安徽省合肥2022届高三下学期5月最后一卷文科数学试题（含答案与解析）

合肥一六八中学2022届高三最后一卷

数学（文科）

（时间：120分钟分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

l.若全集U=R,A={Mx<O},B={Nx>l},则（）

A.A^BB.8工电4C.D.B^A

2.设i是虚数单位，复数Z1=i2°22,复数Z2=£—,则Z-Z,在复平面上对应的点在（）

4+31

A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯等级从低到高分为：男、子、伯，侯、公，共五级.若要给有巨大

贡献的2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为（）

12八34

A.-B.-C.-D.一

5555

4.方程ln（log3X）=0的解是（）

A.1B.2C.eD.3

5.已知正四棱锥的底面边长为2,高为2&，若存在点。'到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于

d,则d=（）

A.1B.BC.—D.—

222

6.已知函数/（x）=Asin（ox+A>0,6y>0,|^|<|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是

()

A.该图象对应函数解析式为/(x)=2sin2x+菅

B.函数y=/(x)的图象关于直线尤=—对称

12

C.函数y=/(x)的图象关于点L，o]对称

2771

D.函数y=/(x)在区间--】,一"上单调递减

5o

7.若/W为奇函数，且/是y=/(x)-2e*的一个零点，则一演)一定是下列哪个函数的零点()

A.y-/(-x)e-x-2B.y-/(x)eA+2C.y-/(x)ev—2D.y-f(-x)ex+2

8.已知数列｛«,｝的各项互异，且%>0,—!——L=2(〃eN*),则-----忙刍---------=()

4+14a,a2+a2ai+---+an_lan

A.—B.—C.2D.4

42

9.在平面直角坐标系X。)，中，圆C与圆0:/+)?2=1外切，且与直线x-Gy+4=0相切，则圆C的

面积的最小值为()

71_71

A.iB.71C.—D.27r

49

22

10.已知双曲线T：「—q=l(a>0力>0)的左右焦点分别为£,工，过耳的直线与双曲线的左右两支分

a~h~

别交于A，B两点,AB+3AFi=0,BF\-fiA=0)则双曲线的离心率为()

A.72B.C.V3+1D.

53

11.已知函数〃x)为定义在A上的增函数，且对VxeR,/(x)+/(—x)=l,若不等式

/(办)+/(—lnx)»l对Vxe(0,+co)恒成立，则实数a的取值范围是()

(11「1、

A.(0,e]B.(-oo,e]C,0,—D.—,十e

12.已知球。是正三棱锥A-58(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球,

BC=6,AB=4j5,点E在线段6。上，且BO=3BE.过点E作球。的截面，则所得截面面积的最小

值是（）

A.37rB.4TTC.84D.9兀

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

x+2y—520

13.若x,y满足约束条件<x—2y+320,则z=x+2y的最大值为.

x-5<0

14.已知向量向量7=（i,、Q）,且|J551=,则向量万,5的夹角为.

15.若直线、=依+机是曲线y=ln（x—l）的切线，也是曲线^=6-3的切线，则％=.

16.设数列｛%｝的前〃项和为S,,已知a2=2,an+2+（一1广%,=2,则S60=.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（-）必考题：共60分.

17.一场马拉松，不仅是一次身体的长途跋涉，更是对城市文化的寻找与认同.在某市举行的马拉松“半马

精英赛”的赛事中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：

801235666689

9023455579

1000567

（1）已知选手甲成绩为85分钟，若从成绩不超过85分钟的选手中随机抽取3人接受电视台采访，求甲

被选中的概率;

（2）若从总体中选取一个样本，使得该样本的平均水平与总体相同，且样本的方差不大于7,则称选取的

样本具有集中代表性，试从总体（25名参赛选手的成绩）选取一个具有集中代表性且样本容量为5的样

本，并求该样本的方差.

18.如图，在四棱锥P—45C。中，底面ABCO是边长为1的正方形，底面ABCD,PA^AB.

