高等数学下册第八章

第八章向置代数与空间解析几何

在平面解析几何中，通过坐标法把平而上的点与一对有次序的数对应起来，

把平而上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题．空间解

析儿何也是按照类似的方法建立起来的．

正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，空间

解析几何的知识对学习多元函数微积分也是必要的．

本章先引进向黛的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后利用坐

标讨论向最的运算，并介绍空间解析几何的有关内容．

第一节向量及其线性运算

一、向量的概念

客观世界中有这样一类址，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速

度、力、力矩等等，这一类址叫做向址（或矢扯）．.............,_.,..

在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向-B

址．有向线段的长度表示向噩的大小，有向线段的方向表示向

扯的方向．以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向釐记

作石（图8-1)有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面A

图8-1

加箭头）来表示向量，例如a、r、0、F或芷亡了、了等．

在实际问题中，有些向量与其起点有关（例如质点运动的速度与该质点的位

置有关，一个力与该力的作用点的位置有关），有些向址与其起点无关．由于一切

向批的共性是它们都有大小和方向，因此在数学上我们只研究与起点无关的向

址，并称这种向量为自由向量（以后简称向址），即只考虑向批的大小和方向，而

了一一'~:-_

不论它的起点在什么地方．当遇到与起点有关的向狱时，可在一般原则下作特别

处理

巾于我们只讨论自由向值，所以如果两个向肚a和b的大小相等，且方向相

同，我们就说向拭a和b是想覂堕，记作a=b．这就是说，经过平行移动后能完

全重合的向盘是相等的．

向址的大小叫做向址的愿．向扯丁庄a和；的模依次记作1万｝I、IaI和1()|.

.I.

第八章向岳代数与空间解析几何

_

模等千l的向批叫做单位向证．模等千零的向址叫做零向址，记作0或0.零向

占伞石；二·-"--三贮--－、酝占一＿赈-产-:--:～-尸--＾

盐的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的．

设有两个非零向量a,b，任取空间一点0，作石仁二a,OB=b，规定不超过1T

的LAOB（设cp=LAOB,O~cp~'TT）称为向盘a与b的B

-.------

衷（图8-2)，记作(a^,b)或(b^,a)，即(a^,b)=cp．如

果向拭a与b中有一个是零向址，规定它们的夹角可

以在0到'TT之间任意取值•。aA

图8-2

如果(a^,b)=0或1T，就称向批a与b平行，记作

a//b．如果(a,b)＝工，就称向批a与b垂直，记作a上b．巾于零向批与另一向屈

^2

的夹角可以在0到1T之间任慈取值，因此可以认为零向扯与任何向址都平行，也

可以认为零向证与任何向址都垂直．

当两个平行向植的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条且

线上．因此，两向址平行，又称两向扯共线．

一~

类似还有向械共面的概念．设有k(k;;::3)个向址，当把它们的起点放在同一

点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向垃些匣

二、向量的线性运算

1.向量的加减法

向址的加法运箕规定如下：

设有两个向扯a与b，任取一点A，作AB=a,再以B为起点，作BC=b，连接

AC(rII8-3)，那么向扯元:=C称为向拱a勺b的c

和，记作a+b，即

；一~---

c=a+b.

上述作出两向扯之和的方法叫做向址相加的三a

^A

角形法则．

-－己一--_-二_二-＿~－二一一＿....图8-3

力学上有求合力的平行四边形法则，仿此，我们

也有向量相加的平行四边形法则．这就是：当向社a与b不平行时，作邧＝a,

邧＝b，以AB、AD为边作一平行四边形ABCD，连接对角线AC(图8-4)，显然

I

向社AC即等于向队a与b的和a+b.

向证的加法符合下列运贷规律：

.2.

第一节向足及其线性运算

(I)交换律a+b=b+a;

------:4-----

(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).

