高等传热学部分答案

/54把边界条件y0,0代入(2-3-4)得到A=0,所以有TOC\o"1-5"\h\zXi(x)Bsh(x) (2-6)把边界条件yL,—L 0代入(2-3-5)得到D=0,所以有y丫(y)Ccos(y) (2-7)把边界条件yL,一I-hI0联立(2-3-7)得到ycot(L)—— (2-8)hL/设L,hL/Bi,则有cot() /Bi,这个方程有无穷多个解，即常数3有无穷多个值，即n(n1,2,3)，所以对应无穷多个 ，即n(n1,2,3)，所以有(2-9)(2-10)Y1(y)Cncos(ny)(2-9)(2-10)联立(2-3-6)可得I(x,y)Kncos(ny)sh(nx)n1把边界条件x把边界条件x2代入上式可得解得其中nnLI(x,y)2,2cos(n解得其中nnLI(x,y)2,2cos(ny)dy0KnSh(n)8S(nY)dy(2-11)Kn22sin(n)sh(n/L)[sin(n)cos(n)n](2-12)22sin(n)n1sh(n/L)[sin(n)cos(n)-cos(-y)sh(-x)n]LL(2-13)(3)求解温度场与解I一样用分离变量法，假设所求温度分布 (x,y)可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积(2-14)(x,y)X2(x)Y2(x)

(2-14)将该式子代入的导热微分方程中得到d>

dxd、dy2''X20,即XX2Y2Y此可得到两个常微分方程将该式子代入的导热微分方程中得到d>

dxd、dy2''X20,即XX2Y2Y此可得到两个常微分方程d2X2

dx2X2 0(2-15)d2Y2

dy22Y20(2-16)X2(x)Ach[( x)]Bsh[( x)]把边界条件x, 0代入上式，得到A=0,所以有X2(x)Bsh[( x)](2-17)(2-18)i(x,y)kncos(ny)sh[n( x)]n1(2-19)把边界条件x0, 1代入上式可得1cos(ny)dy0KnSh[n( x)]C0S2(口丫川丫(2-20)1X’ 21Sin(n(2-17)(2-18)i(x,y)kncos(ny)sh[n( x)]n1(2-19)把边界条件x0, 1代入上式可得1cos(ny)dy0KnSh[n( x)]C0S2(口丫川丫(2-20)1X’ 21Sin(n)Knsh(n/L)[sin(n)cos(n)n](2-21)(x,y) 21si"n) cosTy)sh[—(n1sh(n/L)[sin(n)COS(n)n]L^Lx)](2-22)(4)最终求得稳态温度场(x,y)i(x,y)(x,y)22Sin(n)n1Sh(n/L)[sin(n)cos(n)-cos(；y)sh(Lnx)21sin(n)n1sh(n/L)[sin(n)cos(n)—cos(-jny)sh[—(

n]L力IL'x)]2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热解：根据题意画出示意图如下：-H,P二

由护执源

大他恒定温度二、

0设有限长热源长度为H,单位长度热源发热量为ql,电源强度为qldz0(w),设地面温度维持恒定温度t0, tt0o(1)求解点热源dz0产生的温度场因此有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加,因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场,问题，其导热微分方程为：这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场,问题，其导热微分方程为：这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热(3-1)2y)

dr(3-1)解微分方程可得C2C1(3-2)把边界条件r0代入上式得到c2 0ci

r(3-3)在球坐标系点热源dzC2C1(3-2)把边界条件r0代入上式得到c2 0ci

r(3-3)在球坐标系点热源dzo单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量Q,即—4r2dr4Gqldzo(3-4)所以得到c1—q4dzo由此可得到球坐标系中点热源dzo产生的温度场为(3-5)*a1dz0(3-5)4r(2)分别求出两个线热源产生的温度场