C

(1)证明：平面PB£>J_平面PAC；

(2)点M在平面尸8£>内，直线AM_1_平面P8£)，求四棱锥M-A3CD的体积.

3

19.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c若sinA=g,A=23,角C为钝角，6=5.

(1)求sin(A-B)的值；

(2)求边c的长.

20.已知函数—以]]nx,g(x)=3x2-2ax.

U)4

(1)若。=1,求曲线y=/(x)在点(1"(1))处的切线方程；

(2)若当时，/(x)Ng(x)恒成立，求”的取值范围.

21.已知椭圆C：1+[=13>力>0),右焦点为尸(J5,0),且离心率为旦.

(1)求椭圆C标准方程;

,,4

(2)设M,N是椭圆C上不同的两点，且直线MN与圆O：炉+,2=§相切，若T为弦MN的中

点，求|O7],|MN|的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题

计分.

Y—34-/COSCL

22.在平面直角坐标系xOy中.直线'G为参数，a为/的倾斜角.&40,乃))以坐标原

y=7+，sma

点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C:夕=5,直线/与圆C交于M.N两点.

(1)若直线/的斜率攵=2,求弦的中点。的直角坐标与弦长|MN|的值；

(2)若点尸(3,7).证明：对任意。，有为定值.并求出这个定值.

23.设不等式,+[+N一1|42的解集为〃.

(I)求集合M；

(I)若xGM>|_y|<—,|z|<—,求证：+2_y—3z|<—.

693

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

L若全集U=R,A={Mx<O},B={Xx>l}，则（）

A.AcBB.8=C.①A=8D.B^A

【答案】B

【解析】

【分析】根据子集的定义，结合补集的定义逐一判断即可.

详解】•.•全集U=R,A={Xx<0},3={x|x>l},故A错误；

/.腕={x|X..0},={x|X41},故8=6A,

故选：B.

2.设i是虚数单位，复数Z,=i2022,复数Z2=,则Z,-Z,在复平面上对应的点在（）

4+31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据虚数单位的性质和复数的运算公式求出4/2的代数形式，由此确定

.2（P2155(4-3i)_43.43

【详解】z=「-=Tz『心22=-—+-

4-(3i)5515

所以Z「Z2在复平面内对应的点的坐标为该点在第二象限，

故选：B.

3.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯，侯、公，共五级.若要给有巨大

贡献的2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为（）

I2八3c4

A.-B.—C.-D.一

5555

【答案】A

【解析】

分析】

根据古典概型的概率公式计算即可.

【详解】由题知，基本事件的总数有5x5=25种情形，

两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、候、公，共5种情形，

故所求事件的概率为w=J.

255

故选：A.

【点睛】本题考查数学史及古典概型的概率计算，属于较易题.

4.方程ln(log3X)=0的解是()

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.

【详解】•.,ln(log3X)=0,.,.log3X=e°=l,，x=3.

故选：D.

5.已知正四棱锥的底面边长为2,高为2正，若存在点。到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于

"，则d=()

B6

A.1D.1

222

【答案】c

【解析】

【分析】根据题意画出图形，则可得sina=jOE=-1，再由sinaO'F结合已知可求得答案

SE3SO'

【详解】如图，正四棱锥S—。为底面中心，则SO_L平面ABCO,

设E为BC的中点，连接。E,SE,令/OSE=a,

0E

则由题意可得=

3'

且sina=M==g,解得d=4

25J/2-cl32

故选：c.

6.已知函数/(x)=Asin(公¥的部分图象如图所示，则下列说法正确的是

A.该图象对应的函数解析式为/(x)=2sin12x+?

B.函数y=/(x)的图象关于直线x=257上r对称

12

C.函数y=/(x)的图象关于点对称

「2冗71

D.函数y=/(x)在区间-丁，一丁上单调递减

【答案】C

【解析】

【分析】先依据图像求得函数的解析式，结合正弦函数的性质判断各选项的对错.