---E---

这是因为，按向员加法的规定（气角形法则），从图8-4可见：

III

a+b=AB+BC=AC=c,

b+a=AD+`DC=1)AC=c,

所以符合交换律．义如图8-5所示，先作a+b再加上c，即得和(a+b)+c，若

以a与b+c相加，则得同一结果，所以符合结合律．

Dc

AaB

图8-4图8-5

巾于向址的加法符合交换律与结合律，故n个向址a1,a2,···,a,，(几~3)相加

可写成

a1+a2+···+a,.,

并按向队相加的三角形法则，可得n个向址相加的法则如

下：以前一向拉的终点作为次一向社的起点，相继作向址

a,,a2,..·,an．再以第一个向批的起点为起点，最后一个向

址的终点为终点作一向垃，这个向显即为所求的和．如图

8-6，有

s=a1+a2+a3+a4+a5.

图8-6

设a为一向址，与a的模相同而方向相反的向氮叫做

a的色迥呈，记作－a.巾此，我们规定两个向冕b与a的塾

b-a=b+(-a).

即把向垃－a加到向批b上，便得b与a的差b-a（图8-7(a)).

B

\\\\\

A

。"

a

(a)(b)

图8-7

.3.

第八章向进代数与空间解析几何

特别地，当b=a时，有

a-a=a+(-a)=0.

)

显然，任给向量AB及点0，有

邧＝而＋啼＝啼－网

因此，若把向盘a与b移到同一起点0，则从a的终点A向b的终点B所引向蜇

)

AB便是向昼b与a的差b-a（图8-7(6)).

由三角形两边之和大千第三边，有

la+bl~lal+lbl及la-bl~lal+lbl,

其中等号在a与b同向或反向时成立．

2.向量与数的乘法

向批a与实数入的乘积记作屈，规定入a是一个向技，它的模

-....：一

1入al=I入Ilal,

它的方向当入＞0时与a相同，当入<0时与a相反．

当入＝0时，I入al=O，即入a为零向拟．，这时它的方向可以是任意的．

特别地，当入＝土1时，有

1a=a,(-1)a=-a.

向量与数的乘积符合下列运算规律：

(1)结合律入（µa)=µ（入a)=（杻）a.

---------E-

这是因为由向址与数的乘积的规定可知，向拭入(µ,a)、µ（入a)、（入µ)a都是

平行的向址，它们的方向也是相同的，而且

1入(µa)I=Iµ,（入a)I=I（入µ)aI=|入µIlal、

所以

入(µa)=µ(入a)=(入µ)a.

(2)分配律

_-

（入＋µ,)a=入a+µ,a,(I-I)

入(a+b)=入a+入b.(1-2)

这个规律同样可以按向址与数的乘积的规定来证明、这里从略了．

向她相加及数乘向址统称为向批的线性DC

^-－－一仁-亡

运算．

~一＿－

例1在平行四边形ABCD中，设石i=a.

►-----------►----►----►-

AD=b.试用a和b表示向盐MA、MB、MC和MD,

这里M是平行四边形对角线的交点（图8-8).AaB

解巾千平行四边形的对ffJ线1i．相平分．图8-8

.4.

第一节向址及其线性运算

所以

a+b=AC=2AM,

即

)

-(a+b)=2MA,

千是

I1

MA=(a+b).

-—2

因为一MC=－而，所以订汇－I(a+b).

2

一一—+——~l

又因－a+b=BD=2MD，所以MD=—(b-a)

2

)1,

由于MB=-MD，所以MB=(a-b).

—2

前而已经讲过，模等于1的向量叫做单位向扯．设e,，表示与非零向最a同

方向的单位向址，那么按照向址与数的乘积的规定，由于laI>0，所以lale,，与

g，的方向相同，即lale'，与a的方向相同又囚laIe"的模是

lalle0l=lal·l=lal,

即lale.,与a的模也相同，因此，

a=lale矿

aI

我们规定，当入~o时，一＝－a.由此，上式义可写成

入入

a

=e

la|".

这表示一个非零向拭除以它的模的结果是一个与原向挝同方向的单位向量．

由于向址Aa与a平行，因此我们常用向簸与数的乘积来说明两个向量的平

行关系．即有

定理1设向量a于0，则向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实

数入，使b＝入a.

