剪力图和弯矩图

关于剪力图和弯矩图第1页，共55页，2023年，2月20日，星期三FS用截面法假想地在

横截面mm处把梁分为两段，先分析梁左段。xxmAmyCaPABmmx由平衡方程得可得FS=FAFS

称为

剪力第2页，共55页，2023年，2月20日，星期三可得M=FAx由平衡方程M内力偶M

称为

弯矩aPABmmxFSxxmAmyC第3页，共55页，2023年，2月20日，星期三MaPABmmxFSxxmAmyC梁在弯曲变形时，横截面上的内力有两个，即，结论剪力

FS弯矩

M第4页，共55页，2023年，2月20日，星期三FSM其剪力的指向和弯矩的转向则与取右段梁为研究对象所示相反。MFSxxmAmyC取右段梁为研究对象。BmmP第5页，共55页，2023年，2月20日，星期三dx+（1）剪力FS的符号2、FS

和M

的正负号的规定剪力

FS使

梁的微段发生“左上右下”的错动为

正。FSFS或使

考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正。第6页，共55页，2023年，2月20日，星期三dx-剪力

FS使

梁的微段发生“左下右上”的错动为负。FSFS或使

考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负。第7页，共55页，2023年，2月20日，星期三+横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为正。（2）弯矩符号（受拉）MM（受压）第8页，共55页，2023年，2月20日，星期三横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉，下边受压时为负。-（受压）MM（受拉）第9页，共55页，2023年，2月20日，星期三①梁的不同截面上的内力是不同的，即剪力和弯矩是随截面的位置而变化。②为了便于形象的看到内力的变化规律，通常是将剪力和弯矩沿梁长的变化情况用图形来表示—剪力图和弯矩图。③剪力图和弯矩图都是函数图形，其横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示相应的剪力和弯矩。④剪力图和弯矩图的画法是：先列出剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，再由函数式画出函数图形。二、列剪力方程和弯矩方程，画剪力图和弯矩图第10页，共55页，2023年，2月20日，星期三弯矩:正值弯矩画在x

轴的下侧；负值弯矩画在x轴上侧。

剪力

:正值剪力画在x

轴上侧，负值剪力画在x轴下侧。剪力图和弯矩图

即

Fs=Fs(x)

M=M（x）**剪力方程和弯矩方程：以梁的左端点为坐标原点，x

轴与梁的轴线重合,找出横截面上剪力和弯矩与横截面位置的关系,这种关系称为剪力方程和弯矩方程。第11页，共55页，2023年，2月20日，星期三

绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁

的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。xM(x)M图的坐标系oxFs(x)Fs

图的坐标系o不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起

正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。第12页，共55页，2023年，2月20日，星期三解：求得两个支反力例题：图示简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。ABlqFBFA第13页，共55页，2023年，2月20日，星期三取距左端为x

的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程。ABlqFBFAx第14页，共55页，2023年，2月20日，星期三剪力图为一倾斜直线。绘出剪力图。x=0处，x=l

处，+ABlqFBFAx_第15页，共55页，2023年，2月20日，星期三弯矩图为一条二次抛物线。ABlqFBFAx第16页，共55页，2023年，2月20日，星期三绘出弯矩图+ABlqFBFAx第17页，共55页，2023年，2月20日，星期三梁跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上，FS=0两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大ABlqFBFAx++第18页，共55页，2023年，2月20日，星期三解：求梁的支反力例题

:图示的简支梁在

C点处受集中荷载P作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。lPABCab第19页，共55页，2023年，2月20日，星期三因为AC

段和CB

段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程。lPABCab第20页，共55页，2023年，2月20日，星期三lPABCabx

AC段：第21页，共55页，2023年，2月20日，星期三lPABCabxxCB段：第22页，共55页，2023年，2月20日，星期三lPABCabx1x2Pb/lPa/l+-第23页，共55页，2023年，2月20日，星期三lPABCabx1x2+Pab/l第24页，共55页，2023年，2月20日，星期三lPABCabx1x2+Pab/lPb/lPa/l+-在集中荷载作用处的左、右两侧截面上