T7T7T

【详解】由图象可知A=2,—=不—一，即丁=乃，又。＞0,

4312

所以“亨=2,

又/(5)=2，可得2sin(2x^1+e)=2,7171

又因为1刎＜5所以

所以/(x)=2sin(2x+|J,故A错误；

,5万,•A-乃、.(57r乃、.7乃1,

当x=时，sinI2x+yI=sinI2x不~+yI=sin=-5.故B错误；

5,2x+yj=sin2^=0,故C正确;

当rx=一"时，sin

6

当xe-4,-J时，则+[-),0],函数/(x)不单调递减.故D错误.

_36」3

故选：C

7.若/(x)为奇函数，且/是丁=/(x)-2e'的一个零点，则一玉,一定是下列哪个函数的零点()

A.y=f{-x)eTx-2B.y=/(x)e'+2C.y=/(x)e'-2D.y=/(-x)er+2

【答案】B

【解析】

【分析】根据/(x)是奇函数可得=因为％是y=/(x)—2e'的一个零点，代入得

/(Xo)=2e%,利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断可得答案.

【详解】/(力是奇函数，.•./(—力=—/(力且x。是y=/(x)—2e'的一个零点，

所以y(xo)=2e*,把一%分别代入下面四个选项，

对于A,7(xo)e&-2=2(e%]—2,不一定为0,故A错误；

对于B,+2=-/(尤0卜-厢+i=_2.e&-e』+2=0，所以一x()是函数y=/(x)e*+2的零

点，故B正确；

对于C,/(-^)6^-2=-2£°-2=-4,故C不正确；

对于D,e-%/(7,)+2=2e*e'+2=4,故D不正确；

故选：B.

8.己知数列{%}的各项互异，且。“>0，」——、=2(〃eN*),则-------仁4--------=()

%+i4'a^+a^+---+a^a,,

A.-B.—C.2D.4

42

【答案】C

【解析】

a}a,

【分析】由题意得-——l=2可得an_,an="-~'，代入化简可得答案.

【详解】由题意，得[----'=2,则4_1—4=2a,i%6»2,〃eN*),

an+\an

即%%

4一%=______________________________=2.一―%=2

aa

所以卅2+。2生+，-+0"-1凡<3,-0212-3!1%—a.at-an-

222

故选：C.

9.在平面直角坐标系x。)，中，圆C与圆0:一+丁=1外切，且与直线x-百y+4=0相切，则圆C的

面积的最小值为()

n„n

A.—B.兀C.—D.2兀

49

【答案】A

【解析】

【分析】由圆与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，确定圆的半径的最小值，由此可求圆C的面积的最

小值.

【详解】由题可知，(0,0)到直线x—JJy+4=0的距离为市)2=2,又因为圆C与圆。外切，

所以圆C的直径的最小值为2—1=1,

所以圆C的面积的最小值为万

⑴4

故选：A.

X2V2

10.已知双曲线T:=1(〃>0力>0)的左右焦点分别为片，心，过片的直线与双曲线的左右两支分

ab

别交于A,B两点,而+3/i=0，吩i・旃2=0，则双曲线的离心率为()

A.72B.叵C.y/3+1D.返

53

【答案】D

【解析】

【分析】依题意设闺A|=f,|A5|=3f,根据双曲线的定义及勾股定理计算可得；

【详解】解：设国A|=l,|AB|=3t,则有忸闾=4r-2a,=r+2a,

在RIAAB鸟中，|AB『+忸K『=|Ag「，即Q+2a)2=9/+(4f—2a)2,解得f=",

又在RtA66K中，忸£「+忸用「=忻玛

故选：D.

