专题训练 解决不等式选讲的第二问通关-高考数学棘手问题归纳解析版

专题训练

解决不等选讲的第二通关-2018年高考数学棘手问题归纳解析版第一类均不等式1．设函数

f

．（）

f

的解集为集合A，集合；（2）已知为合A中大自然数，且

a（其中,b

为正实数，设

1

．求证：．【答案】(1)

5|x}4

；(2)证见解析．【解析】试题分析）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并2）先根据等量关系化M

baac

，再根据基本不等式证不等式．（）（）m，则

．则

a

，同理

2acbc

，则112ba

，即

M

．学#科网2．选修4-5：不等式选讲已知a，b，

c

均为正实数，且

11a2bc2

．（）明：

1113ab

；

2222（）证：

24a4

．【答案）见解析）见解析．【解析试题分析：得

11122c2

再两边平方即可得（2）由均值不等式可得

212c12，，4a222aca2

，相加即可得证（Ⅱ）∵

2112ab42同理：

212，cbc242a2∴∴∴

a111babcc2b222444224a4

3．设,

均为正数，且x

，求证：

x

2

y

2

．

22222232222223【答案】见解析。【解析】试题分析：因为2

，根据三元均值不等式可得结果试题解析：证明：因为xy0,x所以x0

，因为

3

,当且仅当

时等号成立，所以

x

2

y

2

学科4．已知定义在上的函数

f,mN

*

，且

f

恒成立．（）实数

m

的值；（）

，求证：

．【答案）

）解析．【解析题分析依据题设借助绝对值的几何意义分析求解借题设条件运用基本不等式进行求解：解

xxx

,要使

xx

恒成立

m

得

m

m*

，

m

．5．选修4—：等式证明选讲设a,

为正实数，且

1b

．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若

值．

2323【答案）．【解析】试题分析）由

1得ab，而到2

2

2

的最小值是；（Ⅱ）由

4

得ab

ab

，从而

1，

，即可求解

ab

的值．试题解析）由

112得ababab2

，当a

时取等号．分故a22ab

，当a

22

时取等号所以a2

的最小值是

，当且仅当

a

22

取得最小值．6．已知函数

f

的最大值为m．（）m的和等式f

x

的解集；（）

ab

2b2

，的大值．【答案），

）大值2

．【解析】试题分析）分类讨，求出函数的值域，即可求m的；（2）由（），+2b+c=4利用基本不等式求ab的最大值．试题解析：解：(1)当

x

时，

f当

时，

f时f

取得最大值，即．由

，解得

当时由x，得，时由，得，以不等式

f

的解集为

．(2)因为a

b

，解得

，当且仅当

时，等号成立，此时取最大值2．7．选修：等式选讲已知函数

f

．（）不等式

2

的解集；（）

，,,cx

1abcb3

．【答案）([4

）解析【解析】试题分析）先根据对值定义将不等式转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集得原不等式解集据绝对值三不等式得x

利均值不等式证不等式．（Ⅱ）

xx

，又∵bc

，∴

1133?abc2?3abc=63b3a33cabc

（当且仅当

时取等11x+3abc∴bc38．选修：等式选讲若不等式（）的值；

．

对于任意

都成立．

（）【答案）

，求证：（Ⅱ）详见解析

．【解析】试题分析（Ⅰ由绝对三式可得

，，即

，因此，且仅当

取等号）用基本不等式证明不等式，关键在于凑：试题解析：Ⅰ）解：

，当且仅当

，即得结论．时等号成立，，当且仅当都成立．

时等号成立，∵对任意实数b

，不等式∴．1．设不等式（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式【答案）【解析】试题分析：

的解集为．）

第二类恒立求参恒成立，求实数的值范围．

（Ⅰ）令，由

得，解得，从而得化量可得不等式解得，为所求．

在

恒成立得，（Ⅱ）由不等式令要使，则整理得，

，的，，

，∴解得．

，∴实数的取值范围2．选修：等式选讲

．学*科网已知函数（）

，，求不等式

，的解集；

．（）对任意的【答案）（）．

，不等式或．

恒成立，求实数的取值范围．

【解析】试题分析）当解析分类讨论，可求不等式（）时，

时，的解集；

．的最大值为，

对要使，故只需；当

时，

的最大值为，要使，故只需，由此可求实数的值范围．（Ⅱ）当

时，

的最大值为，要使

，故只需

，则

，∴

；当

时，

的最大值为，要使

，故只需

，∴，而综上讨论可知：

．．3．选修：等式选讲

已知函数（）

．时，解不等式；（）关于的等式【答案】(1);(2)

