2020届福建省高三考前冲刺适应性模拟卷（二）数学（文）试题

/21/21/2020届福建省高三考前冲刺适应性模拟卷（二）数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合A＝,则集合CuA等于A． B． C． D．【答案】C【解析】先求解集合A，再求补集即可.【详解】由A＝，全集，所以CuA.故选C.【点睛】本题主要考查了集合补集的求解，属于基础题.2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士着名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】根据定义化简，再根据复数几何意义确定结果.【详解】对应点坐标为因此表示的复数在复平面中位于第三象限，故选：C【点睛】本题考查新定义、复数几何意义、三角函数符号规律，考查基本分析求解能力，属基础题.3．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由直线在坐标轴上截距相等得或，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】解：由题知：，由得；由得，.因为在坐标轴上的截距相等，所以，解得或.所以直线在坐标轴上截距相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查直线的截距与充分条件、必要条件，属于基础题.4．在等差数列中，，则的前项和（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，，，，故选A.5．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体,左向右看得到矩形,矩形对角线从左下角连接右上角，且对角线为虚线，故该几何体的侧视图为D6．已知则等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先根据将所求式子分子化为齐次式，再利用同角三角函数关系化弦为切，最后代入切的值得结果.【详解】故选：A【点睛】本题考查同角三角函数关系、弦为切，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】将两边平方求得，再计算出，利用向量的夹角公式可得选项.【详解】将两边平方得，所以，又，所以，设与的夹角为，则，又，所以,故选：D.【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量的模，向量的夹角的计算，求解向量的夹角时，注意向量的夹角的范围，属于中档题.8．，则函数的大致图像为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据绝对值定义将函数化为分段函数，利用导数判断单调性舍去CD,再根据为正舍去B，即可得结果.【详解】所以当时，，令所以当时，；当时，；舍去C,D;当时，，舍去B;故选：A【点睛】本题考查函数图象识别、利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.9．已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（）A． B．5 C． D．9【答案】A【解析】利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.【详解】解：∵的值域为,∴,∴,∴,当且仅当时取等号,∴的最小值为.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.10．已知圆C：，直线，圆C上任意一点P到直线的距离小于4的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先将圆方程化为标准形式，求出圆心到直线的距离，然后确定圆上到直线的距离为4的点，求出弦对应的圆心角，最后根据几何概型得出所求概率.【详解】圆，即，故圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，如图所示，设圆上两点到直线的距离为，则优弧上的点到直线的距离小于4，设为的中点，则，所以，所以，即,所以圆上任意一点到直线的距离小于4的概率为，故选：C.【点睛】本题结合了直线与圆的相关知识，考查了几何概型概率的求法，需要学生具备一定的计算分析能力，综合性较强.11．点在以为焦点的抛物线上，，以为圆心，为半径的圆交轴于两点，则（）A．9 B．12 C．18 D．32【答案】C【解析】先由题意求出点坐标，得到以为圆心，为半径的圆的方程，求出两点坐标，根据向量数量积的坐标表示，即可计算出结果.【详解】设，因为抛物线的焦点为，，所以，即，因此，解得：，不妨取，则，因此以为圆心，为半径的圆的方程为：，令，解得：或，即圆与轴的两交点为，，不妨取，，则，，因此.故选：C.【点睛】本题主要考查求向量的数量积，涉及由抛物线的焦半径求点的坐标问题，熟记向量数量积的坐标公式，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.12．已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，，且其关于轴对称点在上；将坐标代入，可得，从而将问题转化为此方程有解；令，通过导数可确定函数的大致图象，将问题转化为与图象有交点，通过数形结合求得结果.【详解】设上一点，，且关于轴对称点坐标为，在上，有解，即有解令，则，当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增，，可得图象如下图所示：有解等价于与图象有交点本题正确选项：【点睛】本题考查根据方程有根求解参数范围的问题；关键是能够根据对称性将问题转化为方程有根，通过构造函数的方式进一步将问题转化为平行于轴直线与曲线有交点的问题，进而通过数形结合的方式来进行求解.二、填空题13．下图是一个算法流程图，则输出S的值是___________．【答案】35【解析】按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，输出结论．【详解】S的初值为0，K的初值为1，满足进行循环的条件，经过第一次循环得到的结果为S＝1，K＝3，不满足条件，进行循环，经过第二次循环得到的结果为S＝10，K＝5，不条件满足，进行循环，经过第三次循环得到的结果为S＝35，K＝7，满足条件，退出循环，故输出的S值为35.