高等数学竞赛试题(打印版)

竞赛试题1一、填空：1．若是上的连续函数，则a=2．函数在区间上的最大值为。3．。4．由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为5．设函数由方程所确定，则二、选择题：1．设函数f(x)可导，并且分dy是，则当时，该函数在点处微的（）（A）等价无穷小；（C）高阶无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（D）低阶无穷小。2．设函数f(x)在点x=a处可导，则在点x=a处不可导的充要条件是（）（B）f(a)≠0，但（D）f(a)≠0，且。（A）f(a)=0，且；；（C）f(a)=0，且；3．曲线（（A）没有渐近线；（C）有一条铅直渐近线；）（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（D）有两条水平渐近线。4．设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（）（A）若，则（C）若；（B）若，则；，则；（D）若，则。5．设曲面（A）的上侧，则下述曲面积分不为零的是（）；（B）；（C）；（D）。三、设函数f(x)具有连续的二阶导数，且，，求。四、设函数由参数方程所确定，求。五、设n为自然数，计算积分。六、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。证明：七、设f(u,v)有一阶连续偏导数，，，证明：。八、设函数f(u)连续，在点u=0处可导，且f(0)=0，求：。九、计算，其中L为正向一周。十、证明：当充分小时，不等式成立。设，求。十一、设常数证明：，证明：当x>0且x≠1时，。十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a>R，求此半球壳对棒的引力。竞赛试题2一、选择题1.下列命题中正确的命题有几个？（）（1）无界变量必为无穷大量；(2)有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量；(4)无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个.2.设，则是间断点的函数是（）(A)；(B)；(C)；(D)..3.设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则（）(A)1；(B)；(C)；(D).4.设连续，当时，与为等价无穷小，令，,则当时，的（）(A)高阶无穷小；(B)低阶无穷小；(C)同阶无穷小但非等价无穷小；(D)等价无穷小.5.设在点的某邻域内连续，且满足则在点处（）(A)取极大值；(B)取极小值；(C)无极值；(D)不能确定是否有极值.6.设在连续，且导函数的图形如图所示，则有（）(A)1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B)2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；(C)2个极小值点与2个极大值点,无拐点；(D)2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7.设有连续的一阶导数，则（）(A)；(B)；(C)；(D)0.8.设任意项级数条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为,将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与（）(A)两者都收敛；(B)两者都发散；(C)一个收敛一个发散；(D)以上三种情况都可能发生.二、设在区间连续，表示,试解答下列问题：（1）用；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：.三、求曲线所围成的平面图形的面积.四、设曲面为曲线()绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分五、设幂级数,当时，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值..六、设函数可微，,且满足求.七、如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数，河流中水的流速为常数，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点.竞赛试题3一、选择题1.设，且，则（）(A)存在且等于零;(C)不一定存在；(B)存在但不一定等于零；(D)一定不存在.2.设是连续函数，的原函数，则（）(A)当为奇函数时,必为偶函数；(B)当为偶函数时,必为奇函数；(C)当为周期函数时,必为周期函数；(D)当为单调增函数时,必为单调增函数.3.设，在内恒有，记，则有（）(D)不确定.(A);(B);(C);4.设有连续导数，且，，当时，是同阶无穷小，则（B）(C)2；(D)1.(A)4；(B)3；5.设，则在点（）(A)不连续；(B)连续但偏导数不存在；(C)可微；6.设(D)连续且偏导数存在但不可微.，则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为（）(A)；(B)3,11；(C)；(D).7.设是包含原点在内的两条同向闭曲线，的内部，若已知（k为常数），则有（）(A)等于k；(B)等于；(C)大于k；(D)不一定等于k，与L2的形状有关.8.设在处收敛，则在处（）二、设，试确定、的值，使都存在.