2023版中考数学总复习第六章图形的变化课件

第六章图形的变化

章首页

大概念统领下的科学备考方案初中所学的图形的变化有哪几种？说出其中有关全等变化的定义和性质.你能否综合运用平移、轴对称和旋转的知识设计一个图案？初中阶段你学习过哪些立体图形？你是从哪些方面认识立体图形和平面图形的关系的？问题导语复习思路学习目标明确图形变化的概念、联系和区别，掌握图形变化的性质，会利用图形变化的性质进行计算和推理，并进行图案设计.感受图形变化之后的坐标变化，理解平移和轴对称的坐标变化.从几何体的视图、展开图、截面的分析中，认识平面图形和立体图形的联系，发展空间观念和几何直观思维.学会用数学的眼光观察现实生活，发现生活中的数学美.第18节图形的平移1中考课标导航2必备知识梳理3中考考点精讲4课堂巩固提升基本图形考点考情通过具体实例认识平移，探索它的基本性质认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用运用图形的平移进行图案设计1.

图形平移的性质--------2.图形的平移与坐标变化3.

图形的平移与证明----中考课标导航有的放矢本节复习目标1.理解平移的概念，能运用平移的概念和性质画图、计算和推理2.能运用平移变化探索图形的性质必备知识梳理深根固柢一、图形平移的概念及性质1.

概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的

和

.2.

要素：（1）平移的图形；（2）平移方向；（3）平移距离.3.性质：（1）对应点所连的线段

（或在一条直线上）且

；（2）对应线段

（或在一条直线上）且

；（3）对应角

.形状大小平行相等平行相等相等二、图形的平移与坐标变化如右图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，b），△ABC向右平移m个单位，向上平移n个单位得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为

.△ABC向左平移m个单位，向下平移n个单位得到△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标为

.形状大小平行相等平行相等相等（a+m，b+

n）（a-m，b-n）三、图形的平移与尺规作图形状大小平行相等平行相等相等作图步骤图例1.根据题意找出关键点，确定平移方向和平移距离2.按照平移方向和平移距离，平移各个关键点3.按照原图，依次连接各关键点的对应点如图，将△ABC沿AA'方向平移得到△A′B′C′，A点的对应点为A'中考考点精讲深入浅出

考点一

图形平移的性质

1.如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB

=3，AC=4.将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，DE与AC交于点G，连接AD.（1）四边形ABED的形状是

，∠EGC的度数为

.

90°平行四边形（2）当四边形ABED是菱形时，平移距离为

，此时四边形ACFD和四边形ABFD的周长分别为

和

，AC扫过的面积为

.31418拓展：如图2，在平移的过程中，连接AE，DC.①当四边形AECD中有内角是直角时，平移距离为

.点拨：拓展①分两种情况，如图析1，∠AEC=90°；如图析2，∠ECD=90°.②当四边形AECD是菱形时，平移距离为

.拓展②如图析3.

考点二图形的平移与坐标变化2.（1）△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，请画△A1B1C1.（2）△ABC先向

（填“左”或“右”）平移

个单位长度，再向（填“上”或“下”）平移个单位长度得到△A2B2C2，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2，AB边上一点P（p，q）平移后对应点为P2（p+4，q-6）.请根据题意，画出△A2B2C2.2.（1）△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，请画△A1B1C1.（2）△ABC先向

（填“左”或“右”）平移

个单位长度，再向

（填“上”或“下”）平移

个单位长度得到△A2B2C2，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2，AB边上一点P（p，q）平移后对应点为P2（p+4，q-6）.请根据题意，画出△A2B2C2.64右下解：（1）如答图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如答图所示，△A2B2C2即为所求．（3）在（2）的基础上连接CC2，则CC2的长为

．（4）若（2）中△A2B2C2是△ABC经过一次平移得到的，则平移过程中AB扫过的面积为

．18考点三图形的平移与证明3.综合与实践问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点F.初步分析：（1）智慧小组的同学发现△CEF是等腰三角形，请你证明这一结论.（1）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠DAF.∵∠ACB=90°，∠CAE+∠AEC=90°.∵CD⊥AB，∠CDA=90°.∠DAF+∠AFD=90°.∠AFD=∠AEC.∵∠AFD=∠CFE，∴∠AEC=∠CFE，CE=CF.∴△CEF是等腰三角形.（2）博学小组的同学发现给△ABC添加一个条件，可使△CEF成为等边三角形.添加的条件可以是

