高中数学1章基本初等函数Ⅱ132余弦函数正切函数的图象与性质1课时余弦函数的图象与性质

第1课时

余弦函数的图象与性质学习目标

核心修养1．会用“五点法”“图象变换法”作余弦函

1．经过余弦函数图象和性质的学习，

培育学数和

y＝Acos(

ωx＋φ)的图象．

(要点)

生的直观想象核心修养．2．理解余弦函数的性质，

会求余弦函数的周

2．借助余弦函数图象和性质的应用，

提高学期、单一区间及最值．

(要点、难点

)

生的直观想象和数学运算核心修养

.1．余弦函数的图象πy＝cosx的图象，把正弦函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度就获得余弦函数2该图象叫做余弦曲线．2．余弦函数的性质函数y＝cosx定义域R值域[－1,1]奇偶性偶函数周期性以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期单一性当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，递加；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减最大值与当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；最小值当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(此中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周2π期T＝ω.思虑：在[0,2π]上画余弦函数图象的五个要点点是什么？π3[提示]画余弦曲线的五个要点点分别是(0,1)，2，0，(π，－1)，2π，0，(2π，．1．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，第一应描出的五个点的横坐标是( )π3πππ3πA．0，2，π，2，2πB．0，4，2，4，ππππ2πC．0，π，2π，3π，4πD．0，6，3，2，3π3πππ3πB[令2x＝0，2，π，2和2π，得x＝0，4，2，4，π，应选B.]2．使cosx＝1－m存心义的m的值为( )A．m≥0B．0≤m≤2C．－1<m<1D．m<－1或m>1[∵－1≤cosx≤1，∴－1≤1－m≤1，解得0≤m≤2.应选B.]3．比较大小：(1)cos15°________cos35°；(2)cos－π________cos－π34.(1)>(2)<[(1)∵y＝cosx在[0°，180°]上为减函数，而且0°<15°<35°<180°，所以cos15°>cos35°.(2)∵cosπ＝cosπ，cosπ＝cosπ－3－4，34而且y＝cosx在x∈[0，π]上为减函数，ππ又∵0<<<π，43ππ－ππ∴cos4>cos3，即cos3<cos－.]4用“五点法”作余弦型函数的图象【例1】用“五点法”作函数y＝2＋cosx，x∈[0,2π]的简图．[思路研究]在[0,2π]上找出五个要点点，用光滑的曲线连结即可．[解]列表：x0ππ32π2π2cosx10－1012＋cosx32123描点连线，如图1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个要点点．1．用“五点法”作函数y＝3－2cosx，x∈[0,2π]的简图．[解]按五个要点点列表、描点画出图象(如图)．x0ππ3π2π22cosx10－101y＝3－2cosx13531求余弦型函数的单一区间π【例2】求函数y＝cos6－x的单一递减区间．π－[思路研究]此题中自变量的系数为负，故第一利用引诱公式，将y＝cos6x化为y＝cosxπy＝cosx－π－形式，故只需求6的单一递减区间即可．6[解]y＝cosπ－x＝cosxπ6－，6π令z＝x－，则y＝cosz，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，6π∴2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，∴2π＋π≤≤2π＋7π，k∈Z.66故函数y＝cosπ－x的单一递减区间为2kπ＋π，2kπ＋7π，k∈Z.6661．求形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(此中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单一区间，可以借助于余弦函数的单一区间，经过解不等式求得．2．详细求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用引诱公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单一区间，能够解得与之单一性一致的单一区间；当A<0，ω>0时相同方法能够求得与余弦函数单一性相反的单一区间．π2．求函数y＝2cos4－x的单一递加区间．[解]

