备战2023年重庆数学中考二轮复习知识点02特殊四边形中的线段长、面积等问题（解析版）

精练2--特殊四边形中的线段长、面积等问题

1.菱形ABCD如图所示，对角线AC、BD相交于点0,若BD=6,菱形ABCD面积等于

24,且点E为AD的中点，则线段0E的长为（）

【解答】解：•••四边形A8C。是菱形,

：.AC±BD,AO=CO,8O=DO=3,

;BD=6,菱形A8CD面积等于24,

,,24=6><AC(

2

；.AC=8,

：.AO=4,

A£>=>\/AO2+DO2=V16+9—5,

"/点E为AD的中点，AC±BD,

:.OE=1AD=^-,

22

故选：B.

2.如图，在正方形ABC。中，E,F分别为边A8与AO上一点，连接CE,BF,交点为G,

且CELB尸，连接。G,若DG=CD,则tan/OGP的值为（)

C.近D.2

4233

【解答】解：如图，连接OG,作。LLCE于点H,交8c于点，•.•CELBF,

：.DL±CE,

J.DL//BF,

'：DG=CD,DHLCG,

:・CH=GH,/GDL=/CDL,

・,.ZDGF=ZGDL=/CDL,

・CL-CH-i

BLGH

：.CL=BL,

•.•四边形ABC。是正方形，

：.BC=CD,48=90°,

：.CL=1BC=^CD,

22

tanZDGF=tan/CDL=-A,

CD2

.♦.tan/OG尸的值为」，

2

故选:B.

3.如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF,

CF,并延长C尸交AD于点E.若/AFC=140°,则NOEC的度数为（）

B.75C.70°

【解答】解：：四边形ABCD是正方形，：.AB^CB,NABP=

45°,

在AAB尸和△C8F中,

'AB=CB

<NABF=NCBF，

BF=BF

.'.△AB尸丝ZXCB尸（SAS）；

，NAFB=NCFB,

又；/AFC=140°,

：.NCFB=70°,

VZDFC+ZCFB=180°,

AZDFC=180°-NCFB=110°,

；NDEF+NEDF=ZDFC,

：.ZDEC^^DFC-ZEDF=110°-45°=65°,

故选：D.

4.如图，在正方形ABC。中，点E在对角线B。上，连接AE,EFLAE于点E,交。C于

点F,连接AF,已知BC=4,DE=3近,则的面积为（）

【解答】解：过E作G”〃AO交AB于G,交DC于H,如图：

.../A8O=N8Z）C=45°,AB=CD=BC^4,

:ZGE、△£)〃£是等腰直角三角形，BD=®BC=4®,

:.EH=d2-DE=+L义3®=3,BE=BD-OE=4&-3&=&,

22

BG=GE=^-BE=1,

2

：.AG=AB-BG=3=EH,

^£=：VAG2-KJE2=V32+l2='

VAE±EF,

AZAEG=900-NFEH=NEFH,

又/AGE=/EHF=90°,

：./\AGE^/\EHF(44S),

：.AE=EF=yflQ,

ZXAE尸的面积为1日后尸=上XXJTU=5,

22

故选：B.

5.如图，等边△ABC边长为4愿，NA8C和NACB的角平分线相交于点O,将AOBC

绕点。逆时针旋转30°得到△OBiCi.B\C\交BC于点D,B\C\交AC于点E,则DE

【解答】解：如图所示.

&..•将△OBC绕点。逆时针旋转30°得到△081。,

；./l=N2=30°,

・・,点。是边长为4愿的等边△A8C的内心,

AZOBC=ZB\=Z3=30°,03=4,

AZ1=Z3,/2=NB\,

：.0C\//BC90B//C\D,

•・♦OB=OB\=OC=OC\,

・••四边形OBDG是菱形，

:・BD=OB=4,

・・・C0=4愿-4,

VZACB=60°，ZEDC=ZOBC=30°,

；・NDEC=90°,

EDV3

cosZ£DC=cos30°==

CD

.•.0£=返0)=亚(4A/3-4)

=6-2万

22

故选：B.

