第1讲二次函数中的平移问题-冲刺2022年中考数学压轴题（上海）解析版

第1讲二次函数中的平移问题

—(2022普陀、金山、闵行、奉贤、24题解法分析＋经典变式练）

一．二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出

原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求

出解析式．

二．坐标与图形变化－平移

(1)平移变换与坐标变化

CD向右平移a个单位，坐标P(x,y)⇒P(x+a,y)

CD向左平移a个单位，坐标P(x,y)⇒P(x-a,y)

CD向上平移b个单位，坐标F(x,y)⇒P(x,户b)

CD向下平移b个单位，坐标F(x,y)⇒P(x,y-b)

(2)在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a,相应的新图形就是

把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a,相应的

新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，

下移减．）

三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：

针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加卜减“，同时保待a不变。

【备注】：

1．以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；

2．在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中

的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自已发现、领悟题目的意思；

3．可以根据各题的“教法指导“引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加

强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；

4．例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面

有答案提示；

5．引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；

6．部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；

7．每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题5-7分钟。

_

例1.(2022普陀区一模24)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=1.x2+bx+c与直线y=-1.x+l

33

交于点A(m,0),B(-3,n)，与y轴交于点C,联结AC.

(1)求rn、n的值和抛物线的表达式；

(2)点D在抛物线y=上x2+bA+c的对称轴上，当乙ACD=90°时，求点D的坐标；

3

(3)将6AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P,此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．

y

【分析】(1)利用待定系数法求出A,B两点坐标即可解决问题．

(2)过点1J作JJH_l_y轴于卢H，由直角三角形的性质得出tan乙ACO=tan乙CJJH,则—_＿，可列出方AOCH

CODH

程求出CH的长，则可得出答案；

(3)设p(t,上芢--!-t-2),得出N(t-3，上芢--!-t-2-2)，由点N在直线AB上可得出t的值，

3333

则可得出答案．

【解答】解：（1)将A(In,0)代入．v=-上x+l,

3

解得m=3,

:.A(3,0),

将B(-3,n)代入y=－上x+l,

3

韶得n=2,

.".B(-3,-2),

把A(3,O),B(-3,2)代入y=上}+bx+c中，

得厂X9+3b+c=0,3

X9-3b+c=2

—3

1

叫c=-2勹

．．．抛物线的解析式为y=l.i-1.x-2.

33

(2)如图］，过点D作DH.ly轴千点H,

y

又：

Hf..·~D

图1

？抛物线的解析式为y=l..i-1..x-2.

33

b1

占抛物线的对称轴为x=-—-=-,

2a2

:./JH=l..,

2

·.．乙ACD=90°,

：，乙AC仇乙DC/!=90°,

又了乙DC片乙CDH=90°,

．．乙ACO=乙CDH,

:.tan乙ACO=tan乙CDH,

...AO::CH,

CODH

由(1)可知OA=3,OC=2,

.3CH

..—::

21

2

.·.c/f=_3,

4

占D（上，－且－）；

24

(3)如图2,若平移后的三角形为AR邢

y

工

圉2

则趴r=.oe=z,Pill=OA=3,

设P(t，上芢~t-2),

33

:.N(t-3,上芢上t-2-2),

33

7点N在直线y=-1.x+l上，

3

2

···-1t一1t-4=-~(t-3)+l,

333

:.t=3聂或t=-3妊，

:.p(3拉，4－石）或p(-3石，4＋寸）

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性原，直角三角形的性质，锐

角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利

用参数构建方程确定点的坐标．

例2(2022年金山一模24)已知：抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0,1)和B(l,心顶点为点P,抛物线

的对称轴与x轴相交千点Q

(l)求抛物线的解析式；

(2)求乙PA()的度数；

(3)把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ=CP,求平移后的抛物线解析式

•Y

6

5

4

3

2

1

-5-4-3-2-1.0123456-x

一1

-2

-3

-4

一5

c=l

...............................................................(2分）

解：（1)根据题意{-l+b+l=4

解得：b=4,c=l。

:.抛物线的表达式是y=-x2+4x+I·························································(2分）

(2)y=-x2+4x+l=-(x-2)2+5,．．．顶点P的坐标是(2,5).