证条件的允分性是显然的，下面证明条件的必要性．

lbl

设b/Ia.取1入1=—-，当b与a同向时入取正值，当b与a反向时入取负

lal

伯，即有b＝入a.这是因为此时b与入a同向，且

lbl

1入al=I入1lal=~lal=lbl.

laI

再证数入的唯一性．设b＝入a，又设b=µ,a，两式相减，便得

（入一µ,)a=O,

.5.

第八章向扭代数与空间解析几何

即1入一µ,IIaI=0.因laI¥=0，故I入一叫＝0,即入＝µ

定理证毕．

定理l是建立数轴的理论依据．我们知道．给定一个点、一个方向及单位长

度，就确定了一条数轴．由于一个单位向篮既确定

....p

了方向，又确定了单位长度，因此，给定一个点及0i

一个单位向噩就确定了一条数轴．设点0及单位图8-9

I

向虽i确定了数轴Ox（图8-9)，对于轴上任一点P．对应一个向址OP.巾下

II

石切／i，根据定理l，必有唯一的实数x，使OP＝心（实数x叫做轴上有向线段OP

,_~

的值），并知OP与实数x一一对应．于是

_---＿＿＿一----l

点P冬~响批OP=xi仁一实数．r，

从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系据此，定义实数．r为轴上点P的坐标．

由此可知，轴上点P的坐标为x的允分必要条件是

I

OP=xi.

三、空间直角坐标系

在空间取定一点0和三个两两垂直的单位向蚊i、j、K就确定了三条都以

0为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、）轴（纵轴）、；；轴（竖轴）．统

．一---－-－.．--上_---.--_-_-_^.

称坐蚽壅．它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系或[0;i,j,k]坐标系

（图8-10)．通常把x轴和y轴配罚在水平而上，而二轴则是铅垂线；它们的止向

通常符合右手规则，即以右手握住湟l1，当右手的四个手指从正向．r轴以；角度

转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，如图8-11.

『

-

=

)I

x

图8-lO图8-11

＝条坐标轴中的任意两条可以确定一个平而，这样定出的＝＿个平面统称为

坐标面．x轴及y轴所确定的坐标而叫做xOy而，另两个rlI_r轴及；轴和山：轴

气一＿一＿一＿一-俨---－2-、一

.6.

第一节向堡及其线性运算

及．r轴所确定的坐标面，分别叫做yOz而及zOx而三个坐标而把空间分成八个

仁-~、--－-－－--乍:.二-:---：一-

部分，每一部分叫做一个县覂．其中，在xOy面上方且yOz面前方、zOx面右方的

那个卦限叫做第一卦限，其他第二、第＝、第四卦限，在xOy面的上方，按逆时

占--

针方向确定．第/1:至第八卦限．在xOy面的下方，由第一卦限之下的第五卦限，

按逆时针方向确定，这八个卦限分别用字母I、0、川、lV、V、V1、\'II、Vfll表示

（图8-I2).

,

任给向扯r．有对应点M，使OM=r.以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长

方体RHMK-OPNQ，如图8-13所示，有

r＝而仁郘十两十而仁茄＋叨＋丽，

设石;=xi,贡＝Jj'研＝zk，则

>

r=OM=xi+汀＋zk.

上式称为向量r的坐标分解式，xi、yj和zk称为向址r沿三个坐标轴方向的

分向匮．

R

rvI才//－-『尸，干

I

',H

~Iy

lI,,

VII,,,,r

/话－---「一心)/

/

v.P

N

X

图8-12图8-13

显然，给定向垃r，就确定了点M及0户贡门戎三个分向世，进而确定了x、

y、z三个有序数；反之，给定=4个有序数x、y、z，也就确定了向拭r与点M于是点

M向蚁r与＝．个有序数X、y、z之间有一一对应的关系

)

M◄_＿►r=OM=xi+yj+zk｀一（X,y,z),

据此，定义：4i丿f数X、y、z称为奥上匕r（在坐标系Oxyz中）胜坐蚽，记作r=

(X,y,z)；有序数丈、y、z也称为点,...,,,..--.,M(在坐标系Oxyz中）~的坐标，记作M(x,y,z).

向f1lr=OM称为．I、liM关f原点0的向径．上述定义表明，一个点与该点的

--二刁：一-二三贮.....