.（写出一种即可）（2）解：答案不唯一.如∠B=30°或∠BAC=60°等.操作探究：（3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下的拓展探究.①将△ADF沿射线AB的方向平移，使点F的对应点F'恰好落在线段BC上.请在图2中画出平移后的△A'D'F'，并猜想此时线段A'B与AC的数量关系，并说明理由.①将△ADF沿射线AB的方向平移，使点F的对应点F'恰好落在线段BC上.请在图2中画出平移后的△A'D'F'，并猜想此时线段A'B与AC的数量关系，并说明理由.（3）解：①如答图1，△A'D'F'即为求.A'B=AC.理由如下：∵△A'D'F'是由△ADF平移得到的，∴A'F'=AF，∠F'A'B=∠FAD.∵AE平分∠BAC，∴∠FAD=∠FAC.∠F'

A'B=∠FAC.①将△ADF沿射线AB的方向平移，使点F的对应点F'恰好落在线段BC上.请在图2中画出平移后的△A'D'F'，并猜想此时线段A'B与AC的数量关系，并说明理由.∵∠ACB=90°,∠B+∠CAD=90°.∵∠CDA=90°,∠ACD+∠CAD=90°，∴∠B=∠ACD.∴△BA'F'≌

△CAF.∴A'B=AC.②将△CEF沿射线CB的方向平移，使点C的对应点C'恰好与点B重合.请在图3中画出平移后的△C'E'F'，并连接EF'，交BD于点G，猜想此时线段EG与F'G的数量关系，并说明理由.②将△CEF沿射线CB的方向平移，使点C的对应点C'恰好与点B重合.请在图3中画出平移后的△C'E'F'，并连接EF'，交BD于点G，猜想此时线段EG与F'G的数量关系，并说明理由.②如答图2，△C'E'F'即为所求.EG=F'G.理由如下：如答图2，过点E作EH⊥AB于点H.∵∠ACB=90°,∴EC⊥AC.∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，∴CE=EH.由（1）得CE=CF，∴EH=CF.②将△CEF沿射线CB的方向平移，使点C的对应点C'恰好与点B重合.请在图3中画出平移后的△C'E'F'，并连接EF'，交BD于点G，猜想此时线段EG与F'G的数量关系，并说明理由.由平移可知BF'=CF，CF∥BF'，∴BF'=EH.∵AB⊥EH，CD⊥AB，∴∠CDB=∠EHB=90°.∵CD∥BF'，∴∠CDB=∠F′BG=90°.∴∠EHB=∠F′BG.∵∠EGH=∠F'GB，∴△EGH≌△F'GB.∴EG=F'G.课堂巩固提升举一返三1.（2022湖州改编）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′.若B′C′=2cm，则BC′的长是（

）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cmB2.（2022抚顺改编）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，1），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（-1，-2），则点B的对应点D的坐标是

，平移的距离为

.四边形ABDC的形状为

，它的周长为

.平行四边形（1，-3）3.如图，一张矩形纸片ABCD，AB=5，BC=12，沿对角线BD剪开，得到两个全等的直角三角形记为△ABD与△BCD.固定△BCD，将△ABD沿BD方向平移，平移后的三角形记为△A′B′D′，且点B′在对角线BD上.（1）当△ABD平移到点B′为BD中点时，四边形A′B′CD的周长是

.23（2）请在图2中画出当△ABD平移到使四边形A′B′CD为菱形时的图形，并求出平移的距离.（2）请在图2中画出当△ABD平移到使四边形A′B′CD为菱形时的图形，并求出平移的距离.（2）请在图2中画出当△ABD平移到使四边形A′B′CD为菱形时的图形，并求出平移的距离.（2）请在图2中画出当△ABD平移到使四边形A′B′CD为菱形时的图形，并求出平移的距离.（3）在（2）的条件下，不添加字母，利用已有顶点再构造一个菱形，在图3中画出这个菱形.（3）如答图2，菱形A′BCD′即为所作.第19节图形的轴对称1中考课标导航2必备知识梳理3中考考点精讲4课堂巩固提升基本图形考点考情通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质1.轴对称图形的概念5年2考----2.轴对称与坐标变化中考课标导航有的放矢基本图形考点考情认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形运用图形的轴对称进行图案设计3.轴对称与图案设计----4.轴对称的性质及应用5年2考本节复习目标1.能说出轴对称的概念，会判断一个图形是不是轴对称图形2.

理解轴对称的性质，能根据轴对称的性质进行推理与计算3.

会画一个简单图形关于某直线的对称图形，会画给定轴对称图形的对称轴4.