11.已知函数/(x)为定义在A上的增函数，且对VxeH,/(x)+/(—x)=l,若不等式

/(公)+/(—lnx)21对Vxe(0,+co)恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(0,e]B.(―co,e]C,(o,一1

D.一，+8

e

【答案】D

【解析】

【分析】由题意将不等式转化为于(ax)>/(Inx)对Vxe(0,饮)恒成立，再由其在R上的增函数，可得

。2叱，构造函数8*)=史土,X6(0,+(功，然后利用导数求出其最大值即可

XX

【详解】；VxwR,/(X)+f(-x)=1,/(-Inx)=1-/(Inx),

:不等式/(以)+/(-lnx)>lXtVxe(0,+oo)恒成立,

；.f(ax)>/(Inx)对Vxe。+刃)恒成立，

InX

•.•函数f(x)为定义在R上的增函数，•••orNlnx,化为：a>—,

x

A,、Inx小、…，，、1-lnx

令g(x)=——,xe(0,+oo),则g(x)=——)

XX

xe((),e)时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增；x«e,+8)时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递

减.

••.%=e时，函数g(x)取得极大值

gOOmax=g(e)='-

e

1

••Cl—.

e

-1A

则实数a的取值范围是一,+e.

[eJ

故选：D.

12.已知球。是正三棱锥A-3C0(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，

BC=6,AB=g点E在线段3。上，且8£>=3BE.过点E作球。的截面，则所得截面面积的最小

值是()

A.3万B.4乃C.8%D.9万

【答案】C

【解析】

【分析】如图，。1是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出

0\E=\,当截面垂直于0E时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.

【详解】如图，。]是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圆半径4=>一X'=2G，

sin6002

由勾股定理得棱锥的高AQ=7(4A/3)2-(2V3)2=6，

设球。的半径为R,则R?=(6—R>+(2G)2,解得H=4,所以OQ=2,

在中，由余弦定理得0£：2=4+12-2x2x26x3=4，所以。七=2,所以在AOE。中，

2

0E=2O,

当截面垂直于0E时，截面面积最小，此时半径为J/??_。七2=20,截面面积为8〃.

故选：C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

x+2y-5>0

13.若x,y满足约束条件<x-2y+320,则z=x+2y的最大值为.

x-5<Q

【答案】13

【解析】

【分析】先根据不等式组画出可行域，再由z=x+2y,得y=-Lx+'z,向上平移过点A时,

22

z=x+2y取得最大值，求出点A的坐标，代入目标函数中可求得结果

【详解】不等式组表示的可行域如图所示，

由z=x+2y,得丁=-L彳+，2,向上平移过点A时，z=x+2y取得最大值,

22

x-5=0x—5

由V得《，，即A(5,4),

[x-2y+3=0〔丁=4

所以2=》+2丫的最大值为5+2乂4=13,

故答案为：13

14.已知向量IB1=1,向量5=(1,6),且|@一后|=痴，则向量万万的夹角为.

九

【答案】-##90

2

【解析】

【分析】由|M-a|=庭两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量口5的夹角

【详解】因为5=(1,月)，所以同=JF+(8『=2

因为|2-阴1=几，

所以。2一2壶茄+圻=6,又以|=1,

所以4一2075+2=6，所以无5=0，

向量万,5的夹角为仇则同•阵os(9=0

jr

所以cos9=0,则。=一.

2

TT

故答案为：

2

15.若直线丫=依+/是曲线y=ln(x—1)的切线，也是曲线丁=633的切线，则左=.

【答案】1或！

e

【解析】

【分析】根据导数的几何意义，由条件列方程求h

【详解】设丫=辰+〃?与3；=€-3和y=ln(x-1)的切点分别为(X[,e*3)、,In(%2T))；

由导数的几何意义可得"“二不'

X|3

即y=e~•x+(1—%)e"_3,y=—?—%+ln(x2-1)——

.x2—l

（1一%）9-3=/〃（々-1）-^-7

X2-[

%1-3=_In（公-1）

,•（1-xJ•―^=/〃（％2-1）^7=3—玉^-=2-x,——?—

x2-1x2-Ix2-lx2-1

2-x

・•・------rl=2-%

x2-1

当&=2时，Z=1,当％=2时，k=—

e

4=i或L

e

故答案为：1或一.

e

16.设数列｛4｝的前〃项和为S“，已知%=2,all+2+（―1）"%“=2,则Sa）=.

