/2_n^ad—be)

K-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(i)(5分)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)(1分)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？.

【答案】(1)解：由题意可知，据题意可知，50位男顾客对商场服务满意的有40人,

所以男顾客对商场服务满意率估计为P1=瑞=3.

因为50位女顾客对商场满意的有35人，

所以女顾客对商场服务满意率估计为P2=fl=4.

(2)解：由题意可知，由2x2的列联表如图所示

满意不满意合计

男顾客401050

女顾客351550

合计7525100

/2

由列联表可知长2=100得慧益篇10)=41333<3841，

/□XZUXOVXDUO

所以没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异,

【解析】【分析】(1)根据已知条件得出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应

的频率，即估计得出的概率；

(2)根据已知条件完成2x2的列联表，利用公式求得观测值与临界值比较即可求解.

18.(10分)己知函数/(%)=x(x-c)2在％=-1处取得极小值.

(1)(5分)求c的值;

(2)(5分)求f(%)在区间［-4,0］上的最值.

【答案】(1)解：f(%)=(x-c)2+2x(x-c)=(x—c)(3x—c)，

由f(—1)=(—1—c)(—3—c)=0得c=-1或c=-3,

当c=-3时，/(%)=x(x+3)2,f'(x)=(x+3)(3x+3)，

令/(x)>0,可得x>-1或x<-3,令f(x)<0,可得—3<%<一1,

所以函数/(%)在区间(—8,-3)和(一1,+8)上单调递增，在区间(一3,-1)上单调递减，

所以函数/(%)在x=-1处取得极小值；

当c=-1时，/(%)=x(x+I)2,f'(x)=(x+1)(3%+1),

令/(%)>0,可得%>-3或％<-1,令/(%)<0,可得一1cx<-q，

所以函数/(%)在区间(一8,一1)和(_g,+8)上单调递增，在区间(―1,一》上单调递减，

所以函数/(%)在x=-1处取得极大值，舍去；

综上，c=-3；

(2)解：由(1)知函数/(X)在区间［—4,一3］和［一1,0］上单调递增，在区间［一3,-1］上单调递

减，

又因为/(-4)=-4,/(-3)=0,/(-I)=-4,/(0)=0,

所以/'(%)的最大值为0,最小值为-4.

【解析】【分析】(1)由题意，根据('(一1)=0,解得c=—1或c=—3,然后分情况讨论即可求解;

(2)由(1)判断函数/(x)在区间［-4,0］上的单调性，然后根据单调性即可求解.

19.(10分)某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子

元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数.

(1)(5分)若有放回的抽取，求X的分布列与期望;

(2)(5分)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超

过)的概率.

【答案】⑴解：有放回的抽取P(取到合格品)=接=|，P(取到次品)=今=

根据题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4,

所以P(X=0)=C：G)O&)4=A，p(x=i)=cX|)i(33=U，pg=2)=或附劭=爵,

P(x=3)=琪)|3(孑=盖,P(X=4)=弓(|)%。=券

X的分布列为：

P01234

1883216

X

8181278181

所以X的数学期望E(X)=Ox东+1X言+2X|^+3X||+4X||=4

(2)解：由题意得总体中合格品的比例为2=|,

因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过主

所以样本中样品中合格品的比例大于W小于片，即样品中合格品的个数为2或3.

p(X.2)-函一出p(x_3)_幽一型

产。_4_4_495'-­4-495°

c12c12

所样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过耳=需+镂=嚷I辘

析】【分析】

【解析】(1)依题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4,求出对应的概率，即可列出分布列、求

出数学期望.

(2)总体中合格品的比例为杀样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过瓢

样品中合格品的比例大于W小于笠.

20•(1。分)已知函数/(x)=(mx——・■.

(1)(5分)求/(x)的单调递增区间；

(2)(5分)当x21时，/(x)W0恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)解：函数/(%)的定义域为(0,+oo)

-111

f(%)=(m—x)lnx+(mx—5%7)­——-^x=(m—x)(lnx+1)

LxZ

当m<0时，解不等式(TH—x)(lnx+1)>0得0V%V，

当0<m<:时，解不等式(m-x)(lnx+1)>0得m<%<

当?n>断寸，解不等式(m-x)(lnx4-1)>0得:<%<m>

当m=工时，不等式(m-1)(ln%+1)>0无实数解.

综上，当租<0时，/(%)的单调递增区间为(0,1)；

当0W7H<；时，f(x)的单调递增区间为(m,J);

当时，/(%)的单调递增区间为(；，m)；

当m=凯寸，/(%)无单调递增区间.

(2)解：由(1)知，当徵<:时，/(%)在［1,+8)上单调递减，所以/(久)max=/(1)=-/显然

/(%)<0恒成立；

当JsznWl时，/(%)在［1,+8)上单调递减，所以/(x)max=门1)=一/显然/(x)W0恒成立；

当7?1>1时，/(%)在(1,7H)上单调递增，在(771,+8)上单调递减，所以/(x)max=/(6)=(血2-

771.2m2

^-)lnm-手=于(21nm-1)

2

因为当xN1时/(%)W0恒成立，所以*(21nm-1)W0，解得1<znW正.

综上，实数m的取值范围为(-8,正］

【解析】【分析】(1)求导，分类解不等式/(X)>0可得；

(2)根据函数单调性分类求得/(X)max，然后解〃X)max<0可得.

21.(10分)在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有

该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有n(ne/V+,n>2)个人，每人一份血液待检验，

有如下两种方案：

方案一：逐份检验，需要检验n次；

方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未

患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验n+1次.

(1)(5分)若n=5,且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人

的概率；

(2)(5分)已知每个人患该疾病的概率为p(OWpWl).

