第二章-参数估计性质的证明

--一、参数预计?1与?2是Y的线性函数仅说明?2是Ｙ的线性函数,?1的状况近似能够获得。由?2的预计式,?(XiX)(YiY)xiyi(XiX)Yi(XiX)Y2(XiX)2(xi2)(XiX)2(XiX)Yi(XiX)(XX)X)2YikiYikii(XiX)2(Xi(XiX)2即?2由随机变量Y线性表出,从这一关系式还可理解到?2的随机性是由Y带来的。参数预计线性性质的重要性，是能够鉴于Y的统计散布成立参数预计?1和?2统计散布,这对利用?1和?2对真切参数1和2的统计推测带来了极大的方便。对于ki有以下一些性质，1、ki0。2、ki21X)2。(Xi3、kiXi1。4、ki(XiX)1。二、最小二乘预计?1与?2的无偏性质仅说明?2是2的无偏预计，?1的无偏性近似可证。由?2的对于Ｙ的线性表出式,?kiYiki(12Xiui)1ki2kiXikiui2kiui对?2求数学希望并考虑零均值假设(E(ui)0)E(?)E(2ku)2E(ku)2kE(u)22iiiiii所以----E(?2)2这就证了然?2拥有无偏性。同理有E(?1)1。三、最小二乘预计?1与?2的最小方差性质对于ＯLS预计式?1和?2，已知其方差为Var(?1)2Xi2Nx2iVar(?2)2xi2这里只证明Var(?2)最小，Var(?1)最小的证明能够近似得出。任设2的另一个线性无偏预计为2*,即*wYii2此中wiki,kixi2xiE(*)E(wY)2iiE[wi(12Xiui)]1wi2wiXi因为2*也是2的无偏预计，即E(2*)2,一定有wi0,wiXi1同时Var(2*)Var(wYii)wi2Var(Yi)2wi2［因为Var(Yi)2]2(wikiki)2----2(wiki)22ki222(wiki)ki2(wiki)22ki222(wkiiki2)上式最后一项中wikiki2wixixi2xi2(xi2)2wi(XiX)1xi2xi2wiXiXwi1xi2xi20（因为wi0,wiXi1)所以Var(*)2(wk)22[xi2]2ii(xi2)22ki)22(wixi22(wiki)2Var(?2)而20,因为wiki,则有(wiki)20，为此Var(2*)Var(?2)只有wiki时,Var(2*)Var(?2)，因为2*是随意设定的2的线性无偏预计式,这表示2的OLS预计式拥有最小方差性。一般地，将拥有最小方差性的无偏预计量,称为该预计量知足有效性。四、参数预计?1与?2的一致性n若样本容量n趋于无量时,有(XiX)2，则i1Plim?,Plim?1122----下边只证明?2拥有一致性,?1的一致性近似可证。由?2的线性性及ki的性质,可得?kiYi2ki(12Xiui)2kuii(1)22考虑基本假设2和假设3并注意ki的定义,同时有ki212(XiX)(2)所以E(?222)2E(kiui)22(ki2)2(3)(XiX)依据已知条件并考虑式(3）,有limE(?22)20n(4)再依据车贝雪夫不等式，对随意0P(|?22|)1E(?22)2(5)2所以,由式（4）limP(|?22|)0n这就证了然?2拥有一致性。一致性表示了，跟着样本容量的增大,一个好的预计?2应当愈来愈凑近其真切值2,使得误差?2大的概率愈来愈小。2五、2最小二乘预计?2的证明用离差形式表示模型时yiYiY(12Xiui)(12Xu)(uiu)2xi并且----??YiYyi(?1?1Xi)(?1?1X)?2xi所以eiyiy?i(uiu)(?22)xi则有e2[(uu)(?2)x]2ii2i(uu)2(?2)2x22(?2)(uu)xi2i2ii取ei2的希望E(ei2)E[(uiu)2]xi2E(?22)22E[(?22)(uiu)xi]式中(１)E[(uiu)2]E[ui2n(u)2]E(ui2)1E(ui)2n21E(u12u22un22u1u22un1un)n21E(u12u22un2)1nn22(n1)2n(2）x2E(?)22222xi2ix2i（3)2E[(?22)(uiu)xi]2E[xuii(xiuiuxi)]x2i----(xiui)22E[xi2]2E[