【答案】960

【解析】

【分析】根据递推式可以得出数列奇数项和偶数项的特征，分别求奇数项和偶数项的和即可得结果.

【详解】由为+2+（-1）"”“=2，

当〃为奇数时，有“〃+2+"〃—2；当〃为偶数时，"〃+2-_2,

.♦•数列｛4｝的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，

+a+a

则560=（4i5+/+•••+47+。59）+（生+包+4+«8+--+«58+%）

30x?0

=15x2+30x2+x2=960,

2

故答案为：960.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（一）必考题：共60分.

17.一场马拉松，不仅是一次身体的长途跋涉，更是对城市文化的寻找与认同.在某市举行的马拉松“半马

精英赛”的赛事中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：

801235666689

9023455579

1000567

(1)已知选手甲的成绩为85分钟，若从成绩不超过85分钟的选手中随机抽取3人接受电视台采访，求甲

被选中的概率；

(2)若从总体中选取一个样本，使得该样本的平均水平与总体相同，且样本的方差不大于7,则称选取的

样本具有集中代表性，试从总体(25名参赛选手的成绩)选取一个具有集中代表性且样本容量为5的样

本，并求该样本的方差.

【答案】(1)|

(2)样本为:88、90、93、94、95；方差为6.8,答案不唯一.

【解析】

【分析】(1)根据古典概率的求法，求出总事件数，求出目标事件数即可；

(2)先计算平均数，然后选择一个符合要求的样本，再求方差.

【小问1详解】

成绩不超过85分的参赛选手共5人，设为甲，乙，丙，丁，戊，随机选取3人的基本事件有：甲乙丙，甲

乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，总数有10种，甲在其中

3

有6种，记被选中的概率为P(A),P(A)=不

小问2详解】

因为25名参赛选手的成绩的总分为2300,

2300

所以总体的平均数为——=92.

25

具有集中代表性且样本容量为5的一个样本为:

88、90、93、94、95,

该样本的方差为?=出…+(9…+(93-92)-)'+(95-92/金=小.

55

答案不唯一，符合题意即可.

18.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABCO是边长为1的正方形，24,底面ABCD,PA^AB.

p

(1)证明：平面尸8O_L平面24C；

(2)点M在平面出如内，直线AM，平面尸应)，求四棱锥M—A3C。的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵-

9

【解析】

【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明8。_1面24。，再根据面面垂直判定定理证明平面「8。，平面

PXC-,(2)先求四棱锥的高，再根据锥体体积公式求解即可.

【小问1详解】

连接AC交3。于点O，

VPA_L底面ABCD,BDu平面ABCD,

:.PAA.BD，

又PAp|AC=A,7Vl,ACu平面PAC,

，面PAC,'：BDu平面PBD,

••・平面尸BOJ_平面PAC；

p

【小问2详解】

连接尸0,过A作ANJ_PO交P。于点M

因为平面尸8DL平面Q4C，平面P8£)n平面PAC=PO，POu平面P4C,

所以AN,平面所以M,N重合，

因为△AOMSAPQA，

…，OMAOp亚乖)

所以“—=:77'又AO=，PA=\>PO=,

AOPO22

所以OM=Y5,所以空=」，

6OP3

点M到底面ABC。的距离为g,又5.8=1

3

19.在△A3C中，角A,B,。所对的边分别为。，b,。若sinA=g,A=28,角。为钝角，h=5.

(1)求sin(A—8)的值；

(2)求边c的长.

【答案】(1)叵

10

(2)13

【解析】

3

【分析】(1)由sinA=1•求导cosA,利用8524=8525=28$28-1求得8$3,sinB,

再由两角差的正弦展开式可得答案；

(2)利用正弦定理和sinC=sin(A+B)=sinAcos3+cosAsinB可得答案.

【小问i详解】

因为C为钝角，由sinA=1",则cosA=Jl-sin?A=1'

则cosA=cos2B=2cos2B—l，C为钝角可得6为锐角，

尔以厢.

