对数函数及其性质（第2课时） 教学设计

§2.2.2对数函数及其性质（第2课时）学习目标：⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数；⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识，了解互为反函数的两个函数图象间的关系；⒊通过指数函数与对数函数的比较，了解互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系．教学重点：底数相同的指数函数与对数函数互为反函数．教学难点：互为反函数的两个函数图象间的关系．教学方法：探究、讨论式．教具准备：⒈用《PowerPoint》播放指数函数与对数函数对照表．⒉用《几何画板》演示同底数的指数函数与对数函数图象间的关系．教学过程：（I）复习回顾：师：前面几节课，我们学习了指数函数、对数函数的概念、图象和性质，现在我们把这两类函数做个对比，以便于我们对它们形成整体的认识．请大家一起来填写下表．（用《PowerPoint》播放）指数函数与对数函数对照表指数函数对数函数一般形式，且，且定义域值域函数值变化情况当时，当时，当时，当时，单调性时，是增函数；时，是减函数时，是增函数；时，是减函数图象函数的图象与函数的图象关于直线对称．从上面的表格中，我们看到对数函数与指数函数之间有非常密切的关系，今天我们就对它们之间的关系来做一番研究．（II）讲授新课：师：在指数函数中，x为自变量，y是因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？生：由指数式可得对数式．这样，对于任意一个，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．师：你可以用几何方法来得到上面的结论吗？生：指数函数中，x为自变量，y是x的函数，并且它是上的单调递增函数．我们过y轴正半轴上任一点，作x轴的平行线，与的图象有且只有一个交点．这也说明，对于任意一个，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．师：这时我们称函数是函数的反函数．请同学们考虑，在函数中，自变量、函数各是什么呢？这合乎我们的习惯吗？生：在函数中，y是自变量，x是函数．而习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数．师：为了和我们的习惯一致，我们常常对调函数在函数中的字母x，y，把它写成．于是，对数函数是指数函数的反函数．请同学们仿照上面的过程，说明对数函数，且和指数函数，且之间的关系．生：（探究、讨论得出结论）对数函数，且和指数函数，且互为反函数．师：对于具体的指数函数，且，我们可以怎样得到它的反函数呢？生：对于具体的指数函数，且，我们可以先把它化为对数形式，然后再对调其中的字母x，y，就得到了它的反函数，且．师：请同学们观察一下对数函数，且和指数函数，且的定义域和值域，你能得出什么结论？生：指数函数，且的定义域和值域分别是对数函数，且的值域和定义域．师：请同学们观察对数函数是指数函数的图象，它们有什么关系呢？生：（观察得）对数函数是指数函数的图象关于直线对称．师：这个结论可以推广到一般情况，即：对数函数，且和指数函数，且的图象关于直线对称．（用《几何画板》演示同底数的指数函数与对数函数图象间的关系）（Ⅲ）课后练习：阅读课本的《探究与发现》．（Ⅳ）课时小结⒈求指数（对数）函数的反函数可分两步进行：①将指数（对数）式化为对数（指数）式；②对调字母x，y；⒉数学上可以证明，互为反函数的两个函数有如下性质：①反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（Ⅴ）课后作业⒈阅读课本，思考下列问题：⑴怎样的函数称为幂函数？怎样确定幂函数的定义域？⑵幂函数的图象大致有几种形式？在第四象限内有幂函数的图象吗？为什么？⑶幂函数在区间内有怎样的单调性？⑷怎样确定幂函数的奇偶性？板书设计：§2.2.2对数函数及其性质（三）⒈指数函数与对数函数的关系：⒊反函数的性质⒉求指数（对数）函数的反函数：小结：