对称轴是直线x~,点0的坐标为(2,0).················································(1分）

:.PA=2✓5,QA＝✓5,PQ=5;··················….......................................(]分）

:.PA2+QA2=PQ2,:.乙COff==90°,·························································(2分）

(3)根据题意，BC//PQ

如果点C在点B的上方，PC//BQ时，四边形BCPQ是平行四边形，

:.BQ=CP,BC=PQ-=5,

即抛物线向上平移5个单位，半移后的抛物线解析式是y=-x2+4x+6.…………(2分）

如果点C在点B的卜方，四边形BCQP是等腰梯形时BQ=CP,

作BE上PQ,CF上PQ,推足分别为E、F.

根据题意可得，PE=OF=l,P庄5,BC=EF=.'3,

即抛物线向卜平移3个单位，平移后的抛物线解析式是y=—x2+4x—2……………(2分）．

综上所述，平移后的抛物线解析式是y=-X2+4x+6或y=-x2+4x-2.

例3(2020闵行一模24)．如图，在平面宜角坐标系xQy中，直线y=-x+5与X轴交于点A,

1

与Y轴交千点B.点C为扼物线y=a..x2-2a2x+a3+~a的顶点．

2

).

(1)用含a的代数式表示顶点C的坐标：

(2)当顶点C在6.AOB内部，且S6.AOC=~时，求抛物线的表达式：

1

(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，平移后的抛物线的顶点P仍在6.AOB

2

内，求a的取值范围．

11

【小问l详解】解：拗物线y=ax2-2a2x+a巨－a=a(x-a)2+~a,

22

1

:．顶点C的坐标为(a,~a);

2

【小问2详解】解：对千y=-x+5,当x=O时，y-=5,当y=O时，x=5,

.".A(5,0),B(0,5),

5

？顶点C在t:.AOB内部，且Sb.AOC=~

真

ll5

•·•-x5·-a=-,

222

:.a=2,

：．抛物线的表达式为y=2x2-8x+9;

I1

【小问3详解】解：由题总，平移后的抛物线的顶点P的坐标为(a+1,－a-－），

22

？平移后的抛物线的顶点P仍在b.AOB内，

a+l>O

l1

·}-a-->0

22

11

-(a+l)+5>-a--

22

解得：1<a<3,

即a的取值范围为l<a<3.

例4(2022奉贤一模24)（本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题每小题满分4分）

如图11，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交千点A(-1,0)和点

8(3,0)，与y轴交千点C,顶点为D.

(1)求该抛物线的表达式的顶点D的坐标，

(2)将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新彻物线顶点为M,点c的对应点为E

O如果点M落在线段BC上，求LDBE的度数，

＠设直线ME与x轴正半轴交于点P,与线段BC交千点Q,当PE=2PQ时，求平移后新抛物

线的表达式

y

x

图Ll

【解答】解：（l）将点A(-1,0)和点B(3,0)代入y=ai+bx+3得，

{a-b+3=0,

9a+3b+3=0

解得{a=－1,

b=2

:.y=-i+2x+3=-(x-I)"+4,

占顶点D(1,4);

(2)＠设直线x=l交x轴了C,

l,

'

x

·:B(3,0),C(O,3),:.OB=OC=3,:.Gill=GB=2,.'.D,佑＝D6-6佑＝2,

:．将抛物线y=-i+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点t1治在BC上，此时E(O,1),

·:/J(1,4.),E(O,1),B(3,0),

:.ol=10,Bi=10,BU=20,:.ol+Bi=a1J,

．，心BDE是等腰盲角三角形，占乙DBE=45°;