三、设四、设的一个原函数，且，求.，S为的边界曲面外侧，计算五、已知，，，…，，….求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根.六、设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：,其中D为圆环域：七、有一圆锥形的塔，底半径为R，高为，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为，楼梯入口在点,试求楼梯曲线的方程.竞赛试题4一．设函数二．若由方程确定，试求（10分），试确定常数的值。（10分）三．（10分）四．设一阶连续可导，且=0，求证：至少存在一个（15分），使．（10分）五．设利用导数证明：六．设，试求，且，当时，有。（15分）七．假设曲线：（0）、轴和所围成的平面区域被曲线：分为面积相等的的两部分，其中是大于零的常数，试确定的值。（15分）八．已知函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且；(7分)，证明：（1）存在，使得（2）存在两个不同的点，，使得解答提示:(8分)一.x=0,时y=1两边对x求导,再将x=0,y=1代入即可.二.,且，故必有：.再用洛必达法则推出a=1,c=1/2三.作变换即可四.构造辅助函数,在区间[0，1]应用罗尔中值定理.五.构造辅助函数,证明其在(0,+∞)内只有一个极小值点,故对一切都有：=＞0六.由，知即解出代入初始条件即得（）七.先求出两条曲线交点的横坐标积分=又,由知,八.(1)构造辅助函数，在[0，1]上应用零点存在定理即可.（2）利用(1)的结果,分别在[0,]和竞赛试题5上对应用拉格朗日中值定理即可.一、计算题1．求2．求3．求p的值，使4．设，，且，求的表达式5．计算，其中S为圆柱面，（01）z二、设求（1）（2）三、有一张边长为的正方形纸（如图），、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点重合，D落在轴正向上，此时，求：（1）通过，两点的直线绕点垂直于轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xoy平面和过轴的平面所围成的立体体积。的最大值、最小值。四、求函数在五、求六、（满分15分）证明：，竞赛试题61．计算，（a>0，b>0）2.设幂级数的系数满足，，n=1，2，3…，求此幂级数的和函数。解方程由3.已知二阶可导，且，，（1）证明，（2）若4．求，证明5．设，求6．，（）7.设函数满足方程，，，求的极值。8.证明当时，10．设9.求，求a，b的值。11.设，求12.某水库的泄洪口为圆形，半径为1米，现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方（如图）问闸门下降多少米时，泄洪口被盖住一半？13.已知是[0，1]上二阶可导函数，且，，证明：使得。证明竞赛试题7一．选择1．函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：A、必要而非充分条件；B、充分而非必要条件；C、充分必要条件；D、既非充分又非必要条件。2．设=A、B、，则C、D、3．曲线弧A、上的曲线积分和上的曲线积分有关系：B、D、C、4．设其中D是由x=0,y=0,A、I1＜I2＜I3;二、填空题,x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是B、I3＜I2＜I1;C、I1＜I3＜I2;D、I3＜I1＜I2.5．设，则=__________。6．函数在点(0，)处沿轴负向的方向导数是__________。7．设C表示椭圆8．设，其方向为逆时针方向，则曲线积分_________。，则I=________________。三、计算9．求极限10．函数。由方程所确定，求。11．求函数的极大值点或极小值点。12．设闭区域为D上的连续函数，且求13．计算二重积分，其中D是由抛物线及直线y=x+4所围成的区域。14．计算I=2yzdv,其中Ω是由x2+z2=1,y=0,y=1所围的位于z≥0部分的立体。所确定的平面域的边界线，求15．已知L是由。16．计算曲线积分，式中L是正向圆周四、证明题17．试证曲面的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。证明：曲面上点处的切平面法向量竞赛试题8一．填空题1若，试确定常数2．设，且，当时，有，则——3．设4．设有连续导数，且，，当时，是同阶无穷小，则——的一个原函数，且，则=——5．已知当时，的导数与，为等价无穷小，则的解，则=——6．设是微分方程的满足=——7．设为8．曲线9.求在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则所围成的平面图形的面积是————的导数。10.求极限。二．计算题1.求2.设f(x)在x0处连续。证明：在x0的某邻域(x0-δ,x0+δ)内，f(x)有界。3.设y=ln(secx+tgx),求4．设在区间连续，,试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：.5．如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨。假设在静水中船速为常数，河流中水的流速为常数论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点.答案一．填空题1.a=1,c=1/22（）3．k=38．4．5．6．17．910