椭圆内接四边形面积的计算

椭圆内接四边形面积的计算及应用昭通市巧家县第一中学侯成顺云南师范大学数学学院朱维宗(教授)摘要：本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形.关键词：椭圆；焦点；面积1.椭圆内接焦点四边形(过一个焦点,以右焦点为例)x2y21.1定义：在椭圆一+1=1(a>b>0)中,AB,CD为过椭圆一个焦点的两条弦，故四边形a2b2ACBD为椭圆内接焦点四边形.1.2性质ACBD为椭圆内接焦点四边形.1.2性质：(1)四边形ACBD的面积SACBD=2a2b4sin9其中X=(k2+1)(kX=(k2+1)(k2+1),X=(a2k2+b2)(a2k2+b2)).112212证明：如右图所示，有F(c,0)，并且设AB,2CD的斜率分别为ki,k2，故有:AB:y=竹-c) CD：22联立方程x2 y2y=k(x—c)及+—=1(a>b>0)1 a2b22a2k2cnx+x= 1——1 2 a2k2+b21胡=2a-e(分x2)=誥错1同理有：CD=2胡=2a-e(分x2)=誥错1同理有：CD=2ab叫+1)(a2k2+b2)

21故二SACBD=2ABICDIsin9=2"2加(k]2+1)(k22+1)sin9 (0为AB与CD的夹角)，(a2k2+b2)(a2k2+b2)12令X=(k2+1)(k2+1),X=(a2k2+b2)(a2k2+b2)就有：11221SACBD⑵推论A:当k.k=—1时,.S122a2b4〉8a2b4AcBDt c4 (a2+b2)2a2b2+ —v 72+k2+丄1k21b：当k+k=0时，s=2,j4(k节[)2，并且有k +k=0,k+k1 2 ACBD (a2k2+b2)2 ACBD ADBC=0.推论证明A：当仁=—1时,说明AB,CD相互垂直,有sin9=sin=1,k2=1T~2,代入面积 公 式 就 有 SACBD2a2b4再利用均值不等式有SACBD2a积 公 式 就 有 SACBD2a2b4再利用均值不等式有SACBD2a2b4k21当k+k=0时,12a2b2— —2+k2+丄1k21〉8a2b4(a2—b2)2有k12二佇，代入就有SACBD2a2b4(k2+1)2=(a2k2—b2)2成立-以下证明k+k=0,k+kACBD ADBC证明：不妨把椭圆的方程化为ax2+Py2二1（a与0不同是为零），已知有AB,CD与x轴的夹角相等，设A、B、C、D四个点的坐标为A"人）,Bq，打，CL叮，D（xry4）•直线a(x+x)i<,同理可得卩(y+y)13AB、DC、AC、BD的斜率分别为kAB,kDC，kAC，kBD•又点A、a(x+x)i<,同理可得卩(y+y)13（1）及笨2+PyJ=1（2）,用（2）带入（1）有kACa(x+x)k—— 2 4 .BD 0(y+y)24已知有AB,CD与x轴的夹角相等「IkAc=—k,k+k=已知有AB,CD与x轴的夹角相等「IkAc=—k,k+k=0BDACBD.y一y丄y一y+ 3+2 4—0(3)及x—xx—x1 3 2 4y+y1 3x+x13y+y+厶4—0（4）由这两个式子得:x+x24(xy+xy+xy+xy)—(xy+xy+xy+xy)=012 21 34 43 14 23 32 415）(xy+xy+xy+xy)+(xy+xy+xy+xy)=012 21 34 43由(5)及(6)得到：14xy+xy+xy+xy=0122134437）=0a(x+x)同理有：k=—— <AB0(y+y)12kDCa(x+x)3 4—卩(y+y)34..k+k —~2 —+~4 3ABDCx—xx—x2 1 4 3(x—x)(x—x)2 1 4 3[(xy+xy+xy+xy)一(xy+xy+xy+xy)]1324314214233241将（8）代入有：9）TOC\o"1-5"\h\z(xy+xy+xy+xy)k+k= -^-3 24 ^-1 42—将（8）代入有：9）ABDC (x-x)(y-y)2 1 4 3, , azx+x x+x、又k+k=-(t 2+3 4) 再将(8)代入得到:ABDC卩y+yy+y12 3 4k+kABDCa(xy+xy+xy+xy)^-3 24 3-1 42—卩k+kABDCa(xy+xy+xy+xy)^-3 24 3-1 42—卩(y+y)(y+y)1 2 3 410)用（9）-（10）得到:(x-y3+x2y4+x3叮x4y2)[(x-x)(x-x)2 1 4 3a1卩(y+y)(y+y)1 2 3 41a1右 + =o(x-x)(x-x)卩(y+y)(y+y)2 1 4 3 1 2 3 4故有:yy+yy=0 结合平行截割线定理有：ab与dc平行,并且都平行于x轴，它与14 23AB,AC,DC,DB的斜率不为零矛盾,xy+xy+xy+xy=0 /.k+k=013 24 31 42 ABDC说明直线AB,DC与x轴的夹角相等.同理可证明AD,BC与x轴的夹角也相等，有k+k=0,k+k=0.ACBDADBC1.3实例应用x2 y2 2已知椭圆—+—=l（a>b>0）的离心率为丁，过右焦点F的直线L与曲线相交于A、Ba2b2 3两点.当L的斜率为1时,C（0,b）到AB的距离为2迈,延长CF交椭圆于点B,求ACBD的面积.解：由于e=-=2并且k=1、F(c,0)故AB的方程为：y=x-c又C(0,b)a3ABb+c■所以C到AB的距离为d=兀=2^2.b+c=4,.c=2,b=2,a=3故椭圆的标准方x2y2程为：W+~~=1又k=1,k=-1 .°.ZAFC=90即AB与CD垂直,代入公式有:94ABCDSACBD2a2b4139c4a2b2+ —2+k2+11k212椭圆内接焦点四边形(过两个焦点)x2y22.1定义：在椭圆一+》=1(a>b>0)中,AB,CD为过椭圆右左两焦点的弦,并且交椭圆于a2b2四点A、B、C、D.则有四边形ACBD为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形.2.2性质(1)SACBD2a3b2九+2SACBD2a3b2九+2a2b4 + sin0[九-k2(a2+c2)(k2+c),九-(a2k2+b2)(a2k2+b2)]九 1 2证明：如右图所示，有Fi(-c,0),F2(c'O)，并且设AB,CD的斜率分别为ki,k2，故有AB：y二k(x—c)cd： y二k(x+c).12212xx2x2y2联立方程：y=卩-c)及-+厉=1(a>b>0)2a2k2cnx+x= 1——1 2 a2k2+b21|AB|二|AB|二2a—e(x+x)二2ab2(k2+1)(a2k2+b2)1同理有：(同理有：(a2k2+b2)22ak2(a2+c2)+2ab2CD=2_ABAB与CD的夹1.SACBD=2AB Sin°=2a3b2九+2a2b4角)[九=k2(a2+c2)(k2+c),九=(a2k2+b2)(a2k2+b2)].121212+c)+2a2b42a3b2k2(a2+c)+2a2b4⑵推论A：当仁=-⑵推论A：当仁=-1时，SACBD (a2k2+b2)(a2 sin0 (9为+b2 sin0 (9为1 k21B:k+kB:k+k二0时，S12ACBD2a3b2k2(a2+c2)(k2+c)+2a2b41 1 sin0 ,并且有(a2k2+b2)2 ，1kkA2.3实例应用二0,k+k二0.BDADBCx2 y2设椭圆一+1=1(a>b>0)的左右焦点分别为F(-1,0),F2(1,0).右准线交x轴a2 b2 1 2