向径4i相同的坐标．记号(x,y,z)既表示点M，义表示向址石计．

坐标而上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．例如：如果点M在yOz

而上，那么X=0；同样，在zOx而上的点，有r=0；在xOy而上的点，有z=0.如果

.7.

第八章向虽代数与空间解析几伺

点M在x轴上，那么y=z=O；同样，在y轴上的点，有z=x=O；在z轴上的点，有

X=y=0．如点M为原点，则父＝y=z=0.

四、利用坐标作向星的线性运算

利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运符如下：

设a=(a戈，a,,a,),b=(b北，b｀＇上），即

a=a夏i+a、j+a,k、b=b,i+b,j+b,k.

利用向描加法的交换律与结合律以及向禄与数的乘法的结合律与分配律，有

a+b=(a,+b,)i+(a1＋从）j+(a:+b:)k,

a-b=(a,-b.)i+(a.,-b,)j+(a,-b,)k,

入a=（入a,);+（入a))j+（入(l,)k（入为实数）、

即

a+b=(a,+b,,a,+b,.a,+b,).

a-b=(a~-b,,a1-b,,a,-b,),

入a=（入a`，入a,，入a,>.

由此可见，对向盘进行加、减及与数相乘，只需对向址的各个坐标分别进行相应

的数量运算就行了．

定理］指出，当向拭a¥-0时，向址b/Ia相当于b＝入a，坐标表示式为

(l入，从，b,）＝入(a,,o,,a,).

这也就相当于向柲b与a对应的坐标成比例

bb.b

｀、

一a＝—(I=..::..:..n”.Q)(l-3)

,、..

例2求解以向址为元的线性方程组

{5x-3y=a,

3x-2y=b,

其中a=(2,l,2),b=(-l,I,-2).

@当a,、1,，、a，有一个为零．例如(1`＝0,(l,、“＄#0．这时(I-3)式应理解为

｛卢

当a.、（1,、0，有两个为零．例如o.="·=0.0，于0．这时(I-3)式应埋韶为

｛仇＝0．

Ii,=0.

.8.

第一节向最及其线性运算

解如同解以实数为元的线性方程组一样，可解得

x=2a-3b,y=3a-Sb.

将a、b的坐标表示式代入，即得

x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),

y==3(2,l,2)-5(-1.I,-2)=(11,-2,16).

例3已知两点A(x1,yl·乙1)和B(x2.y?，z2)以及z蠡

实数入＃－l，在直线AB上求点M，使

)l

AM=入MB.

解如图8-l4所示．由于\B

而＝而仁可，而仁啼－西，。y

因此/

而－m寸（啼－5矶，X

从而图8-14

J

OM='顷＋入啼）．

1+入

),

将OA、OB的坐标（即点A、点B的坐标）代入，即得

OM=(~入x2),1＋入y2Z1＋入z2)

I+入＇1+入＇I+入，

这就是点M的坐标

I

本例中的点M叫做有向线段AB的入分点．特别地，当入＝1时，得线段AB

的中点为

叫X,+X2y,+y2二．

2'2'2)

)

通过本例，我们应注意以下两点：（l)由于点M与向揖OM有相同的坐标，

)

因此，求点M的坐标，就是求OM的坐标．（2)记号(X,Y,z)既可表示点M，又可表

i

示向扯OM，在几何中点与向址是两个不同的概念，不可混淆．因此，在看到记号

(x,y,.z)时，须从上下文去认清它究竟表示点还是表示向倡．当(x,y,z)表示向扯

时，可对它进行运符；当（元，y,z)表示点时，就不能进行运符

五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模与两点间的距离公式

设向址r=(x,y,z)，作石寸＝r，如图8-13所示，有

.9.

第八章向丑代数与空间解析几何

r=OM=OP+OQ＋研，

按勾股定理可得

lrl=IOMI=✓IOPI2+IOQ|2+lOR|2.

