湖南省高考数学试题函数与导数部分

．．．．．．．．2011年南高数试函与数分湖理★6.由直线

x

3

,

3

,

与曲线y

所围成的封闭图形的面积为（）A

12

B．．

32

D．

答案：解析：由定积分知识可得

33

xdxsinx3

3)2

，故选D8.设线

x

与函数fx)x

2

,(x)ln

的图像分别交于点MN，当|达最小时t的值为（）A．1

B．

12

C．

52．22答案：解析：由题

|MN2

x，(x

不妨令

()2

x，'(x)

1x

，令'(x)解得x

22

，因

2x(0,)，hx)0当x,，)2

，所以当

x

22

时，

|MN

达到最小。即

t

22

。20.如6形体E在中沿面积S直方向作匀速移动为

(v

，雨速沿E移动方向的分速度为c(R)

。移动时单时内的淋雨量包括两部分）1或的平行（有一个面淋雨的淋量假设其值与×S成比比例系数为；10（它的淋雨量之为

12

为E移过程中的总淋雨量动离，/

vv3时。面积S=2y（Ⅰ）写出的表达式（Ⅱ）设0≤＜≤，试根据c的不同取值范围，确定移动速度

，使总淋雨量

y

最少。解析）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为

|

，故

y

(|)|v202

（II）(知，当

0时，

cc10)vv

当

c10

时，

y

5(10)vc10)vv

c故y5(10cv

。当

时，是于的函数.故当v10时y20min

c

。当

时在c]上是于的函数；在(c上y是于v的函数；故当

时

min

c

。（本小题满分13分已知函数f(x)=，x)=x+。（Ⅰ）求函数h(xf(x)-g(x)的零点个数，并说明理由；/

1111（Ⅱ）设数列{a}(nn

*

)

满足

0)1

，

fn

)ga)n

，证明：存在常数使得对于任意的

nN

*

，都有

n

M

解析：（I）由

h()

知，

0而

h(0

，且h(1h2

，x为

h)

的一个零点，且

h()

，因此

(x

至少有两个零点解法：

'(x2

x，)xx，则)x4

32

。当

x

时，

)

，因此

)

在

上单调递增，则

)

在

内至多只有一个零点。又因为

33)则x)在(内零点，所以3

)

在

内有且只有一个零点。记此零点为，当x)1

时，

x))01

；当x(x,1

时，

x)1

；所以，当

x(0,x)时hx)1

单调递减，而

，则(x)在(0,]1

内无零点；当

x(x，h(x1

单调递增，则

(x在(,1

内至多只有一个零点；从而

(x

在

内至多只有一个零点。综上所述，

(x

有且只有两个零点。解法：

h(x)x

)

，记

(x

，则

)xx

32

。当

x

时，

)，此x在(0,单调递增，则

)在(0,至多只有一个零点。因此

(x

在

内也至多只有一个零点，综上所述，

(x

有且只有两个零点。（II）

(x

的正零点为，即x0

3

x00

。（）当

时，由a，.01

3

a10

0

3

，因此

2

，由此猜测：

n0

。下面用数学归纳法证明：/

①

时，

10

显然成立；②假设(

时，有

k0

成立，则当

时，由a

xxk00

3

知，

k

x0

，因此，当

n

时，

k

x0

成立。故对任意的n*，

n

成立。（）当0

时，由（），

(x

在

(,0

上单调递增。则

(a)h(x)，0a

。从而

a3aa2

3

，即

2

，由此猜测：

n

。下面用数学归纳法证明：①

时，

1

显然成立；②假设(

时，有

k

成立，则当

时，由a

ak

3

知，

k

，因此，当

n

时，

k

成立。故对任意的n*，

n

成立。综上所述，存在常数

Mx,}0

，使得对于任意的

nN

*

，都有

Mn

湖文7．曲线

y

sin1在点(,0)的切线的斜率为（）sincos24A．

1B．2

C．

2D．2解析：

y'

x(sinxcosx)x(cosx)(sinxx

(sinxcosx

2

，所以yx

4

(sin

144

2

12

。主考函的导式8．已知函数

f)g)x

若有

f()g(),

则

的取值范围为A．

2]

B．

(22)

C．

[1,3]

D．

答案：解析：由题可知

f)g()/

，若有

21212122121212f()(b),(b(，即

2

b解2

。12．知

f(x)

为奇函数，

))(则

．答案：解析f(则f(f(x)

为奇函数以

f(

。22小13分）设函数

f(x)x

1x

ln(a(I)讨论

f(x)

的单调性；（

f(x

有两个极值点

x和12

过点

(,f((,f(12

的直线的斜率为k，问：是否存在使得

若存在，求出的，若不存在，请说明理由．解析）

f(x

的定义域为

(0,f'(x)

xx2x令

(

2

其

2

当

|a时0,f'(x)0,

故

f)在0,

上单调递增．当

>0,g(x)=0

的两根都小于0，在

上，

f'(

，故f)在0,

上单调递增．当

a时,>0,g(x)=0

的两根为

1

a2ax2

，当

x时，fx)；xx时，fx)；当时，f'(112

，故

f(x

分别在

x),(x1

上单调递增，在

(x)1

上单调递减．（）（）知，a．因为

xf(x)()x)xlnx)x1f(xf(x)1lnk121xx1212

，所以又由(I)知，

xx．于是12

ln1x12/

x