剪力值（图）有突变。突变值等于集中荷载P。弯矩图形成尖角，该处弯矩值最大。第25页，共55页，2023年，2月20日，星期三例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图和弯矩图。xl解:将梁在任意x处用横截面截开,取左段为研究对象qxqMFS横截面上有剪力和弯矩,假设均为正值第26页，共55页，2023年，2月20日，星期三xlqxqMFS根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。第27页，共55页，2023年，2月20日，星期三xlq剪力图为一斜直线FSx-ql弯矩图为二次抛物线-ql2/2l/2ql2/8xM第28页，共55页，2023年，2月20日，星期三xlqFSx-ql-ql2/2l/2ql2/8xM第29页，共55页，2023年，2月20日，星期三横截面上的剪力

在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上所有竖向外力（包括斜向外力的竖向分力）的代数和。外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。求剪力和弯矩的简便方法剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动趋势时的剪力为正；反之为负。◆第30页，共55页，2023年，2月20日，星期三

横截面上的弯矩在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上的外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和。外力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（下半部受拉，上半部受压）时，横截面上的弯矩为正；反之凹向下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。◆第31页，共55页，2023年，2月20日，星期三利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的，此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的外力已知，任一截面上的内力均可根据梁上的外力逐项写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法。熟练掌握简便法第32页，共55页，2023年，2月20日，星期三

按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性范围内满足虎克定律。三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；

2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；

3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。第33页，共55页，2023年，2月20日，星期三[例]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。qFABFq=+AABB=MxM1x

+M2x第34页，共55页，2023年，2月20日，星期三[例]

作下列图示梁的内力图。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x–0.5F0.5F0.5F–+–F第35页，共55页，2023年，2月20日，星期三F0.5FFLL0.5FFLLL0.5F0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLxM10.5FLxMFL第36页，共55页，2023年，2月20日，星期三[例]

绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+M1x=+2Fax2FaM2xMFa第37页，共55页，2023年，2月20日，星期三快速绘制剪力图和弯矩图第38页，共55页，2023年，2月20日，星期三例题:试作简支梁的剪力图和弯矩图.0.4mABC2KN.m10KN//m0.2m解:求支座反力第39页，共55页，2023年，2月20日，星期三0.4mABC2KN.m10KN//m0.2m分段列剪力方程和弯矩方程xAC段:第40页，共55页，2023年，2月20日，星期三0.4mABC2KN.m10KN//m0.2mxCB段:x第41页，共55页，2023年，2月20日，星期三0.4mABC2KN.m10KN//m0.2mxx-62剪力图第42页，共55页，2023年，2月20日，星期三0.4mABC2KN.m10KN//m0.2mxx弯矩图AC段为斜直线,CB段为二次抛物线.CB段取三个截面的弯矩值+-1.60.40.4m1.0第43页，共55页，2023年，2月20日，星期三0.4mABC2KN.m10KN//m0.2m+-1.60.4-62最大剪力位于B支座稍左横截面上.最大弯矩位于集中力偶作用处稍右横截面上.第44页，共55页，2023年，2月20日，星期三0.4mABC2KN.m10KN//m0.2m+-1.60.4-62集中力偶作用处弯矩值发生突变,突变值等于集中力偶之矩.第45页，共55页，2023年，2月20日，星期三第46页，共55页，2023年，2月20日，星期三第47页，共55页，2023年，2月20日，星期三作剪力弯矩图的简便法DABCFAFB第48页，共55页，2023年，2月20日，星期三外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。解：1、求支反力2、判断各段V、M图形状：DABC3(kN)4.23.8Ex=3.1m(kN·m)3.81.4132.2FAFBCA和DB段：q=0，V图为水平线，

M图为斜直线。AD段：q<0，V

图为向下斜直线，M图为下凸抛物线。第