能根据简单几何图形的轴对称性质解决简单的问题续表必备知识梳理深根固柢一、轴对称图形与成轴对称的图形的概念及性质轴对称图形（成）轴对称图形概念△ABC中，AB=AC，△ABC关于直线l对称△ABC和△DEF关于直线l对称如果

平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够

，那么这个图形叫做轴对称图形如果

平面图形沿一条直线对折后能够

，那么称这两个图形成轴对称性质（1）

相等，对应角

；（2）对应点所连的线段被对称轴

.完全重合一个两个完全重合对应线段垂直平分相等知识链接1.常见的轴对称图形2.图形折叠：折叠是图形的轴对称中常见的一种操作方式，折叠前后的两部分关于折痕所在的直线对称.例如，将△ABC沿CD折叠得到如右图所示的图形.可以得到两条重要的结论：（1）DC平分∠BDB'，CD平分∠BCB'.（2）CD垂直平分BB'.二、轴对称与坐标变化1.关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标

，纵坐标

.如右图，△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，点A（m，n）的对应点A1的坐标为

.2.关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标

，横坐标

.如右图，△ABC与△A2B2C2关于y轴对称，点A（m，n）的对应点A2的坐标为

.相同互为相反数（m，-n）（-m，n）互为相反数相同三、轴对称作图类型已知成轴对称的两个图形，作对称轴已知对称轴，作成轴对称的图形图例如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，用尺规作图作出直线l如图，用尺规作图，作出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'作图关键点作对应点所连线段的垂直平分线依据轴对称的性质确定对应点—作垂线，截取等长线段中考考点精讲深入浅出1.（2020山西第2题）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识.下面是科学防控知识的图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（

）D考点一

轴对称图形的概念

2021/第3题2020/第2题2.下列图形中，不是轴对称图形的是（

）C

考点二

轴对称与坐标变化3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标依次为A（1，3），B（2，2），C（4，2），D（2，4）.（1）先画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1，再画出四边形ABCD关于x轴对称的四边形A2B2C2D2.（2）四边形ABCD的面积为.3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标依次为A（1，3），B（2，2），C（4，2），D（2，4）.（1）先画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1，再画出四边形ABCD关于x轴对称的四边形A2B2C2D2.（2）四边形ABCD的面积为.解：（1）如答图所示，四边形A1B1C1D1即为所求，四边形A2B2C2D2即为所求.（2）3.考点三轴对称与图案设计4.（2014山西第19题·6分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形——筝形.所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似．定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形ABCD是筝形，其中AB

=

AD，CB=

CD.判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形；②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．

显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点．如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条.解：（1）答案不唯一，参考答案如下，相同点，①两组邻边分别相等；②有一组对角相等；③一条对角线垂直平分另一条对角线；④有一条对角线平分一组对角；⑤菱形和筝形都是轴对称图形.（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条.不同点，①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分；②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；③菱形的两组对边分别平行，一般筝形的对边不平行；④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；⑤菱形有两条对称轴，筝形只有一条对称轴.（2）请仿照图1的画法，在图2所示的8×8正方形网格中重新设计一个由四个全等的筝形（非菱形）和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上.②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形.③将新图案中的四个筝形都涂上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．（2）解：答案不唯一，参考答案如下，考点四轴对称的性质及应用

5.（原创）已知△ABC与△FED关于直线l

对称，请在图中画出△FED（尺规作图，保留作图痕迹），并回答下列问题：（1）连接BE与直线l相交于点O，还能得到的结论有：

等.（2）若AB

=

AC，∠ACB=70°，∠CAO=

20°，则∠ABE=

°.解：如答图，△FED即为所求.（1）答案不唯一.例如，直线l垂直平分BE，△ABE为等腰三角形.（2）30（3）判断直线BC，ED的交点是否在直线l上，并证明.（3）直线BC，ED的交点在直线l上.证明：如答图所示，延长BC，ED交于点M，易知直线l垂直平分BE．∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB.又∵∠ABC=∠AED，∴∠MBE=∠MEB.∴MB=

ME.∴点M在线段BE的垂直平分线上.∴点M在直线l上.6.（原创）已知△ABC如图1，在矩形ABCD中，已知BC=2AB=

8，点P是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AP，把△ABP沿着AP折叠后，点B落在点E处，连接CE.设BP=

m.（1）当m

=

4时，在图2中画出折叠后的图形，试判断△PCE的形状，并说明理由.解：（1）如答图1所示，即为所求.△CEP是等腰直角三角形.理由如下，∵m=4，BC=2AB=8，BP=m，∴AB=BP=PC=4.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°.∴∠APB=∠BAP=45°.

∵△ABP沿着AP折叠，∴∠APE=∠APB=45°，PE=BP=4.∴∠BPE=∠APB+∠APE=90°，PE=

PC.∴∠EPC=90°.∴△PCE是等腰直角三角形.（2）当AE平分∠DAP时，请在备用图中作出折痕AP（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出m的值.先大致画出图形再进行分析：易知AE平分∠DAP，AP平分∠BAE，易得∠BAE

=

60°.由于AE

=

AB，可得△ABE为等边三角形.问题转化为求作以AB为边的等边三角形.