用「以cos*B-3------,sinBR-_-V--i-o--,

1010

可得sin(A-B)-sinAcosB-cosAsinB=-

【小问2详解】

由(1)可知：sinB=,则cosB=,C—TT—A—B,

1010

则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=13^^,

bc」=«

正弦定理：加一13加，

smBsinC-5

可得：c=13.

20.已知函数/(x)=-ox)Inx,g(x)=1J_2ax.

(1)若a=l,求曲线y=/(x)在点(1](D)处的切线方程;

(2)若当xNl时，/(x)Ng(x)恒成立,求。的取值范围.

【答案】(I)x+2y-l=0

5

e2

(2)4，e

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义求出曲线y=/(x)在点(1,/(D)处的切线斜率，再由点斜式求切线方程;

(2)化简不等式/(x)2g(x),通过讨论X的范围分离变量，再利用导数求函数的最值可得“的取值范围.

【小问1详解】

因为/'(x)=(x—l)lnx+gx—1,所以/'(1)=一；

又/(1)=0,

所以切线方程为y=-g(x—l),即x+2y-l=0

【小问2详解】

由/(X)之g(x)知―一+2avN0,因为

13

所以一xlnx——x>a(lnx-2),

24

当x=e?时，GR,

当x、时，,JXlnX-4X

\nx-2

XinXX

当l<x<e2时，nA~l

\nx—2

构造函知⑴%(21nx-5)(lnx-l)

,4(lnx-2)2

lnx-2

当l<x<e时，h\x)>0,当x)单调递增,

当evxve?时，h'(x)<0,〃(x)单调递减,

ee

故l〈X<e2时，〃(X)max=〃化)=］，因此

5.

当e2cx<e2,/?'(x)<0，力(x)单调递减，

当x>1时，/(为>°，〃(x)单调递增，

(5\5

——.5

故X>e2时，=he2=e2,因此

V7

一e"

综上：ae-,e2

4

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(l)e/(X)恒成立<=>。/X)max；

（2）《S（X）恒成立OcSWmin.

21.已知椭圆C：1+与=l（a>b>0）,右焦点为尸（加,0）,且离心率为正.

ab-2

（1）求椭圆C的标准方程;

o14

（2）设M,N是椭圆C上不同的两点，且直线与圆0：V+y2=—相切，若T为弦MN的中

3

点，求Q7TIMNI的取值范围.

22

【答案】（1）土+匕=1;

42

8

（2）[-,3].

3

【解析】

【分析】（1）由题可得,=夜,e=£=也,“2=/+。2,即求;

a2

（2）当直线MN的斜率不存在或为0,易求|OT|,|MN|,当直线MN斜率存在且不为0时，设直线

MN的方程为：x^my+t,利用直线与圆相切可得r=g（加?+]）,再联立椭圆方程并应用韦达定理求

Qm2、

得|OT|.|MN|=21+,然后利用基本不等式即得.

3Lm4+4加2+4,

【小问1详解】

由题可得c=\[2,e=—=-^-,a~=b2+c2

a2

.'.a-2,b=6

22

...椭圆c的方程为：—+^--1；

42

【小问2详解】

当直线MN斜率为0时,不妨取直线MN为y=事回一孚军K半用

此时|0T|=¥，|MN|=¥，贝I」|0T|“MN|=|；

当直线MN斜率不存在，不妨取直线MN为x=2叵，则M2百2百、

kF,N亍’F

3

此时|0T|=迈,|MN|=^,贝

333

当直线MN斜率存在且不为。时，设直线MN的方程为：x=my+t,M(x[,yiyNgy),

4

因为直线MN与圆£+y2—相切,

3

,-I--d---空，即/=±(〃z2+i),

所以d=

7^7133、)

又因为直线MN与椭圆C交于M,N两点:

x2y2

由＜42，得(加2+2);/+2m/y+J_4=0,

x=my

-2mt

m+2

则《

t2-4

m+2

2t-mt

所以MN中点7坐标为

m2+2'机*+2广

则|0T|='2t

、m~+2+2m+2