故答案为：35.【点睛】本题考查执行程序框图问题，属于中档题.在解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.14．点在双曲线上，点在曲线上，线段的中点为，是坐标原点，则线段长的最小值是________．【答案】【解析】设，，取关于原点的对称点，则，根据，根据两点间的距离公式求出的最小值即可得答案.【详解】设，，取关于原点的对称点，所以，即，则，因为，当且仅当时，取等号，所以，即的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线方程和圆的方程，考查了运算求解能力，属于中档题.15．半径为1的球面上有四个点，球心为点，过点，，，，则三棱锥的体积为______.【答案】【解析】连结，易知，从而可证明平面，进而三棱锥的体积，然后求出和即可.【详解】连结，因为，，为的中点，所以，又因为，所以平面，因为，所以，所以三棱锥的体积.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积的求法，考查球的内接体知识，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.16．已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围为________________【答案】【解析】【详解】根据题意作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)∈(0,1]时,有四个不同的x与f(x)对应．再结合题中“方程f2(x)?bf(x)+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2?bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数，列式如下：,化简得，此不等式组表示的区域如图：而几何意义表示平面区域内的点和(1,2)的直线的斜率，结合图象KOA=2,KAB=?1，故z>2或z<?1，故答案为(?∞,?1)∪(2,+∞).点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．三、解答题17．已知函数的最大值为2。（1）求函数在上的单调递减区间。（2）中，若角所对的边分别是且满足，边，及,求的面积。【答案】（1）；（2）【解析】（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【详解】（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∴f（x）的最大值为，∴=2，又m＞0，∴m=，∴f（x）=2sin（x+），令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），则f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[，π]；（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得：ab=3或ab=﹣（舍去），则S△ABC=absinC=．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18．如图，在三棱柱中，已知⊥侧面，，．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由得出,利用余弦定理算出,满足勾股定理,所以,由线面垂直的判定定理证明平面；（2）先求出三棱锥的体积,利用等体积法求出点到平面的距离．试题解析：（1）因为，侧面，故，在△中，，，，由余弦定理得：，∴，故，所以，而，∴平面．（2）∵，又，，，∴，设点到平面的距离为，∴，∴，∴点到平面的距离为．【考点】1.线面垂直的判定定理；2.等体积法求点到面的距离.19．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.3分(2)月平均用电量的众数是＝230.5分因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.8分(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户，10分抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．--12分【考点】频率分布直方图及分层抽样20．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆：相切于点，且，求点的纵坐标的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由求出的值；（2）先考虑特殊情况:直线的斜率不存在,求出；一般情况,直线:,利用直线与圆相切,向量垂直的条件:数量积为零,求出点的纵坐标的值．试题解析：（1）∴，，∴，∴椭圆方程为．（2）①当轴时，，，由，解得．②当不垂直于轴时，设，方程为，即，∵与圆相切，∴，∴，∴，又，所以由，得，∴，∴．综上：．【考点】1.椭圆的简单几何性质；2.向量垂直条件.【思路点晴】本题主要考查直线,圆椭圆之间的位置关系,属于中档题.在（1）中,利用椭圆的离心率和焦点坐标,求出椭圆的标准方程；在（2）中,分两种情况讨论,直线的斜率是否存在,分别求出点的纵坐标的值,要用到直线和圆相切的条件:,直线垂直得到向量垂直,向量数量积为零,再化简整理,求出的值.21．已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数有极大值点，求证.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数的几何意义求出斜率，即可求出切线方程；（2）利用f'(1)=0,分析当m≤0时,函数f(x)无极大值点，得出矛盾，当m>0时，函数f(x)有极大值点，分析函数f(x)的单调性得出m的取值范围,利用得出m与所满足的关系式，并得出∈(0，1)，并将关系式代入f()的代数式，将所证不等式转化为以为唯一变量的不等式，利用导数证明即可.【详解】的定义域为，(1)时，曲线在处的切线方程为即(2)，①当时，是上的增函数，只有1一个零点，不合题意，②时，由得，由得的增区间；由得的减区间，最小值为当时，即，，在上为增函数，不合题意；当时，即时，时，，,