y＝2

cos

π4－x

＝2cos

x－π4

.联合

y＝|cos

x|的图象．由kπ－

ππ≤x－24≤kπ(k∈Z)得

kπ－

π4≤x≤kπ＋

π4(k∈Z)．所以函数

y＝2

cos

π4－x

的单一递加区间ππ为kπ－4，kπ＋4(k∈Z).相关三角函数的最值问题31【例3】已知函数y1＝a－bcosx的最大值是2，最小值是－2，求函数y＝－4asin3bx的最大值．[思路研究]欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，联合分类议论求解．[解]311的最大值是2，最小值是－2，∵函数y当b>0时，由题意得a＋b＝23，11∴a＝2，－＝－，b＝1.ab23当b<0时，由题意得a－b＝2，1＋＝－1，∴a＝2，b＝－1.ab2所以y＝－2sin3x或＝2sin3x.y函数的最大值均为2.1．对于求形如y＝acosx＋b的函数值域问题，一般状况下只需注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有详细范围限制时，需考虑cosx的范围．2．求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，而后再依据其系数的正负性质求解．．函数y＝2x＋cosx－π≤x≤π的值域为________．3sin441＋2ππ21，2[设cosx＝t，由于－4≤x≤4，则t∈2，1，2－1252所以y＝1－cosx＋cosx＝－t2＋4，t∈2，1，2π1＋2故当t＝2，即x＝±4时，ymax＝2；当t＝1，即x＝0时，ymin＝1.所以函数的值域为1，1＋2.]2正、余弦函数的对称性[研究问题]1．察看正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？[提示]正弦曲线对于原点对称、余弦曲线对于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．2．正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？π[提示]

正弦曲线的对称中心坐标为

(kπ，0)，(k∈Z)，其对称轴方程为

x＝

2＋kπ，(k∈Z)．余弦曲线的对称中心坐标为π∈Z)，对称轴方程为＝π，(∈Z)．kπ＋，0，(kxk2k3．怎样求y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？π[提示]只需令ωx＋φ＝kπ＋2即可求得其对称中心的横坐标．令ωx＋φ＝kπ，可求得其对称轴方程．【例4】已知函数y＝2cos2x＋2π.3(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离近来的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象对于原点对称，求φ的最小正当．2π[解](1)令2x＋3＝kπ，k∈Z，kππ解得x＝2－3(k∈Z)．π令k＝0，x＝－3；π令k＝1，x＝6.2x＋2ππ∴函数y＝2cos3的对称轴中离y轴近来的一条对称轴的方程是x＝6.(2)设该函数向右平移φ个单位后分析式为y＝f(x)，则f(x)＝2cos2x－φ＋2π＝2cos2x＋2π－2φ.33∵y＝f(x)的图象对于原点(0,0)对称，∴f(0)＝2cos2π－2φ＝0.32ππ∴3－2φ＝kπ＋2，k∈Z.πkπ解得φ＝12－2(k∈Z)．π令k＝0，得φ＝12.π∴φ的最小正当是12.对于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：1fx＝Asinωx＋φ或Acosωx＋φ的图象对于x＝x0对称?fx0＝A或－A.2fx＝Asinωx＋φ或Acosωx＋φ的图象对于点x0，0中心对称?fx0＝0.．把函数y＝cosx＋4π的图象向右平移φ个单位，正好对于y轴对称，求φ的最43小正当．[解]由题意平移后的函数为y＝cosx＋4πx＝0时，－φ，它是偶函数，所以，当34π4π4πcos3－φ获得最大值1或最小值－1，故3－φ＝2nπ或(2n＋1)π(n∈Z)，即3－φ＝π(∈Z)．kk4ππ∴φ＝3－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正当3.(教师用书独具)1．余弦曲线和正弦曲线的关系2．余弦函数周期性的释疑余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.3．余弦函数的奇偶性(1)余弦函数是偶函数，反应在图象上，余弦曲线对于y轴对称．余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．4．余弦函数单一性的说明余弦函数在定义域R上不是单一函数，但存在单一区间．求解(或判断)余弦函数的单一区间(或单一性)是求值域(或最值)的要点一步．确立含有余弦函数的较复杂的函数单一性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．5．余弦函数最值的释疑(1)明确余弦函数的有界性，即|cosx|≤1.(2)对有些余弦函数，其最值不必定是1或－1，要依靠函数定义域来决定．(3)形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值往常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转变为y＝Acosz的形式最值.π1．以下函数中，周期为2的是()xB．y＝sin2xA．y＝sin2xD．y＝cos4xC．y＝cos42ππ[∵T＝ω＝2，∴ω＝4.]2．函数y＝sinx＋2019)2π是(A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数B[∵y＝sinx＋2019