213格林公式曲线积分与路线无关性汇总

格林公式曲线积分与路线没关性精选资料§3格林公式曲线积分与路线没关性教课目标：掌握格林公式，理解格林公式的证明，掌握格林公式应用的特别技巧．掌握曲线积分与路线没关的条件，理解曲线积分与路线没关的条件的定理的证明，掌握曲线积分与路线没关的条件定理应用的特别技巧．教课要点：格林公式，曲线积分与路线没关的条件.教课难点：格林公式应用的技巧，以及曲线积分与路线没关的条件定理应用技巧.教课过程一、格林公式地区界限的正方向的规定：略定理21.11若函数Px,y，Qx,y在闭地区D上连续，且拥有连续的一阶偏导数，则有QPdPdxQdy（）Dxy=L，1这里L是地区D的界限曲线，并取正方向．公式（1）称为格林公式．证明按地区的形状分三种状况来证明.（ⅰ）若地区D既是x型又是y型地区（如图）地区D表示为：1xy2x,axb，又可表示为：1yy2y,yQd2yQdxdyDx=1yx仅供学习与沟通，若有侵权请联系网站删除感谢2精选资料Q2y,ydyQ1y,ydyQx,ydyQx,ydyQx,ydy==CBECAE=L，dPx,ydx同理可证Dy=L，上述两式相加即得QPPdxQdydDxy=L.（ⅱ）若地区D由一条按段圆滑的闭曲线围成，用几条圆滑曲线将它分红有限个既是x型又是y型子地区，而后逐块应用（ⅰ）获得它的格林公式，并相加即可，如图中所示的状况则有QPQPddxyDxy=D1+QPdQPdD2xy+D3xyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdy=L1+L2+L=L．（ⅲ）若地区D为由若干条闭曲线所围成的多连通地区，如图为例，可增添直线段AB,EC，把地区转变为（ⅱ）的状况来处理．QPdDxy=PdxQdyABL2BAAFCCEL3ECCGA=PdxQdyPdxQdyL2L3L1=L．格林公式的便于记忆的形式仅供学习与沟通，若有侵权请联系网站删除感谢3精选资料xydPdxQdyDPQ=L．例1计算?SkipRecordIf...?，此中曲线AB是半径为r的圆在第一象限的部分．解半径为r的圆在第一象限的部分为地区D，由格林公式dxdyxdyxdyxdyxdyxdyD=L=OAABBO=0+OA0=OA,所以yAr2DxdydoLBxOA=D=4．例2计算?SkipRecordIf...?，此中L为任一不包括原点的闭地区的边界．解格林公式条件知足，故xdyydxQPyxdI=Lx2y2=Dxyd=Dxx2y2yx2y20d=D=0.计算抛物线xy2例3axa0与x轴所围的面积.解1xdyydx1xdyydx1ydxS2xdy=L=2AMO+2ONAD01a21xdyydx1xa1axxdx=2AMO+0=2a2ax6．二、曲线积分与路径的没关性仅供学习与沟通，若有侵权请联系网站删除感谢4精选资料单连通地区的观点：若对平面地区D内的任一关闭曲线，皆可不经过之外的点而连续缩短于D内的某一点，称D为单连通地区．不然称为复连通地区．D

D单连通地区复连通地区定理21.12设D是单连通闭地区．若函数Px,y，Qx,y在D内连续，且拥有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：（ⅰ）关于D内任一按段圆滑的关闭曲线L，有PdxQdyL=0；（ⅱ）关于D内任一按段圆滑的曲线L，曲线积分PdxQdyL

与路线没关．只与L的起点及终点相关；（ⅲ）PdxQdy是D内某一函数u的全微分，即duPdxQdy；PQ（ⅳ）在D内到处建立yx．证明（ⅰ）（ⅱ）如图PdxQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyARBASB=ARBBSAPdxQdy=ARBSA=0,PdxQdyPdxQdy所以ARB=ASB．（ⅱ）（ⅲ）仅供学习与沟通，若有侵权请联系网站删除感谢5精选资料设Ax0,y0为D内必定点，Bx,y为D内随意一点，由PdxQdy（ⅱ）曲线积分AB与路线的选择没关，故当Bx,y在D内改动时，其积分值是Bx,y的函数，即有PdxQdyD，因为积分与路线没关故ux,y=AB．取x充分小，使xx,y函数ux,y关于的偏增量PdxQdyPdxQdyPdxQdyuxx,yux,y=ACAB=BC,此中直线段BC平行于x轴由积分中值定理可得xxu=uxPdxQdyPx,ydx=Pxx,yx,此中x,yux,y=BC=x1，由Px,y在D上的连续性uuPxx,ylimlimx=x0xx0=Px,y.u同理可证y=Qx,y．所以duPdxQdy（ⅲ）（ⅳ）设存在ux,y，使得duPdxQdy,所以Px,y=xux,y，Qx,y=yux,y，所以P2uQ2uy=xy，x=yx,因Px,y，Qx,y在地区D内有连续的偏导数，所以2u2uxy=yx,进而在D内每一点处有PQy=x．仅供学习与沟通，若有侵权请联系网站删除感谢6精选资料（ⅳ）（ⅰ）设L为D内任一按段圆滑关闭曲线，记L所围的地区为．因为D为单连PQ通地区，所以地区含在D内．应用格林公式及在D内恒有y=x的条件，就获得PdxQdyQPdL=Dxy=0.以上证了然所述四个条件是等价的．PQ注1：第二十章§2中的例1，因不知足y=x，故积分与路线相关，而例PQ2中y=x知足，故积分与路线没关．注2：条件单连通地区是证明要的本节例2中，yxxx2y2yx2y2=0在除掉原点的地区内是建立，但L为绕原点的关闭曲线时，L所围成的地区包PQ含原点，y=x建立的地区不是单连通的，因此闭曲线积分能够不为零．事实上设L为绕原点一周的圆时，L：xacos，yasin，02,则有xdyydx2d2Lx2y2=0．若函数ux,y拥有性质dux,yPx,ydxQx,ydy,称ux,y为Px,ydxQx,ydy的一个原函数.函数Px,y，Qx,y知足定理21.12时，在D内的原函数可用路线积分的方法求出．仅供学习与沟通，若有侵权请联系网站删除感谢7精选资料例4应用曲线积分求?SkipRecordIf...?的原函数.解Px,y=2xsiny，Qx,y=xcosy在整个平面上有连续的偏导数，且PQy=x=cosy,故积分与路线没关，取原点O0,0为起点，Bx