研究有关轴对称问题的基本思路：1.关注“全等”——明确对应线段、对应角之间的相等关系；2.关注“对称轴”——基于“垂直平分线”与“角平分线”挖掘隐含信息；3.关注“原图形”——将所得结论与原图形的性质相结合展开充分联想.能够完全重合.随堂笔记课堂巩固提升举一返三1.（原创）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于直线y=5的对称点A'的坐标为

，关于直线x=-1的对称点A″的坐标为

.（2，7）（-4，3）2.

亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题：已知某矩形长为8，宽为6，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图，并直接写出菱形的面积.（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能且仅能用已知数据求出面积的图形）素养提升—动手实践首先画出能想到的图形，然后联想怎样折叠可以得到该图形.已知某矩形长为8，宽为6，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图，并直接写出菱形的面积.

解：作不同折法的菱形的示意图如图（作出两种即可）：图1的菱形面积为24；图2的菱形面积为36；图3的菱形面积为37.5．3.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，BC=6，点E为BC边的中点，△ABE沿着AE向右折叠，点B落在B'处，展开铺平，连接CB'并延长交AD于点F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形.解：（1）证明：如答图，连接BB'交AE于点O，由折叠可知：AE垂直平分BB'，∴O是BB'的中点．∵点E为BC边的中点，∴OE是△BCB'的中位线.∴OE∥B'C.∴AE∥CF.在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴AF∥CE.∴四边形AECF是平行四边形.（2）当AB'⊥CD时，AE的长为

．如图析，过点E作EG⊥AB于G.△AGE是等腰直角三角形，△BGE是含有30°的直角三角形，利用三角函数求解即可.第20节图形的旋转1中考课标导航2必备知识梳理3中考考点精讲4课堂巩固提升课标考点考情通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.运用图形的旋转进行图案设计探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质1.轴对称与中心对称图形的识别5年2考2.旋转作图___3.旋转的性质及应用5年3考中考课标导航有的放矢本节复习目标

1.理解中心对称图形和成中心对称的概念，能在具体情境中识别中心对称图形2.能用旋转的概念或基本性质进行简单的图形判断、识别、作图、推理、计算等3.能在复杂任务情境中识别图形的旋转变换，并能进行简单的计算和证明续表定点

某个方向一、图形旋转的概念及性质1.概念：在平面内，将一个图形绕一个

按

转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小.2.要素:（1）旋转的图形；（2）旋转中心；（3）旋转方向和旋转角.3.性质:（1）对应线段相等，对应角相等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角.必备知识梳理深根固柢类型作图步骤图例已知原图与旋转中心作旋转后的图形1.根据题意找出关键点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角2.连接关键点和旋转中心，按照旋转方向和旋转角将关键点旋转3.按照原图，依次连接各关键点的对应点如图，已知点A'的位置，将△ABC绕点O旋转一定的角度得到△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'二、图形的旋转与尺规作图类型作图步骤图例已知旋转前后图形确定旋转中心任意两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上如图，已知△ABC绕一点旋转一定的角度得到△A′B′C′，AA'的中垂线与CC'的中垂线交点O即为旋转中心续表三、中心对称项目中心对称图形成中心对称图形概念把一个图形绕某一个点旋转_______，如果旋转后的图形能够与原来的图形_______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心把一个图形绕着某一点旋转_______

，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心180°

180°

重合

项目中心对称图形成中心对称区别（1）一个图形（2）某个图形具有的特殊性质（1）两个图形（2）两个图形具有的一种特定位置关系性质（1）在中心对称图形或两个成中心对称的图形中，对应点所连

线段都经过对称中心，且被对称中心平分（2）成中心对称的两个图形是全等图形续表考点一

轴对称与中心对称图形的识别2022/第2题

2021/第2题1.（2022山西第2题）2022年4月16日，“神舟十三号”载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园.六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度.观察下列航天图标，其图案是中心对称图形的是（

）

B中考考点精讲深入浅出2.

下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）

C3.（2017山西第13题）如图，已知△ABC

三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（-1，1），C（-2，2）.将△ABC

向右平移4个单位，得到△A′B′C′，点

A，B，C

的对应点分别为A′，B′，C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′，B′，C′的对应点分别为A″，B″，C″，则点A″的坐标为_______.（6，0）考点二

旋转作图4.如图，已知△ABC的边BC在直线MN上，若将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使点C落在直线MN上的C′处，得到△AB′C′.（1）请用尺规作出△AB′C′，并标明字母.（保留作图痕迹，不写

作法）解：（1）尺规作图如答图所示.（方法不唯一，正确即可）（2）若∠ACB=118°，则∠BC'B'