在上恒成立，求实数的值范围．．【解析】试题分析由意可将含绝对值的函数从而问题可得解由意，可构造函数

转化为分段函数，再逐段进行求解，汇总所得解，，将其转化为分段函数，并作出其图象，结合其图象，对参数的取值范围，进分段讨论，汇总所有解，从而问题可得解．（）令作出

，得的图象如图所示，

．由题意知

的图象恒在函数

的图象的下方．由图象可知，当

经过点

时，解得

或．当当所以

时，时，，

的图象经过的图象经过

点，显然不成立；点，成立，即实数的值范围为．

4．已知关于的等式

．（）（）

时，求该不等式的解集；时，该不等式恒成立，求的值范围．【答案）

）

或．【解析】试题分析）

时，原不等式为

，利用零点分段法可求得解集为）当

时，原不等式可化为

．对分

两类，去绝对值，利用分离常数法可求得的值范围．（）

，∴，原不等式化为

①．当当

，即，即

时，①式恒成立，所以时，①式化为

．，或

．化简得

，或．∵，，，∴又，，

或．所以当

时，，，所以，或．所以

，或

．综上实数的值范围为5．已知，若不等式（）实数的；

或

．的解集为．（）

对一切实数恒成，求实数的值范围．

【答案】(1)；．【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式，据此得关于实数t的方程，解方程可得．（）1）知，，绝对值三角不等式的性质可得立，则实数的值范围为．科网

，当且仅当

时等号成（）（），，所以

，当且仅当

时等号成立，所以，故实数的值范围为．6．已知函数．（）（）

时，求时，

的解集；恒成立，求实数的值范围．【答案））．【解析】试题分析）（）问利用零点分类讨论法解绝对值不等式．(2)第）问先简，再分离参数得到试题解析：

对任意的

恒成立，再求a的值范围．（）

时，由

可得，所以当当

时，不等式转化为，解，时，不等式转化为，得，当

时，不等式转化为，得，综上可知，不等式

的解集为．（）

时，

恒成立，即，

故

，即

对任意的

恒成立，所以．7．选修：等式选讲已知函数

．（）（）

，求的值范围；对任意正实数恒立，求实数的值范围．【答案））．【解析】试题分析先据对值三角不等式得等式成立条件为

，再解不等式得的值范围）先根据基本不等式

最小值，再解绝对值不等式可得实数的值范围．8．已知

bR

且2

．（）a的大值M；（）不等式

x对意x

M2,M

成立，求实数的值范围．【答案】(1)

;(2)见解析．【解析】试题分析：（）由本不等式

a2

可得

2

，从而可得最大值

M

）由于

x

时

xx

，故由题意可得

x

对

x

恒成立，于是

t

或t

恒成立，解得或t，而可得所求的范围．学#试题解析：（）

a2

，得

2

，当且仅当取大，M2

．9．选修：等式选讲已知函数

．（Ⅰ）解不等式（Ⅱ）若

；对

恒成立，求实数的值范围．【答案）

）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的定义，去年绝对值符号，可化含绝对值的不等式为一般一元一次不等式，之可得；（Ⅱ利用绝对值三角不等式求出试题解析：