由石仁兀i'而＝刃，研＝zk，有

IOPl=lxl,IOQl=lyl,IORl=lzl,

千是得向扯模的坐标表示式

lrl=✓X2+y2＋亡

设有点A(x,,r,,z,）和点B(x2,Y2,22)，则点A与点B间的距离IABI就是向

>

址AB的模．由

11,

AB=OB-OA=(x2,J12,z2)-(x1,_r1,二I)

=(x2一．x,,Y2-Y1,Z2-z,)•

即得A、B两点间的距离

)

IABI=IABI=✓丘－Tl尸＋（）飞三}l)2+(z2-21):

例4求证以M,(4,3,l)、机(7,I,2)、扒(5,2,3)三点为顶点的三角形是

一个等腰三角形．

解因为

IM1M2l2=(7-4)2+(1-3)2+(2-I)2=14.

IM2M312=(5-7)2+(2-1)1+(3-2)2=6,

IM3M111=(4-5)1+(3-2)2+(l-3)2=6,

所以IM2M3I=IM,M1I，即AM1叭扒为等腰三们形．

例5在z轴上求与两点A(-4,1,7)和8(3,5.-2)等距离的点．

解因为所求的点M在z轴l:｀所以设该点为M(O.O，乙）．依题意有

IMAl=IMBI,

即

✓(0+4)2+(0-l)2+(;-7)2=✓(3-O):+(5-0):+(-2-;)i.

两边平方，觥得

14

z=—9'

14

因此，所求的点为M(0,0.—9).

)

例6已知两点A(4,0,5)和8(7,1,3)．求与AB方向相同的单位向趾仁~.

Ill

解因为

}))

AB=OB-OA=(7,I、3)-(4,0.5)=(3,1.-2),

所以

•10•

第一节向最及其线性运算

飞1=✓32+l2+(-2)2＝尽，

下是

AB

气＝＝一＝上（3,1,-2).

IABIJ

2.方向角与方向余弦

~z

非零向扯r与三条坐标轴的夹角a、f3、y称为向昼

r的方向角．从图8-15可见，设玩1=r=（元，y，z)，由于

-－-E---＿一---·`-,

.r是有向线段OP的值，MP.lOP，故

XX

COSer.=~=

IOMIlrl'

类似可知x

y

cos/3=——,co)'=上．图8-15

lrllrl

从而

Xyz\lr

(cosa,cos{3,cos-y)=—(x,y,z)=~=—e,.

=（了，古了）IrI|r|'

<·o::ia,<'OSf3,cos-y称为向证r的方向贪癹；．上式表明，以向批r的方向余弦

为坐标的向垃就是与r同方向的单位向扯e,．并巾此可得

cos2a+cos2{3+cos为＝J.

例7已知两点M,(2.2，拉）和机（1,3,0)，计算向扯正面：的模、方向余弦

和方向角

I

解M,M;=(1-2,3-2,0－石）=(-I,1,－在），

I

IM凡I=汃－1)2+12+(－,ff)2=二＝屈＝2

1I

cos/3::;~cosy=-我~;

cosa=-—2'2'2'

21T1T

a=__y＝红

3'{3=—3.4

一一卡'lT'lT

例8设点A位于第I卦限，向径OA与父轴、y轴的夹角依次为一和一，且

34

►

IOA|=6,4之A~A(1勺人卜右(\.

'TTT.222

解0:＝一，f3＝一．r1l关系式cos'o:+cos/3+cos'y=I，得

34

l2

2,L`1

c。s

Y_2_=-4,

J-(fl)'

.11.

第八章向量代数与空间解析几何

因点A在第I卦限，知cosy>0，故

I

cos,,=一．

2

于是

1Jil

OA►=|-OA1气＝6(了了可）＝（3,3./i,3)

这就是点A的坐标

3.向量在轴上的投影

如果撇开y轴和z轴、单独考虑兀轴与向屈r＝石寸的关系，那么从图8-15

可见，过点M作与尤轴垂直的平面．此平而与x轴的交点即是点P.作出点P．即

,l

得向且r在x轴上的分向扯OP，进而巾OP=.Yi，便得向址(1:.t轴上的坐标．r、且

x=lrlcosa.

一般地，设点0及单位向屈e确定u轴（图8-16).