=

°.解：（2）56考点三

旋转的性质及应用

2022/第2题

2021/第2题2018/第8题

5.（2018山西第8题）如图，在Rt△ABC

中，∠ACB

=

90°，∠A

=

60°，AC

=

6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点

A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（

）

D6.（原创）

已知，正方形

ABCD

中，点O是线段BC上的一个动点，将正方形ABCD

绕点O

顺时针旋转得到正方形

A'B'C'D'（点

A，B，C，D

的对应点分别是

A'，B'，C'，D'）.设旋转角为0°<

α

<180°.问题情境一：点

O

是BC

中点.（1）如图1，在正方形

ABCD

绕点O旋转过程中，连接BB'，B'C，CC'，C'B.判断四边形BB'CC的形状，并说明理由.解：（1）四边形BB'CC'的形状是矩形.理由如下：∵正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A'B'C'D'，∴BC

=

B'C'.∵点O是BC的中点，∴OB=

OB'

=

OC

=

OC'.∴四边形BB'CC'是平行四边形.又∵BC

=B'C'，∴四边形BB'CC'是矩形.（2）如图2，连接BD，当点B'落在正方形ABCD的对角线BD上时，旋转角α=

°；此时，四边形

BB'CC'的形状是

.（3）如图3，在正方形ABCD绕点O旋转过程中，连接AA'，BB'，DD'，则线段AA'，BB'的数量关系是

.线段AA'，DD'的数量关系是

.解：（2）90正方形（3）AA'=

BB'

AA'

=

DD'连接OA，OA'，证明△OBB'∽△OAA'，连接OD，OD'，证明△OAA'

∽△ODD'问题情境二：BO=

2CO，解：（4）（5）如图5，当线段A'D'经过点D时，猜想线段OC'与DD'满足的数量关系，并说明理由.图形旋转的过程中，对应点到旋转中心的距离相等.可以先尝试连接OD，OD′，再作OH⊥DD′，即可转化为求DD'与D'H的关系（5）如图5，当线段A'D'经过点D时，猜想线段OC'与DD'满足的数量关系，并说明理由.解：（5）如答图1，连接OD，OD'，作OH⊥DD'于点H，则∠OHD

=90°.∵正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A'B'C'D'，∴OD

=

OD'，∠A'D'C'

=∠D'C'B'

=90°.∴∠A'D'C'

=∠D'C'B'=∠OHD

=90°.

∴四边形OHD'C'是矩形.∴OC'

=

HD'.∵OD=OD'，OH⊥DD'于点H，∴DD'=2HD，即DD'

=2OC′.

随堂笔记课堂巩固提升举一反三1.（2022适应性）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C的坐标分别为（2，0），（0，-4），将矩形ABCO绕点B顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为A'，C'，O'.当点O'落在x轴的正半轴上时，点O'的坐标为

.

（4，0）2.（2022百校公益）综合与实践问题情境：有两块全等的矩形纸片ABCD和EFGH，其中AB

>

BC，AB

=

EF，AD=

EH，现将它们按如图1所示的方式放置，顶点A与顶点F重合，点D，G分别落在EF，AB上，CD与HG相交于点P，连接AP，HC.特例感知：（1）①判断图1中四边形DAGP的形状，并说明理由.解：（1）①四边形DAGP是正方形.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDA

=∠DAG

=90°.∵四边形EFGH是矩形，点A与点F重合，点G在AB上，∴∠AGP

=90°，EH

=

AG.∴四边形DAGP是矩形.∵AD=

EH，∴AD

=

AG.∴四边形DAGP是正方形.特例感知：（1）②直接写出AP与HC的位置关系.解：（1）②AP⊥HC.深入探究：（2）如图2，将矩形EFGH绕点A逆时针旋转α（0°<

α

<

90°），则（1）②中AP与HC的位置关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.解：（2）成立.证明：如答图，延长AP交HC于点Q.∵四边形ABCD是矩形，∴AD=

BC，AB

=

CD，∠ADC

=90°.

∵四边形EFGH是矩形，∴∠AGH

=90°，EH

=AG，EF

=

HG.∵AD

=

EH，AB

=

EF，∴AD

=

AG，CD

=

HG.在Rt△DAP和Rt△GAP中，AP

=

AP，AD

=AG，

∴Rt△DAP≌Rt△GAP（HL）.∴DP

=

GP，∠DPA

=∠GPA.∴DC-

DP

=GH-GP，即PC

=

PH.又∵∠HPQ

=∠GPA，∠CPQ=∠DPA，∴∠HPQ

=∠CPQ.∴PQ⊥HC，即AP⊥HC.解决问题：（3）如图3，若矩形ABCD的面积为30，当点P是CD的中点时，AP

=6，请直接写出此时CH的长.解：（3）CH

=5.第21节投影与视图1中考课标导航2必备知识梳理3中考考点精讲4课堂巩固提升课标考点考情通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用1.几何体的展开与折叠5年1考2.几何体的视图5年1考3.投影____中考课标导航有的放矢本节复习目标1.能识别中心投影与平行投影，能根据两种投影的概念解决简单的问题2.会画常见几何体的三视图，能根据视图识别出相应的几何体3.能进行几何体与其表面展开图之间的转化，会根据正方体表面展开图识别相对的面续表一、投影与视图必备知识梳理深根固柢概念图示结论平行投影1.由

光线形成的投影叫做平行投影（太阳光可以看成平行光线）

△ABE∽△CDF中心投影由

发出的光线形成的投影叫做中心投影

△HCD∽△HEF；

△GAB∽△GEF1.