线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有地下有限长线热源产生的温度场(3-6)H-q-1dzo(3-6)04r对称的虚拟热源产生的温度场为(3-7)(3-7)(3)虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场H_q041dzor0—4H4rH_q041dzor0—4H4rqiH4~~02 2(zz。)1 dz02(zz。)2(3-8)AnHz\(H z)2H z,(H z)22 2 2■.z z2 2 2z z第三章3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为1mm的圆球，具材料的密度为8900kg/m3,比热容为390J/(Kg?K),测温记录最高和最低温度分别为130c和124C,周期为20s。若已知气流与热电偶问的对流换热的表面传热系数为20W/(m2?K),试确定气流的真实温度变化范围。Bcos(w解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为Bcos(w(4-1)式中Barctan(wr)按题目要求w2T2式中Barctan(wr)按题目要求w2T220 10cvhA8900390110362028.925s,2h20w/(m2k),根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的温度变化的振幅如下式1301242(4-2)把W,1301242(4-2)把W,r的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅Af 27.4,所以真实气体温度变化的最大值、最小值为TOC\o"1-5"\h\z, 130124 °Ctmax 27.4154.4C (4-3)2x130124 0ctmin 27.499.6C (4-4)23-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度2t(r,)如日(/)场由式子4 4a确定。若线热源的加热不是连续的而是间歇的， 即从 。的时刻起，线热源进行周期性的间歇加热，周期为 T,其中加热的时段为T1,其余的T-T1时间不加热。试利用线性叠加原理确定介质中的温度响应。解：无限大介质连续恒定发热的线热源引起的温度场：t(r,)t2rEi()4a(5-1)uze.其中：Ei(z) —duu对于随时间变化的热流可以用一系列连续的矩形脉冲热流来近似如图所示:时刻的温度变化为:由叠加原理得到1 r2 1.—(qiiqiii)Ei[— ；],(qio4 4a(ii)0)(5-2)对于间歇性的脉冲，令CTi/T为运行份额，如果在整个运行期间的平均热负荷为 qi,则脉冲加热的强度为ql/C,具体见下图:由叠加原理得到：2tt 旦EJ——r-]no4 4a(nT)n。一 2工E r4Cno4a(nTTl即温度响应为Tl)(5-3)Ei4a(nT)TOC\o"1-5"\h\z2 2(5-4)4(tt) 1L r Lr(5-4)= 1 Ei ■二~Ei； 二7ql Cn0 4a(nTTl 4a(nT)第四章4-1、处在X>0的半无限大空间内的一固体，初始温度为溶解温度tm。当时间 0时，在x=0的边界上受到一个恒定的热流q0的作用。使用积分近似解得方法确定固液界面位置随时间变化的关系式。温度分布按二次多项式近似。解：设过余温度 ttm,边界条件为dTOC\o"1-5"\h\zx0 O,qo —— (6-1)dxxx() 0, 0 (6-2)热平衡方程为—LdX^),xX(), 0 (6-3)dxd其中L是潜热，a/L用二次多项式近似固相区中的温度分布，设(x,)A(xX)B(xX)2 (6-4)由边界条件（由边界条件（6-1）可知,dx0,——A2B(xX),则dxqo[A2B(xX)2](A2BX)(6-5)由边界条件（6-2）由边界条件（6-2）变形,[X(),]X 一 ，代入（6-3）式可得X将（6-4）代入上式得到(6-6)(6-7)—A22aB(6-7)L联立（6-5）和（6-7）两个式子，可解得La24aq02XLa24aq02X2LX(6-8)将（6-4）代入（6-3）得到[A2B(xX)](6-9)其中xX（）,所以有A,dXL——[A2B(xX)](6-9)其中xX（）,所以有A,dXL——，代入d的值即得2 ,a4aq0dX,X2LX(6-10)变形可得到2X2X24aq0a 4aq2X2X24aq0a 4aq。—dXaL4aq0*

XLXa) dX(6-11)积分可得到2aq0aX6aq0(a24aq2aq0aX6aq0(a24aqLX0)3/2(6-12)化简整理可得界面随时间的变化方程为(aX2aq0)22L22236a(aX2aq0)22L22236a2q2(a24aq0LX)3(6-13)第六章上板在6-4、常物性流体在两无限大平板之间作稳态层流运动，下板静止不动,外力作用下以恒定速度U运动，试推导连续性方程和动量方程。上板在解：按照题意可以写出故连续性方程为可以简化为因流体是常物性，不可压缩,X方向上：简化为Y方向上:可简化为v0,—yN—S方程为uuuvxyFxvvu——v—xy(7-1)(7-2)(7-3)Py(2u2x2u)yP2u02xy1p（一2v2v、 —22)yxy(7-4)(7-5)(7-6)Fy(7-7)第七章7-3、试证明：当Pr1时流体外掠平板层流动边界层换热的局部努塞尔数为Nux1/2 1/2RePr证明：适用于外掠平板的层流边界层的能量方程为tu——x2ty常壁温的边界条件为y0,ttwy,tt(8-1)(8-2)(8-3)引入一量纲温度，则上述能量方程变为ttw引入相似变量(8-4)y.；—，得到

.x(8-5)(8-6)(8-7)将上面的三个式子代入（8-4)可得到，1-Prf2(8-8)当Pr1当Pr1时,速度，即f1,f,由此可得速度边界层厚度远小于温度边界层厚度， 可近似认为温度边界层内速度为主流(8-9)(8-9)Pr‛(一)yf求解得到()erf(2)Pr1/2’(0)(Pr)1/2Nux_ _ _