于点A,Apf=2AF_•过F,F分别作两条直线与椭圆相交于四个点D、E、M、N.并且DE1212兀 1与x轴的夹角为—.MN与直线L交于点G,并且有|AG|=2AF|.求：(1)椭圆的标准方程.⑵四边形DMEN的面积.a2解：(1)由于F(-1,0),•••c二1.又有A( ,0),F2(1,0)1 c2故有：|af|故有：|af|=~2-1同理=-2+1•a+1=2(生一1)na=3,b2=2所以椭圆x2y2的标准方程为：+~2=1(2)由于已知了DE与x轴的夹角所以有k(2)由于已知了DE与x轴的夹角所以有kMN兀4_1--,故设AN与DE的夹角为9,•••tan9=32.32c 48(72+V6)代入公式有：SdmeN553椭圆内接以焦点为顶点的四边形x2y23.1定义在椭圆-+-=1(a>b>0)中，FF2为其左右焦点‘A、B为椭圆上任意的两点.则四边形¥bF2称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形3.2性质(1)面积3.2性质(1)面积四边形的面积为SAF1BF2二b2(tan|+tan与证明：由椭圆的定义可知道：|AF+|A£|=2a(1)由余弦定理有:|AF|2+|AF|2-21AF||AFIcosa=4c2(2)由(1)与(2)•S=—|AFIAFIsina=b2tanaAF1F22122同理有：S=b2tan•S =b2(tana+tan卩)BF1F2 2 AF1BF2 22(a为年与aF2的夹角；0为BF1与HF?的夹角).

c a a(2)推论：当a与P互为补角时，有：S 二b2(tan+tan-i)>2b2.AF1BF2 2 2a+P兀证明：当a与P互为补角时,a+卩二兀n产二-,所以有：tani=tan(2cot=a=tan-tani=tan(22a2TOC\o"1-5"\h\zc a a、… c兀S =b2(tan+tan-i)>2b2，(当a=P=时取到“二”).AFiBF2 2 2 23.3实例应用x2 y2已知F,f2为椭圆77+P=1的两个焦点,A、B为椭圆上任意的两个焦点，并且ZA与26425上B为补角，求：25当S二 3时，求S 的值.aff2 3 AFB2AFBF当S 取得最小值时，ZA与ZB的度数分别为多少？此时面积的最小值为多少？AFBFAFF 2 2 3所以有：SAFBF解:(1)由已知a=8,b=5，又S 二b2tan孚二25tan竽AFF 2 2 3所以有：SAFBF(2)由推论可以知道:S =2b2=50nZA=ZB(2)由推论可以知道:AF1BF2(min) 2参考