投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.平行同一点（点光源）2.视图:画法位置大小线段俯视图在主视图的正下方左视图在主视图的正右方主视图与俯视图

.主视图与左视图

.

左视图和俯视图

.

看得见的部分轮廓线画成

.看不见的部分轮廓线画成

.

宽相等长对正高平齐实线虚线二、立体图形的展开与折叠1.一般几何体的表面展开图:2.正方体的表面展开图：注：相同数字所在的面代表相对面.考点一

几何体的展开与折叠2019/第3题1.（2019山西第3题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是（

）A.青B.春C.梦D.

想

B中考考点精讲深入浅出2.（2022太原二模）在庆祝中国共产主义青年团成立100周年期间，学校以共青团团歌为背景音乐，LED屏幕上滚动播放由一个立方体与其平面展开图相互转化形成的视频.这个立方体的六个面上分别有“青”“春”“正”“值”“韶”“华”，同学们能看到的一个展开图是（

）

DA3.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有路径最短的一圈金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（

）考点二

几何体的视图2020/第4题4.（2020山西第4题）下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（

）

B5.（2016山西第4题）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（

）A

6.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时期鲁国工匠鲁班所做，如图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，则六个构件中（3）的俯视图是（

）D

7.（2022鹤岗）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（

）

A.7

B.8

C.9

D.10B

8.如图是汾河公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（

）

A.（3）（4）（1）（2）

B.（4）（3）（1）（2）

C.（4）（3）（2）（1）

D.（2）（4）（3）（1）

考点三

投影C9.

小杰与小明身高相同，一天晚上，两人站在路灯下交流学习内容，小明恰好站在小杰头顶影子的位置.请在图中分别画出此时小杰、小明的影子.（用线段表示）解：如答图所示，AB是小杰的影子，BC是小明的影子.课堂巩固提升举一反三9.

如图，添线补全下列几何体的三种视图．解：如答图所示，即为所求.课堂巩固提升举一反三9.

如图，添线补全下列几何体的三种视图．解：如答图所示，即为所求.提分小专题十一轴对称与最值

1本节复习目标2名师一点通3典例精讲本节提分小专题复习目标

理解利用轴对称求线段最值的原理，掌握利用轴对称求线段最值常见类型题的辅助线添加方法，并能准确计算出线段的长度.名师一点通

提炼基本图形方法总结和最小（同侧转化为异侧，异侧取最小）

定点A，B分别在直线l异侧，在直线l上找一个点P，使PA+PB最小

定点A，B在直线l同侧，在直线l上找一个点P，使PA+PB最小续表方法总结和最小（同侧转化为异侧，异侧取最小）

在∠MON的内部有一定点P，在OM上找一点A，在ON上找一点B，使△PAB的周长最短在∠MON的内部有定点P和Q，在OM上找一点A，在ON上找一点B，使四边形ABQP的周长最短续表方法总结和最小（同侧转化为异侧，异侧取最小）

定点A在直线l1的上方，定点B在直线l2的下方，直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，过点C作CD⊥l2于点D，使AC+CD+BD最短续表方法总结方法总结一定点两直线（同侧转化到异侧）定点A与直线l上各点的连线中，垂线段AB的长度最短在∠MON的内部有一个定点A，在OM上找一点P，在ON上找一点B，使PA+PB最短2.利用垂线段最短可解决的最值问题，常见类型归纳如下：典例精讲

掌握通性通法

B2.(原创)在等边三角形ABC中，AB=4.（1）如图，E，D分别为AB，BC的中点，连接AD，F为线段AD上的一个动点，连接EF，BF，则EF+BF的最小值为

，|BF-EF|的最大值为

.（2）若将（1）中的条件“E为AB的中点”变为“E为AB上的动点”，则BF+EF的最小值为

.23.(原创)如图，在∠AOB的内部有一点P，∠AOB=45°，OP=2，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，则△PMN周长最小为

．4.如图，在平面直角坐标系中，有点A（1，3），B（2，1），在x轴和y轴上分别找Q，P两点，使得四边形ABQP的周长最小，最短周小为

．5.（2022自贡）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动.若EF=1，则GE+CF的最小值为