6.如图，在边长为4的正方形ABC。中，点E、点F分别是8C、AB上的点，连接力E、

DF、EF,满足NDEF=NDEC.若A尸=1,则E尸的长为（）

【解答】解：如图，在EF上截取EG=EC,连接。G,

:四边形ABCD是正方形，

'CE=GE

-ZDEC=ZDEG-

ED=ED

：./\DCE^/\DGE(SAS),

AZDG£=ZC=90°,DG=DC,

:乙4=/C=90°,AB=BC=4,

：.ZDGF=ZA=90°,DG=DA,

在RtADAF和RtADGF中，

[DF=DF,

1DA=DG'

/.RtADAF^RtAOGF(HL),

：.AF=GF=\,

■：EG=EC,

：.BE=BC-EC=4-EG,EF=EG+FG=EG+\,BF=AB-4F=4-1=3,

在中，根据勾股定理，得

BEr+BF1=EF1,：.(4-EG)2+32=(£G+1)2,

解得EG=2A,

/.£F=£G+FG=2.4+1=3.4.

的长为3.4.

故选：B.

7.如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC,连接CC,DC,若/

CC,D=90°,CD=2,则线段BC的长度为()

D.275

【解答】解：过点8作BELCC于点E,

A\D

BC四边形ABCD是正方形，

:.BC=CD,NBCD=90°,

：.ZBCE+ZCCD=90°,

VZBCE+ZCHE=90°,

：.ZCCD=ZCBE,

又,：NBEC=NCCD,

.♦.△BCE丝△COC(AAS),

：.CE=CD,

,将边BC绕点B逆时针旋转至BC,

：.BC=BC,

又；.CE=CE=CD=2,

：.CC=4,

:・CD=寸cb2c口2=V42+22=2收，

:.BC=2炳.

故选：D.

8.如图，在正方形A8C£＞中，BD=BE,CE//BD,BE交CD于■F点"则/。尸E的度数为

D.90°

【解答】解：把aBCE逆时针旋转90°得到△BAG,连接OG、AC.AG；如图所示:

则/3AG=NBCE,BG=BE,NGBE=90°,

•；四边形ABC。是正方形，

:.NBCD=90°,ZBAC=ZDAC=ZBDC=45°,AB=AD,

'：CE//BD,

：.ZDCE=ZBDC=45°,

：.ZBCE=9Q°+45°=135°,

，/BAG=135°,

.../BAG=135°,

：.ZBAG+ZBAC=}350+45°=180°,

...点C、A、G三点共线，

.../ZMG=180°-45°=135°,

NBAG=ZDAG,

在△BAG和△D4G中，

fAB=AD

<ZBAG=ZDAG，

AG=AG

/.△BAG^ADAG(SAS),：.BG=DG,

,:BD=BE,

:.BG=DG=BE,

即△BOG是等边三角形，

ZG«D=60°,

；.NDBE=90°-60°=30°,

：.NDFE=NDBE+NBDC=°+45°=75°.

故选：C.

C9.如图，点E在正方形48co的边C。上，将△AOE绕点4

顺时针旋转90°到△AB尸的位置，连接E凡过点A作E尸的垂线，垂足为点H,与BC

交于点G.若8G=3,CG=2,则CE的长为（）

BC.4D.9

-f2

【解答】解：如图所示，连接EG,

由旋转可得，ZVIOE丝AABF,

：.AE=AF,DE=BF,

又「AGLEF,

...H为E尸的中点，.二AG垂直平分EF,

：.EG=FG,

设CE=x,Ml]DE=5-x=BF,FG=S-x,

：.EG=S-x,

'：ZC-90°,

.•.RtZXCEG中，CE1+CG1=EG1,即7+22=(8-x)2,

解得x=Jl,

4

；.CE的长为工，

4

故选:B.

10.如图，在矩形ABC。中，对角线AC、8。相交于点O,OF垂直平分OC,交AC于点

E,交BC于点F,连接AF,若AD=3,则AF的长为（）

C.272D.3

【解答】解：：四边形ABCO是矩形,

：.BC=AD=3,OA=OB=OC=OD,

垂直平分OC,

：.OD=OC,

是等边三角形，

设C£>=x,贝ijAC=2x,

在Rtz^ACZ)中，由勾股定理得可知：AD2+CD2=AC2,即32+7=(2x)2,

解得x=禽，

/.CD=V3,AC=2A/3,

♦,AB=V^,

：△08是等边三角形，DFVOC,

AZCDE=yZCDO=30°，

设CF=y,则DF=2y,在RtACDF中，由勾股定理可知：CF2+CD2=DF2,即

y2+(V3)2=(2y)2>

解得y=1，

CF=1,BF=2,

222222,

在RtAABP中，由勾股定理可知：AB+BF=AFfHP)+2=AF

•••AF=V7，

故选：B.