＠当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作砂且x轴千凡

x

由CCO,3),DCl,4)可知，直线CD与x轴夹角为45°'

：．平移后乙OPB=45°,...p作＝BH,

·:OE/I(}//,PE=ZP(},:.OP=ZP/1,

3

.·.4BH=3,.·.BH=_

4

.•.oP=2BH=_3,.·.C/V=CP=-1,.·.M(l,-_1),

222

2-1

：．平移后抛物线为JI=-(x-1)一一·

2

一．-解答题（共7小题）

l.(2021•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交千点A、B,抛物线y

=ax2+bx-5a经过点A.将点B向右平移5个单位长度，得到点c.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线的顶点在60BC的内部，求a的取值范围

l.

-0x

【分析】（1)由y=3x+3与x、y轴分别交于点A、B,可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐

标；

(2)将A坐标代入y=a}+bx-5a可得b=-4a，根据对称轴公式可得答案；

(3)对称轴x=2与BC交千队与OC交千E,抛物线的顶点在心OBC的内部，则顶点在D和E之间，用

a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．

【解答】解：（1)在y=3x+3中，令x=O得y=3,令y=O得x=-J,

:.A(-L0),B(0,3),

？点B向右平移5个单位长度，得到点C.

:.C(5,3);

(2)·;A(-L0)，抛物线y=ai+bx-5a经过点A,

:.O=a-b-5a,即b=-4a,

占抛物线y=ai+bx-5a对称轴为x=－上＿＝－二丝＝2;

2a2a

(3)对称轴x=2与BC交千D,与OC交千E,如图：

V

'

D

x

设oc解析式为y=kx,

·:(5,3),

:.3=5k,

:.k＝呈，

5

:.oc解析式为y=呈X,

5

令x=2得y＝立，即£(2,立），

55

由（l)知b=-4a,

:．抛物线为y=ai-4ax-5a,

:．顶点坐标为(2,-9a),

抛物线的顶点在DOBC的内部，则顶点在D和E之间，

而D(2,3),

．逵<-9a<3,

5

：．－上<a<－呈＿．

315

【点评】本题考查点的平移、二次涵数图象等知识，表示顶点坐标列不等式是解题的关键．

2.(201贮杨浦区三模）已知点A(2,-2)和点B(-4,n)在抛物线y=a}(a=I=-0)上．

(1)求a的值及点B的坐标；

(2)点P在y轴上，且DABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；

(3)将抛物线y=a}(a=I=-0)向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B''

若四边形ABB'州为正方形，求此时抛物线的表达式．

1·

(I

【分析】（1)把点A(2,-2)代入y=ax2,得到a,再把点B代入抛物线解析式即可解决问题．

(2)求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直千AB的直线的解析式，过点B垂直千直线AB的解析

式即可解决问题．

(3)先求出点A'坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题．

【韶答】解：（l）把点A(2,-2)代入y=ax2，得到a=－上，

2

12

占抛物线为.v=--=-x'

2

:.x=-4时，y=-8,

占点B坐标(-4,-8)'

．二a=-上，点B坐标(-1,-8).

2

(2)设直线AB为y=kx+b，则有{-4k+b=-8，解得{K=1,

2k+b=-2lb=-4

:.直线AB为．v=x-4,

:．过点B垂直AB的直线为y=-x-12,与y轴交丁·点p(0,-12),

过点A平直AB的直线为y=-X,与y轴交于点P'(0,0),

：．点P在y轴卜，且6ABP是以AB为且角边的三角形时．点P坐标为（0,0)，或(0,-12).

解法二：利用直线与坐标轴的夹角为特殊角45°构建等腰直角三角形来求韶坐标即可．

(3)如图匹边形ABB'A'是正力形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A'作x轴的垂线得到点E、F.

