数学建模知识课件1p sxjmo

6.3模型的参数估计

数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学关系式,但公式中几乎总是涉及一些参数.

如用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对土豆产量的影响：要得到最终可应用于实际的经验模型，必须确定公式中的各个参数求模型中参数的估计值有三种常用方法：图解法、统计法、机理分析法。

对经验模型的精度要求不高,只需对参数做出粗略估计时可采用图解法.例6.3.1

磷施肥量与土豆产量的关系式

需估计三个参数A、B、C,观察数据散布图，1.图解法磷施肥量

－土豆产量数据散布图

数据点都位于直线

y=43的下方，并且数据点越来越靠近这条直线，可以估计A=43.

例6.2.2(见P158例7.2.1)表中给出了12月1日(星期二)和12月2日(星期三)两天内的海浪潮高度值(相对于海堤上的零标尺记号,以米为单位),能依据此表来预测12月5日(星期六)下午1:00的海浪高度值吗？分析

根据对数据散布图的分析,采用函数

需估计振幅

a和频率b.解决方法：1)直接量出高低浪之间的高度差为6.6米，2)量出海浪变化周期约为12.3小时

得经验模型

将频率的估计代入(2)式,有代入x(0)=c=2.4及

x(23)=3.6

得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型模型应用预测12月5日下午1:00的海浪潮高度为

x(109)=2.4cos(5.11×109)－2.7sin(5.11×109)=2.4cos(55.7)－2.7sin(55.7)=2.4cos(5.430－2.7sin(55.7)≈3.6(米).

误差分析

这一时刻潮位的实际观察值为4.1米,相对误差大约是12%,请考虑一下成因.仔细分析散布图,可发觉图中(1)x=0似乎不是海浪高低潮位的中值;(2)振幅随时间的延续似乎在轻微地增大.思考

怎样考虑这些细节来修改模型,以获得更准确的预报呢？2.统计法

仅介绍基于随机数据的回归模型的部分参数估计方法.1）一元回归模型

常用最小二乘法估计方法：设有一组样本值:对选定的一元回归函数,回归模型为～N(0,σ2),

为模型的残差平方和.应选取μ(x)中的未知参数,使S达最小值

当回归函数为μ(x)=a+bx，回归模型～N(0,σ2)称为一元线性回归模型,其残差平方和为

对S

分别求关于

a,b

的偏导数,并令其等于零得线性方程组如下：整理得正规方程(组)：

求得解一元线性回归模型参数估计公式其中

部分非线性回归函数经变量代换可化为线性函数,利用线性参数估计公式进行估计.

例6.4.1

磷施肥量和土豆产量的回归函数选为对数据进行相应变换,可估计出

得到磷施肥量和土豆产量的经验公式分析

有

例6.4.2

若用威布尔函数作为磷施肥量和土豆产量的回归函数与目测法的结论惊人一致.相对于新变量x，lnz,这是一元线性函数.两边取对数,有2)正态多元线性回归模型

设因变量Y和可控变量的N次试验结果的试验数据如下Y=Xβ+ε得样本模型其中(1)ε～N(ON×1,σ2IN×N),即ε的分量相互独立同分布,且;(2)X是非随机矩阵，且是对称满秩矩阵.并且设分别是的估计.应选使得全部观察值yi与回归值的残差平方和达到最小.其正规方程的矩阵形式为由于是满秩矩阵，Rank()=P+1≤N，方程有唯一解其中:正规方程组的系数矩阵(信息矩阵):正规方程组的常数项矩阵.b:回归系数向量的最小二乘估计.b有以下统计性质：(1)b是待估参数向量β的无偏估计量，即b是经N维正态随机变量Y经线性变换而得,故服从P+1维正态分布.(2)回归系数向量b的相关矩阵等于与系数矩阵的逆矩阵的乘积,即一般相关矩阵中的元素cij,(i≠j)不全为零.会给多元线性回归模型的建立带来较大的困难.结论:回归系数向量的最小二乘估计b0,b1,…,bP存在相关性.

例6.4.3

非线性交调的频率设计(1993全国大学生数学模型联赛题).

非线性交调的频率设计问题广泛存在于通讯系统中.这里是卫星通讯中频率设计问题中的经简化的部分工作,有一个非线性(SCS)系统,随时间变化且频率为的输入信号是已测得输入信号u(t)和信号输出y(t)的一组数据如下表输入u0510203040506080输出y02.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50根据这一组数据建立SCS系统的输入和输出关系式.假定输入和输出信号的回归函数是多项式函数对固定的时刻t,令将实际数据代入结构矩阵有估计得回归系数向量的最小二乘估计为估计出系统输入输出关系式为思考此模型有什么缺陷?与数据条件u=0，y=0不符.选回归函数常数项β0=0更为合理:去掉数据对(0,0),根据其余的8对数据可得

统计法特点统计分析法应用于变量间存在相关关系的情形,并且需要较多数据为基础.

3.机理分析法

通过对问题的内部机理进行分析,找出变量间的因果关系,从而确定出参数.例6.4.4录像机磁带计数器模型1.在磁带开始运行时设置为“0000”，“180分钟”结束时显示读数为“1849”,实际所花的时间为185分20秒.2.记数器从“0084”转到“0147”时用了3分21

秒的时间.

现在记数器上显示为“1428”,问余下的磁带是否足够再记录60分钟长的节目？

已建立经验公式

在一台录像机上有一个四位数字的记数器.其中w

—录象带的厚度；r—转动轴半径；

v—转动速度；k—显示读数和旋转周数的比例系数.

通过进一步分析简化模型,使所含的未知参数尽可量少,用很少的几个数据求得参数的估计值.

上式化为可利用的数据如下

时间t0t1t1+3.35185.33读数n(t)0008401471849t=0，n=0是模型的初始条件,将后三组数据代入得关于t1,α与β的三元方程组（*）此方程求解很困难，寻求更好的方法.将（*）改写成为t=t(n)的反函数形式，有或者

得到关于n(t)和t的等价形式其中a，b为未知参数.

代入数据经整理得从中消去t1得解得a=2.908×10－5，b=0.046456.得经验模型t=0.00002908n2＋0.046456n思考式子中a的数值远远小于b的数值，是否能消去an2项？

模型分析考虑式中的数量级，若n～O(103)，则有an2～O(10－5×106)～O(10)，bn～O(10－2×103)～O(10).两项具有相同的数量级，都必须保留.问题解答

当n=1428时，t的值为

t=