11.如图，在RtZ\ABC中，AB=CB,BE±AC,把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B

与AC上的点尸重合，展开后，折痕AD交BE于点G,连接GF、BF,8尸交4。于0

点.下列结论：①tanNAZ)8=2；②若将△DGF沿GF折叠，则点。一定落在AC上；

③图中有7个等腰三角形；④若SMDO=1，则SAABC=6&+8；⑤S四边彩GDFE=SAAEG，

上述结论中正确的个数是()

B.3个C.4个D.5个

【解答】解：①由折叠可得BO=OP,而。C>QF,

：.DC>BD,

.•.tan/AOBW2,故①错误；

②；A8=C8,BELAC,把△ABC折叠，

；.NABE=NCBE=45°,NGBD=NGFD,

：.ZAFG=ZGFD=45°,

若将△QG尸沿GF折叠，则点。一定落在AC上，故②正确；

③；把aABC折叠，使落在AC上，点B与AC上的点F重合，

A^ABG^/\AFGF,A^BD^AAFD,AGBD^AGFD,△GBO%/XGFO,△DFO安

△080,

,：BEVAC,

；./AEB=NCEB=90°,

在RtAAEB和RtACEB中，1AB=BC,

lBE=BE

ARtAAOB^RtACOB(HL),

；./ABE=NCBE=45°,

VZBAC=ZC=45°,AB=AF,

：.ZABF=ZAFB=61.5°,

.../G8D=22.5°,

，/£)B0=22.5°,

：.ZGBO=ZDBO,

:.XGBO/ADBO(ASA),

：.BG=BD,

：.GF=DF,

ARtAGFO^ARtADFO(HL),

.♦.△800丝△尸GO,/XBOG^/XFOD,则全等三角形共有10对，故③错误；

④过G作于H,则△BHG是等腰直角三角形，

：△800丝△尸GO,ABOG妥AFOD,RtAGFO^ARtADFO,

：.BD=DF=FG=BG,

二四边形BOFG是菱形，

,**S&BDO=1，

...菱形8。尸G的面积=4,

BD*GH=HGH，GH=4,

•♦.G”=7^7T，BG=7啦,

VZ£FG=45°,ZGEF=90°,

EG=J2FG=^M1，

2

BE=BG+EG=\I4\/2+V272，

...S^BC=2AC・BE=BE2=(V4V2+V2V2)2=6亚+8,故④正确;

2

⑤连接CF,

,：AAEG和ACEG等底同高，

:&AEG=S&CEG，'：ZAFG=ZACD=45°,

：.EF//CD,

:,S&FGD=S&FGC，

•■S/边形DGEFS&CGE,

♦♦S四边彩DGEFS&4EG，

故⑤正确.

故选：B.

12.如图，在矩形ABC£>中，N4BZ)=60°,80=16,连接80,将

△BCD绕点。顺时针旋转〃。(0°<“<90°),得到△&CD,连接88',CC,

延长CC'交BB'于点N,连接AB',当NBAB'=/BNC时，则△ABB'的面积为

)

B•/

4

【解答】解：过点。作OEJ_AB',交B'A的延长线于点E,如图,

E/

在矩形ABCD中,

VZABD=60°,BD=16,

：.AD=BC=BD^sinZABD=16X近二8后

2

由旋转可知：DC=DCr,DB=DB',ZCDC'=ZBDB,,

•CD=BD,

,,UD=B，D'

：./\CDC'S^BDB'.

；.NDCC'=NDBB'.

：.ZBNC=ZCDB.

■:NCDB=NABD,NBNC=NBAB',NAB£>=60°,

J.ZBAB'=60°.

VZBAD=90°,

：.ZEAD=\S0°-ZBAB'-ZBAD=30°.

.•.£)£■=•^皿=4加，

AE=AD'cosZEAD=S-/3X〃=12.

2

'B1£=7B?D2-DE2=4，^3•

=B'E-AE=4A/73-12.

■:/BAB'=ZABD=60°,

：.AB'//BD.

.♦.△ABB'中A8'边上的高等于OE.

y

-SAABB/=fxABXDE

="lx(4^/13-12)X4-73

2

-8739-24M.

故选：C.