,

任给向爵r，作OM=r，再过点M作与u轴垂直的平面

交u轴于点M'（点M'叫做点M在u轴上的投影），

则向散石千称为向掀r在u轴上的分向址．设d沪＝

入e，则数入称为向址r在u轴上的投影，记作Prjur

或(r)旷

按此定义，向址a在直扣坐标系Oxyz中的坐标图8-16

见、a`、q就是a在三条坐标轴上的投影．即

u,=Prj,a.a,=Prj,a,o:=Prj:a,

或记作

n,=(a)`,a、=(a),,a,=(a),.

由此可知，向拱的投影具付与坐标相同的性质：

性质1PrLa=IaIcos中（即(a)u=IaIc-oscp)，其中中为向拭a与u轴的

夹角；

性质2Prju(a+b)=Prjua+Prj.b(良n(a+b)u=(a)"+(b).):

性质3Prju(入a)=入PrLa(巨P(入a)"=入（a)u).

例9设正方体的一条对角线为OM．一条棱为0A.

且IOAI=a，求石切分订方向上的投影Pr园吓i.I

e

向扯r在向杖a(a于0)的方向上的投影l可．r从指r仆某条'1(I同方向的轴I·的投影

·12·

第—节向世及其线性运葬

解如图8-17所示，记LMOA＝中，有

IOAII

COS中＝＝-

IOMI!f'

于是

i)a0A

Pr而OA=IOAICOS中＝-.

石图8-17

习题8-1

l.设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a、b、c表示2u-3V.

2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分．试用向扯证明它是平行四边形．

3.把!:-.ABC的BC边五等分，设分点依次为D,、队、化、队，再把各分点与点A连接试以

一AB=c、－－BCJI)=a表示向址D1A、D2A、D3A）》和D.A.

►I

4已知两点凡(0,I,2)和M2(I,-I,0)．试用坐标表示式表示向扯凡扒及－2M,M..

5.求平行于向址a=(6,7,-6)的单位向攸．

6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

A(I,-2,3),8(2,3,-4),C(2,-3,-4).D(-2,-3,1)

7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各打什么特征？指出下列各．权的位罚：

A(3,4,0),8(0,4,3),C(3,0,0),D(O,-1,0}.

8.求点(a,b,c)关千(I)各坐标面；（2)各坐标轴；（3)坐标原点的对称．I议的坐标．

9.自点P。(x0,y0,z。)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，马出各眶足的坐标．

JO.过点P。(Xo,y。,z。)分别作平行于z轴的直线和平行于，'\,仍面的平面，问在它们上面

的点的坐标各有什么特点？

II.一边长为a的正方体放仅在xOy面上，其底面的中心在坐标原点．底而的顶点在．r轴

和y轴上，求它各顶点的坐标．

12.求点M(4,-3.5)到各坐标轴的距离．

13.在yOz面上，求与三点A(3,l,2)、8(4,-2.-2)和C(O.5,I)笱距离的点

14.试证明以三点A(4,l,9)、B(JO,-l,6)、C(2,4、3)为顶点的一..三角形是等腰直f(1=

角形．

l

15.设已知两点M,(4，/2,1）和M2(3,0,2}，计箕向屈M1队的校、方向余弦和方向角．

16设向队的方向余弦分别满足(I)rosa=0;(2)cosf3=I:(3)('OSa=1·11sf3=().问这

些向从与坐标轴或坐标面的关系如何？

17.设向从r的校是4，它与，，轴的火角是卫－，求r在，，轴上的投影．

3

18.一向叶的终点在从XB(2,-l,7)，它在X!fill、y轴和z轴上的投影依次为4.-4HI7.

求这向队的起点A的坐标

19.i.9:m=3i+Sj+Bk,n=2i-4j-7k,f'tlp=Si+j-4k,>R向队a=4m+3II-p(E.l句hI.:.

·13·

第八哀向垃代数与空间解析几何

的投影及在y轴上的分向攸．

第二节数量积向量积＊混合积

一、两向量的数量积

设一物体在恒力F作用下沿直线从点M移动到点扒，以s表示位移

立．由物理学知道，力F所作的功为

W=IFIIsl('OS8、

其中0为F与s的夹角（图