．6.（2022原创）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB在x轴上，点A与原点重合，C（8，4），E（0，-1）.直线AC上有一个动点P，连接PE，PB，当|PE-PB|最大时，点P的坐标为

.当PE+PB最小时，点P的坐标为

.点拨：如图析1，连接BE，BE的延长线与直线AC交于点P，此时|PE-PB|的值最大，最大值为EB的长.求点P的坐标可以转化为求直线BE与直线PC的交点坐标.如图析2，易得点D与点B关于直线OC对称，连接DE交直线OC于点P，此时PE+PB最小，且PE+PB=DE.求点P的坐标可以转化为求直线DE与直线OC的交点坐标.7.（原创）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2

+2x

+

3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，抛物线的对称轴直线l与抛物线交于点D．（1）直线AC的函数表达式为

，B，D两点的坐标分别为

.

y

=

3x

+3

（3，0），（1，4）（2）若点E是直线l上一点，当|AE-CE|最大时，点E的坐标为

.

（1，6）

点拨：（2）如图析1，直线AC与直线l的交点E即为要找的点，且点E与点D横坐标相同，将x=1代入y=3x+3得y=6，求得E（1，6）.（3）若点E是直线l上一点（点A，C，E不在同一条直线上），当△ACE的周长最小时，点E的坐标为

．（3）如图析2，已知点A，B关于直线l对称，连接BC交直线l于点E，则点E即为要找的点，求出直线BC的函数表达式为y=-x+3，将x=1代入得y=2，求得E（1，2）.（1，2）本节提分小专题复习目标1.体验图形折叠的过程，能够写出轴对称的性质：对应边相等，对应角相等；对应点所连的线段被对称轴垂直平分.2.经历图形折叠问题的研究过程，提炼基本图形，总结基本结论，掌握研究该类问题的通性通法，并能解决该类问题.类型一图形的折叠与计算

1名师一点通2典例精讲3提分训练名师一点通

提炼基本图形△CA'EAB+BC

7：24：2522.5°续表正方形续表等边三角形直角三角形△BEH续表图形基本图形提炼矩形在矩形ABCD中，AD>AB△BED是

.

四边形BEDF是

.△HEG是

.四边形EHFG是

.等腰三角形菱形菱形等腰三角形续表图形基本图形提炼矩形在矩形ABCD中，AD>AB在矩形ABCD中，AD>AB△ADE∽

.

△FGE∽

.△ABD'∽

.△ABG∽

.∽

.△OCE△DCD′△DCO△D′CE△OD′G典例精讲

掌握通性通法

（一）三角形中的折叠1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=35°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠FAE等于

．20°2.如图，直角三角形纸片ABC的两条直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是

.3.如图，在△ABC纸片中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF=4，CF=6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，连接AF.若DE∥BC，AF=EF，则四边形ADFE的面积为

．4.如图，折叠三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，折痕为DE.已知AB=AC，FD⊥BC.若AF=3，BF=6，则AE的长为

．55.如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为

.6.(原创)

如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，E为BC边上的动点，将△AEC沿AE折叠得到△AEC'，AC'交线段BC于点O.（1）当∠AEB=60°时，CE的长为

.（2）当C'E∥AB时，BE的长为

.3（2）点拨：方法一，由题易得∠C'EC

=90°，计算求得∠AEC=135°，从而得到∠AEB=45°.则△ABE是等腰直角三角形，可得BE=

AB=3.一题多解（2）当C'E∥AB时，BE的长为

.方法二，如图析1，连接CC'，过点C'作C'M⊥

AB交AB的延长线于点M.易得AC'=

AC，∠M

=

∠ABC=90°，易证∠AC'M=

∠CAB.通过证明△AMC'≌△CBA，求出AB=

C'M=

BE=3.即25=（7-

x）2

+

x2，解得x1=3，x2=4（舍）.3（2）当C'E∥AB时，BE的长为

.方法三，如图析1，设C'M

=

BE=x，则BM=4-x，AM=7-

x.由勾股定理得AC'2

=

AM2

+

MC′2，即25=（7-x）2

+

x2，解得x1

=3，x2=4（舍）3（3）当△OEC'为直角三角形时，BE的长为

.（3）当△OEC'为直角三角形时，BE的长为

.（二）四边形中的折叠7.（2015山西第16题）如图，将正方形纸片沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D'，点C落在C′处.若AB=6，AD'=2，则折痕MN的长为

.一题多解方法（一）构造“十”字模型第一步（构造直角三角形）过点N作NF⊥DA于点F

第二步（构造“十”字模型）连接DD'方法（二）相似模型第一步（构造直角三角形）过点N作NF⊥DA于点F

第二步（通过相似模型解题）8.（原创）已知四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=10.（1）如图1，若点F是DC边上的中点，将△ADF沿AF折叠，点D的对应点为D'，AD'的延长线交BC于点E，则BE的长为