13.如图，在矩形ABC。中，E,F分别是边AB,CD上的点，AE=CF,连接EF,BF,

EF与对角线AC交于点O,且NBEF=2NBAC,FC=2,则AB的长为()

A.8aB.8C.473D.6

【解答】解：如图，连接BO,

；四边形A8C。是矩形，

J.DC//AB,NDCB=90°

：.ZFCO^ZEAO,

在△AOE和△COf1中，

，ZA0E=ZF0C

<ZFC0=ZEA0-

AE=CF

zMOE丝△COF,

：.OE=OF,O4=OC,

,:BF=BE,

：.BO±EF,NBOF=90°,

NFEB=2NCAB=NCAB+NAOE,

:.NEAO=NEOA,

：.EA=E0=0F=FC=2,

在RT/\BFO和RT/XBFC中，

[BF=BF,

IFO=FC'

：.RT/\BFO^RT/\BFC,

：.BO=BC,

在RTzMBC中，'：AO=OC,

：.BO=AO=OC=BC,

...△BOC是等边三角形，

AZBCO=60°,N&4C=30°,

AZFEB=2ZCAB=60°,,：BE=BF,

.•.△BEE是等边三角形，

：.EB=EF=4,：.AB=AE+EB=2+4=6.

故选：D.

AEB14.如图所示，正方形A8CQ中，A8=4,点E为中点，BF

LAE于点G,交CD边于点F,连接DG,则DG长为（）

0

BECA.区后B.4C.JAD.”后

555

【解答】解：如图，作。LLAE于点”，交A8于点3

"JBF1.AE,

J.DL//BF,

•；四边形ABC3是正方形，

J.AB//CD,AB=BC=CD,NABE=NC=90°,

C.BL//DF,

四边形BFZ比是平行四边形，

VZAGB=90°,

ZBAE=900-NABG=NCBF,

在△ABE和△8CF中，

，ZBAE=ZCBF

<AB=BC，

ZABE=ZC

.二△ABE丝△BCF(ASA),

：.BE=CF,

,/E为8c中点，r.BE=CF=LC=1CD,

22

：.DF=CF^1CD,

2

BL=DF=1CD^1AB,

22

：.AL=BL=^AB,

2

•AH-AL-1

GHBL

:・AH=GH,

・・・D4=A3=4,

：.DG=DA=4,

故选：B.

15.如图，点C在线段AB上，且AC=38C,分别以AC、

BC为边在线段48的同侧作正方形ACOE和正方形8C户G,连接EC、EG,则sin/CEG

=()

B.1：C.1：3

【解答】解：如图，连接CG,

在正方形ACDE、BCFG中,ZECA=ZGCB=45°,

AZECG=90°,

・・・AC=33C,

・,•设AC=3〃，BC=a,

:.CE=9CG=yf^a,

•*•£G=VCE2-HSG2=2^6/,

.，.sin/CEG=铝="a^/IQ.

EG2V5a10

故选:B.

16.如图，正方形ABC。的边长为2,P为CD的中点，连接AP,过点8作BEJ_AP于点E,

延长CE交4。于点F,过点C作C”_LBE于点G,交4B于点，，连接”F,则cos/CEP

的值为（）

【解答】解：连接EH.

cB

:四边形ABC。是正方形,

：.CD=AB=BC=AD=2,CD//AB,

：BE_LAP,CG1.BE,

J.CH//PA,

•.•尸为CO的中点，

:.AH=BH=1：.AH=PC=PD=1,

:.AH=BH=LCB,

2

在RtZSABE中，

,;AH=HB,

：.EH=HB,

:HCLBE,

：.BG=EG,

：.CB=CE=2,

"：CH=CH,CB=CE,HB=HE,

:.ACBH必CEH(SSS),

:"HCE=/HCB,

=22

BWVCB+BH=722+l2=A/5，

'：PA//CH,

ZCEP=NECH=ZBCH,

；.cosNCEP=cos/BCH=坨=2遥

CH5

故选：D.

17.正方形ABCD的边长为4,点E、F分别是BC,CD上的一动点，且BE=CF,连结

AE,BF,两线交于点P,连接CP,则CP的最小值是（)

2V5-2B.3V2-2c.2V2

D.V2+2

【解答】解：在正方形ABC。中，AB=BC,NABC=NBCD,

在△4BE和△BCF中，

'AB=BC

<NABC=NBCD，

BE=CF

:.△ABEW2BCF(SAS),

:2BAE=NCBF,：NCBF+/AB尸=90°,

NBAE+NAB尸=90°