？直线店解析式为y=-x-12,:.LABF,D.M'E都是等腰直角三角形，

...AB=AA'＝石可~=6奸，

占儿~'=A'H=6,

:.点A'坐标为(8,-8),

:．点A到点A1是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，

:．抛物线y=-上x2的顶点（0,0)，向右平移6个单位，向下平移6个单位得到(6,-6),

2

:．此时抛物线为y=-—1(x-6)"-6.

2

:/A

【点评】本题考查二次函数图象上点的特征、一次函数等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数

解析式，知道两条直线垂直k的乘积为－1,屈于中考常考题型．

3.【2021年静安区二模24】（本题满分12分，其中第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(2)小题3

分）

在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(5,O)（如图），经过点A的抛物线y=x2+bx+5与y轴相交千

点B,顶点为点C.

(1)求此抛物线表达式与顶点C的坐标；

(2)求LABC的正弦值；

(3)将此抛物线向上平移，所得新抛物线

顶点为/},且A/JCA与6ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．

y

。Ax

（第24题图）

24.解：（1)？抛物线y=x2+bx+S经过点A(5,0),:.0=25+5b+5.•••C1分）

:.b=-6.•••••••••••••••••••••••••••••••Cl分）

:．抛物线表达式为y=x2-6x+5,顶点C的坐标为(3,-4).••••••••(2分）

(2)设抛物线的对称轴与x轴、AB分别相交千点E、F,点E(3,0).

．．．点B(0,5),:.OA=O,胪5,AB=5✓2,乙OA庄45°'

•·.EF=AE-=2CF书．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分）

l____l___1__1

:.s丛sc=S邸CF+SAfJcF=~CF•OE+~CF•AE=~x6x3+~x6x2=15.(2分）

2222

过点A作AH上BC,垂足为fl,

ll

...BC寸3红(-4-5)2=3而，．．·.s丛BC=—BC•AH=—x3而．AH=15.••••••Cl分）

22

AH而五

:.AH＝而．:.sinLABC=—=—=—·(l分）

AB5五5

..AE2石AH

(3)·.—=—=—=—,．．．Rt丛AEC=Rt丛Al{B,．·.乙ACE=乙A

AC2✓55AB

CDBA."CDBC

·:6DCA与6ABC相似，．·.—-＝—－或—－＝—-．(l分）

CABCCABA

CD5拉、CD3而IO

.—=—D戈—=—,．c庄－－或C住6(l分）

2$3而2占5拉3

？抛物线和y轴的交点向卜平移的卧离与顶点平移的肝离相同，

25

:．平移后的抛物线的表达式为y=x2-6x+—或y=x1-6x+11.(1分）

3

4.【2021年长宁二模24】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ai-旦灶c经过点A(l,0)、B

3

(3,0)，且与y轴交于点C.

(l)求抛物线的表达式；

(2)如果将抛物线向左平移In(lJ/＞0)个单位长度，联结AC、BC,当抛物线与丛ABC的三边有且只有一个

公共点时，求m的值；

(3)如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC,直线PA交y轴于点E,当乙PCE＝乙PEC时，

求点P的坐标．

y

X

【答案】(1)y于兰x+4;(2)m=4;(3)(f,%)

【解析】

【分析】（1)由待定系数法即可求解；

(2)当抛物线与丛ABC的三边有目只有一个公共点时，则抛物线过点C(O,4)，即可求解；

4

(3)求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为(0,-—t+4),由乙PCE＝乙PEC，则点P在CE的巾垂线

3

卜，进而求解

【详解】解·(l)将，与A、B的坐标代入抛物线表达式得：「辈＋c＝0,

9a-16+c=0

叫勹

4,16

故抛物线的农达式为y=－X-—命x+4;

33

(2)令x=O,尸4

:.c(0,4)

当抛物线与6.ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C(0,1)

由抛物线的农达式知，其对称轴为x=2,

则平移后抛物线再过点C时，m=4;