.（2）如图2，若点F是DC上的动点，将△ADF沿AF折叠，点D的对应点为D'，AD'，FD'分别与连接BC相交于点G，O，当OC=OD'时，BG的长为

.（2）如图析2，易证Rt△COF≌Rt△D'OG，得OG=OF，CF=D'G，根据GO+OC=FO+OD′，即CG=D'F，那么CG=DF.设BG=x，则CG=10-x，DF=10-x，D'G=CF=x-4，AG=14-x，在Rt△ABG中，根据勾股定理列方程即可求解.9.(原创)如图，将菱形ABCD折叠，使点D落在边AB的中点E处，折痕为FG，连接DE交FG于点O.若∠B=60°，AB=4，（1）则GD的长为

，ED的长为

.（2）则△EFG的面积为

.图形沿运动的直线折叠的分析思路遵循以下要点：1.变中找定：找出所有折叠产生的等线段和等角，结合原图形性质写出尽可能多的结论.2.关注特殊：画出折到特定位置的图形，分析该位置尽可能多的新结论，结合所求问题求解.提分笔记提分训练

方法触类旁通1.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB=8cm，BC=10cm，点E为C上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为

cm．52.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交CF于点O，交AB于点E.若AE=5，则GE的长为

．3.（2022黄岩区模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A

=45°，点E是边BC上的动点，将△DCE沿DE翻折，若点C的对应点C'恰好落在AB的延长线上，则CE=

.4.（2022河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C

=

90°，BC=

6，AC=

8，点E是边AB的中点，点P为边AC上的一动点，连接EP，将△AEP沿EP折叠得到△A'EP.当A'E与△ABC的一条直角边垂直时，则线段AP的长为

．提分小专题十二

图形折叠的计算与证明类型二图形折叠的证明

针对中考22题精讲1典例精讲2提分训练1.（2019山西第22题·11分）综合与实践动手操作：第一步，如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平.再沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F在同一条直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5.图中的虚线为折痕.典例精讲

掌握通性通法

2019/第22题问题解决:（1）在图5中，∠BEC的度数是

，

的值是

.解：67.5°

（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由.分析

要证明四边形EMGF是矩形，要联想矩形的三种判定方法，根据正方形ABCD在图1—图3中是沿着角分线折叠，并且图中所有角都可计算出其大小.下面呈现两种较为简洁的思路.思路一：三个角是90°的四边形是矩形.如图析1.（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由.分析思路二：有一个角是90°的平行四边形是矩形.如图析2，连接PQ.（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由.解：（2）四边形EMGF是矩形.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B

=∠BCD=∠D

=90°.由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4，CM=CG，∠BEC

=∠NEC=∠NFC

=∠DFC，∴∠1=∠2=∠3=∠4==22.5°.∴∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°.由折叠可知：MH，GH分别垂直平分EC，FC，∴MC=ME，GC=

GF.∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°.∴∠MEF=∠GFE=90°.

∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°.又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°.∴四边形EMGF是矩形.（3）在不增加字母的条件下，请你以图5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形:

.（3）答案不唯一，画出正确图形（一个即可）.如答图2，菱形FGCH（如答图3，菱形EMCH）.证明四边形EMCH（HCGF）是菱形有多种方法，请试试看.

提分笔记课题学习：正方形折纸中的数学.动手操作:如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B'.提分训练

方法触类旁通数学思考:（1）求∠CB'F的度数.（2）如图2，在图1的基础上，连接AB'，试判断∠B'AE与∠GCB'的大小关系，并说明理由.由折痕EF你能得到什么结论？由折痕CG你能得到什么结论？联想之前所学的知识（2）如图2，在图1的基础上，连接AB'，试判断∠B'AE与∠GCB'的大小关系，并说明理由.解：（2）∠B'AE=∠GCB'.理由如下：如答图1，连接DB'，BB'，其中BB'交CG于点K，由对折可知，EF垂直平分AB.∴B'A=B'B.∴∠B'AE=∠B'BE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°.∴∠B'BE+∠KBC=90°.由折叠知，∠BKC=90°，∴∠KBC+∠GCB=90°.∴∠B'BE=∠GCB.又由折叠知，∠GCB=∠GCB'，∴∠B'AE=∠GCB'.解决问题：（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O.第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B'，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D'.第三步：设CG，AH分别与MN相交于点P，Q，连接B'P，PD'，D'Q，QB'，试判断四边形B'PD'Q的形状，并证明你的结论.变式探究：（4）如图4，若将题干中的正方形ABCD变为“矩形ABCD

，BC

＞AB”，其他