的最小值然后解不等式

可得的值范围．（Ⅰ）由题知不等式

，即

，等价于

或

或

，

解得

或

或，∴原不等式的解集为（Ⅱ）由题意知

．…………分=≥=3，∴∴解得

的最小值为3，，，∴实数的值范围为10．选修4-5：不等式选讲已知函数

．………………10分（Ⅰ）求不等式（Ⅱ）当

的解集；时不式

恒成立，求实数的值范围．【答案）

．（Ⅱ）．【解析题析讨掉绝对值别求解不等式进而得到不等式的解集时，，设，出

在

上的最大值，即可求得实数的值范围．（Ⅱ）当设

时，，则

在

，则当，上的最大值为

恒成立．．∴，

，得

．∴实数的值范围为

．第三类绝对值三角不等式

1．已知（）

．的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象．（）

，对，，

恒成立，求的取范围．【答案）见解析）的取范围是

．【解析】试题分析讨论的围：由分段函数图象画法可得其图象；学网

，去绝对值，可得

的分段函数的解析式，（）用乘1法和基本不等式可得，所求x的范．试题解析：

的最小值，由题意可得，结合图象即可得到（）已知，得，函数

的图象如图所示：2．选修：等式选讲已知函数

，

．（）不等式

的解集；

（）存在

，使得

和

互为相反数，求的值范围．【答案））【解析】试题分析）分，

．

，和

三种情况去掉绝对值，解不等式即可．（）题存在由（1）可知

，使得，所以

成立，即，可解得的值范围．

．又，试题解析）由题意可得，当当当

时，时，时，

，得，得，得

，无解；，即．

；综上，

的解集为

．3．已知函数（）不等式（）对于任意【答案）

．；，有，，证：．）解析．【解析】试题分析）通过讨的范围，解不等式，取并集即可）利用绝对值三角不等证明即可．

试题解析：（）：

或，解集为

．（）明：4．[选修4－：不等式选讲]f已知函数

．

．（）不等式

f

；（）正实数，满

，试比较

a2

b24

与

f

的大小，并说明理由．【答案】(1)｛|x＜－3或x＞｝见析【解析】试题分析）据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集2先根据绝对值三角不等式得

f

最大值，再根据基本不等式可得

a2

b24

最小值，最后根据两者关系确定大小关系．试题解析）由题知

xx

，①当

时，－x－＞，得x＜－；②当

时，2＞，矛盾，无解；③当时，2＋＞，＞1所以该不等式的解集为｛|＜－或x＞网5．设

f(0a

．（）a，关于的等式

f

；

1（）证：ftft

．【答案】(1)x或x

43

）明见解析．【解析】试题分析）（），直接利用零点讨论法解角绝对值不等式证明．

2x2.

（）（2）问，利用三（）明：ftfttt

21tt12tttt

，当且仅当

t

时取等号．6．选修：等式选讲已知函数

f

x

．(I)求不等式

f

的解集；(若正数m,n

满足

求:f

．【答案）【解析】试题分析）将不式转化为

x

．法一：由绝对值不等式的几何意义，可得不等式的解集；法二：分类讨论，去掉绝对值号，分别求解不等式组，进而得到不等式的解集；（Ⅱ）由题意，得到

n

，利用绝对值的三角不等式，即可作出证明．

试题解析：（Ⅰ）此不等式等价于xx

．法一：由绝对值不等式的几何意义得不等式的解集为

7修：等式选讲】设函数

f

，

g

，其中

a

．（Ⅰ）求不等式

g

的解集；（Ⅱ）若对任意

x1

，都存在

x2

，使得

f12

，求实数

的取值范围．【答案】(1)

x|x

32

;(2)

18,

．【解析】试题分析）讨论x的值范围，把问题转化为三个不等式组问题，分别求解集，最取并集即可

f

的值域为N,g

的值域为M对任意xR都存在x使得f12

等价于：学科网试题解析：（）等式

，则xxx{{{x

，

解得：

33或，x22所以不等式

g

的解集为|x

32

．8．已知函数

f

．(1)当

a

时，解不等式

f

的解集；(2)当

时，有

f

成立，求

的取值范围．【答案】(1)