(i)若两种方案检验总次数的期望值相同，求p关于n的函数解析式p=/(n)；

(ii)若n=8,且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试说明理由.

【答案】(1)解：将5份待检血液排成一排有咫=120;

满足条件的排法：第一步，将两份选一份排在第三位有2种；

第二步，在第一、二位选一个空位排另一份患者血液有2种排法;

第三步，将剩余3份排成一排有房=6.

所以满足条件的排法共2x2x6=24.

所以恰好检验3次就能确定患病两人的概率为襦=|

(2)解：(i)因为每个人都有可能患病，故方案一检验次数为定值n；

记方案二检验次数为X,则X的取值为1,n+1

p(X=1)=(1-p)n,P(X=n+1)=1-(1-p)n

所以E(X)=(1-p)n+(n+1)[1-(1-p)n]

由题可知(1—p)n+(n+1)[1-(1-p)n]=n,即n(l—p)n=1,

整理可得p=1一砺，即p=f(n)=1一砺

(ii)当n=8时，记单次检验费用为x,

则方案一：检验费用为九%;

方案二：记检验费为Y,则丫的分布列为

YX(n+l)x

P(l-p)n

则E(Y)=x(l—p)n+(ri+l)x[l—(1—p)n]=[n4-1—n(l-p)n]x

E(Y)—nx=[n4-1—n(l—p)n]x—nx=[1—n(l—p)n]x

记g(P)=1-n(l-p)n,因为九=8,所以g(p)=1-8(1-p)8

因为0<l—pvl,所以g(p)单调递增，

由(i)知，当「=1一表=1一表时，g(p)=°，

所以当0<p<l—七时，g(p)<0,则E(y)<nx；

1

当1—酝<P<1时，g(p)>0,则E(Y)>nx.

故当0<p<l一卷时，选择方案二；当11

一幅<P<1时，选择方案一.

【解析】【分析】(1)根据古典概型概率公式求解可得；

(2)根据两种方案的期望相等列方程，整理可得p=〃m；分别求出两种方案检验费用的期望，作

差构造函数，利用单调性可得.

22.(10分)已知函数/(%)=ln(Q%)-a/+*a>

(1)(5分)若/(%)存在极大值点，求a的取值范围;

(2)(5分)试判断/(x)的零点个数，并说明理由.

【答案】(1)解：/(%)=]—2a%—与=_2axJx0(%>0,a>g),

32

令g(%)=-2ax+x—a(x>0,Q>可)，则g(%)=-6ax+L

令g'(x)>o,可得o<%<7^，令g(%)v。，可得%>7^，

所以函数g(x)在(0，/)1上单调递增，在(击1，+8)上单调递减，

VoctVba

所以g(x)max=。(七)=2:,

V6a346a

3

当g(x)max<°，即a>时，9(")4°'f(%)4°，

所以/(X)在(0,+8)上单调递减，无极值点，舍去；

当g(x)max>0，即/<a<时>>°，。(。)=~~a<0,

所以存在勺6(0,焉)，使得9(/)=0,

又g(》=二^詈W<0,所以存在％2€(焉，》，使得双冷)=0,

所以令/'(%)<0，可得0cx<X1或%>%2，令/(%)>0，可得打<%<为2，

所以/(X)在(0,X1)和(%2，+8)上单调递减，在Q1，句)上单调递增，

所以/(X)的极大值点为*2.

绰卜17/

弥L2<a<丁，

3

(2)解：由(1)知，当Q》半时，/(%)在(0,+8)上单调递减，

因为/(2)=In2a—4a+§<2a—1—4a+多=—1—^QV。，且当x—>0+时，f(x)—>+oo,

所以/(%)在(0,+8)上存在唯一的零点；

当g<q<孥时.,/(%)=ln(ax)—ax2+?《—1)—+三,

-

令九(x)=(cix—1)—a%2,h(%)=Q—2CLX—Q=a(l—2x—^)，h(%)=a(—2+2x,

令//'Q)>0，得0<%Vl,令九”(%)<0，得x>l,

所以九'(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以h(x)<h(1)=—2a<0，所以八(%)在(0,+8)上单调递减,

因为=^-1—^4-aV6a<—1—i—^<0>

V6a、66AJ12oZ36

所以/(%)的极大值f(%2)<饮%2)<以焉)<0,

所以％EQi，4-oo),/(%)<f(x2)<0,f(%)不存在零点，

因为f(%i)Vf(%2)VO且当％~0+时,/(x)—+8,

所以/(%)在(0,%1)上存在唯一个零点；

综上，/(%)有唯一零点.

【解析】【分析】⑴求出f'(x)="_2ax_£=-W产一g(%>0,。>》，然后令g(x)=

-2ax3+x-a(：x>0,a>|),利用导数可得函数g(x)在(0，念)上单调递增，在(焉，+8)上

单调递减，进而有g(X)max=9(需)=2一;雷,最后分9(X)max《。和。0)机3>0两种情况进行

讨论，并利用函数零点存在定理与函数极值的定义即可求解；

(2)由(1)知，当a》零时，所以在(0,+8)上单调递减,由函数零点存在定理即可判断

/■(X)在(0,+8)上存在唯一的零点；当/<a<孝时，/(x)=ln(ax)-ax24-<(ax-1)-

ax2+p令h(x)=(ax-1)-a/+1利用函数零点存在定理即可判断/(x)在(0,%)上存在唯一

个零点.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：83分

客观题（占比）26.0(31.3%)

分值分布

主观题（占比）57.0(68.7%)

客观题（占比）14(63.6%)

题量分布

主观题（占比）8(36.4%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(18.2%)4.0(4.8%)

解答题