4,216

(3)设点P的坐标为(t,—t——t+4),

33

设直线PA的表达式为y=k汁b,

,V4-3

｛5-3l6_40k4

2_t

tt+k4+=b4kt+b

代入直尸点点／八线PA坐的标农4JI寻达解41导

,4-3,

bt+4

＿_=

、

44-3

.p(E式（为，（廿t)t+4

.y_3-IX­,

4

令故而t4

0ECPC尸一-+

3

4-3

的坐九乙示为0-4),

。,4)P,

？_Ec

则点P在CE的中乘线上，

l421614

由中点公式得：yI'=-（yl+yt)，即一tt+4=(-t+4),

2-·-·3-—3-23

解得t=l（舍去）或—,

2

故点P的坐标为（］

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有

定的综合性，难度适中．

3

5.【2021年奉贤二模】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B(0,2),CCL-2),点A在x轴正半

轴上，且OA=20B,抛物线y=ai+bx(a:;t:O)经过点A、C.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)将抛物线先向右平移n)个单位，再向上平移l个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C'处，求m

的值；

(3)设点B关千原抛物线对称轴的对称点为B'，联结AC,如果点F在直线AB'上，乙ACF＝乙BAO,求点

F的坐标．

y

x:

c

15

【答案】(1)y=~x2-2x;(2)4;(3)F坐标为(4,—)或(4,-1.5).

22

【分析】（1)求出A坐标，将A、C坐标代入y=ai+bx即可得答案；

(2)求出AB解析式，用ID表示C'坐标代入即可得答案；

(3)分F在A上方和下方两种悄况画出图形，构迅相似二角形利用对应边成比例可得答案．

【详解】解：(1)·:sco,2),

:.OB=2,

？点A在x轴正半轴k，且OA=2Q凡

:.A(4,0),

3

：．将A(4,O),C(L--=:,.）代入y=ai+bx得：

2

厂厂a++4：解得｛三

l

:．抛物线的表达式为．v=—,I-2x:

2

(2)设直线AB的解析式是y=mx+n,

将A(4,0),BCO,2)代入得：

{0=24:nn+n，解得｛：：：＇

1

:．直线AB的解析式是y=--x+2,

2

1

？抛物线y=-x2-2x向右平移n]个单位，冉向上半移1个单位，则其上的点C也向右半移m个单位，冉

2

3-2

、丿

向上平移l个单位，而C(l,,

1

:.C'(l+m,-—),

2

1

·:C'(l+m,-—)在直线AB上，

2

11

-—=--(l+m)+2,

22

:.m=4;

1

(3)·:y=-=-x2-2x对称轴为x=2,B(0,2)点B久于原抛物线对称轴的对称点为B'

2

:.矿(4,2),

·•.A(4,0),

:．白线AIJ'为x=4,

点F在直线AB'上，乙ACF=乙BAO，分两种情况：

@F在A上方，如图：

y

x

答图1

过A作AGJ_CF千G，过G作G杻／x轴交直线x=4千f/，过C作Qlf..l_x轴交直线Cl!于从

·:8(0,2),A(4,0),

1

:.lanL.BAO=-,

2

·:乙ACF＝乙BAO,AC..l_CF,

lAG1

:.tanLACF=—，即＝—，

2CG2

而乙lfCG=90°-乙VGC=-乙AGH,乙M=乙AHG,

:.61lfCG(/)D.l/GA,

AHGHAGl

..-=-=-=-

MGMCCG2

心~IC=GH,MG=2AH,

设G(Ill,11)，贝ljMC=n+1.5,il!G=Ill-1,GIi=1-01.Alf=n,

:.n+J.5=2(4-111)，且m-l=2n,

解得lll=2.8,n=O.9,

:.c(28,0.9),

又c(l,-1.5),

417

:．直线CC解析式为：y=-:--x-—-，

36

5

令x=4得y=－

2

5

:.F(4,..:....),

2

@F在A下方，

),

x

|.,.F

D>.,.

答图2

延长AC交y轴了从过C作CF/Ix轴交直线x=4丁凡

·..A(4,0),C(l,-l.5),

上直线AC解析式为