a【解析】试题分析）a时，不等式

f

x

等于

，即可求解）据绝对值三角不等式即可得解．试题解析：(1)原等式等价于解得：

x

(2)由题意可得

x2

恒成立．∵∴

x2x∴解得

229．已知

f

．（）不等式

f

x

；（）不等式

2x2

12

对任意实数x恒立，求实数m的取值范围．【答案）{|x

73

m

．【解析】试题分析：掉绝对值符号，在函数的每个区间上求解不等式即可得到答案

f

，

的分段函数的各段的范围，可得最小值，进而得到

m2

，解不等式即可得到

m

的取值范围（）

，x

递减，取值范围是当

x

12

时，3的围是；当

x

时，

3x

的范围是

．从而

2x

52

，不等式

2xm

12

对任意实数x恒立，

解不等式

m

，得m2

．10．设函数（）

时，解不等式

；（）证：

．【答案】(1)[-3,3](2)见解析【解析】试题分析1）点区间分段去掉绝对值，解不等式即可；（）据绝对值三角不式得到．由1的用求得最值．（），又∵∴第四类柯不等式1修：等式选讲】已知函数

f

．（Ⅰ）当t时解不等式

f

；（Ⅱ）设a,b,c

为正实数，且

a，中为数

的最大值，求证：

b

．【答案）

[0

（）解析【解析】试题分析）（），直接利用分类讨论解绝对值不等式2）第（2），利用本不等式证明

c

．

试题解析：（）时f3,

，x

，所以{

xx或{或{

，所以解集为0,2．选修：等式选讲已知函数

f

．（）不等式

f

的解集；（）

f

的最大值为

，证明：对任意的正

，

b

，

c

，当

a

时，有

b成立．【答案】(1)

;(2)见解析．【解析】试题分析对函

f

，去掉绝对值，用分段函数表示出来，再分情况解不等式，结果取并集）绝对值三角不等式，求出函数

f

的最大值为3，根据基本不等式推广，证明出结论。试题解析）由题知，

3.x

所以

f

，即{

2,2x2,或{或{xx

解得

x

．故原不等式的解集为,

．3．选修：等式选讲已知函数

．（）不等式（）函数【答案）

；的最小值为，，，均正数，且）．

，求

的最小值．【解析】试题分析）先去掉对值，化简函数的解析式，分类讨论求得

的解集．（）据函数的解析式求得函数

的最小值，再利用柯西不等式求得

的最小值．试题解析：（）．∴解得

等价于或．

或

或．∴原不等式的解集为．

222222224．选修：等式选讲已知

b

．（）证：

bc33acabac

；（）函数

f

2

22

cac

的零点个数．【答案】(1)见解析(2)见解析．【解析】试题分析：

由柯西不等式得

3abacbabc

2

再代入得

时，取等号

由（）知，

时，此

f

仅有一个零点；当

、、c

不全相等时，此时f

x

零点个数为学.网解析）柯西不等式得

3abacacbab

2

bc3abcab

，当且仅当

b2aa2b2c

，即

时，取等号．

aa2229432aa2229432（）于二次函数

f

3abaca

，由（1）知，

a时，时f

x

仅有一个零点；当

、、

不全相等时，，此时

零点个数为．5．[选修4-5：不等式选讲已知a，，函数

的最小值为4．b(1)求的值；a2b22(2)证明：．9413ab【答案）（）解析【解析】试题分析根绝值不等式的性质，结合函数

f

，即可求得

b

的值）运用柯西不等式，结合1可明．(2)

2

2b224136．选修4—不式选讲已知（）

，的最小值

．（）明：

．【答案）3；（）明解析．【解析题析(1)利柯不等式求得最小值为．

(2)将不等式的右边变为此证得不等式成立．【试题解析】

,用本不等式可求得右边的最值为,（）7．已知函数

．f

．（）

f

；（）

b

，且

2ac

，求证：

1112b4c

．【答案）m）证明见解析．【解析】试题分析：（）1：零点分段可得函数最大值．法2：由三角不等式的性质可得数的最大值为m．法3：由绝对值不等式的几何意知可得函数的最大值为．（法1由意可知

111a2ab43a34c

1当仅当a，，23c

时取等号，题中的命题得证．法

2：

由题意

结合

柯西不

等式

有

a

13b34c

b试题解析：

11111，，题得证．23bc34cx（）1：由

知

f

．法2：由三角不等式

3,xfx得，即法3：由绝对值不等式的几何意知

f法2：∵aba,c0)

，∴由柯西不等式得

14c4c

2ac

a3b

，整理得

11124c

，当且仅当

2c

，即

a