《中国古代数学中的算法案例》教学设计

《中国古代数学中的算法案例》教学设计一、教案背景1．面向学生：高中2．学科：数学3．课时：14．学生课前准备：通过阅读课本找出中国古代数学中的算法案例，结合案例，了解一下中国古代主要的数学家和数学著作。二、教学课题1．知识与技能目标：（1）了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；（2）通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。2．过程与方法目标：（1）改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻辑思维能力；（2）学会借助实例分析，探究数学问题。3．情感与价值目标：（1）通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；（2）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。三、教材分析本节为为高中数学人教B版必修三中第一章第三节课，本节课的重点是理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法，难点是为算法编写程序。求最大公约数的更相减损之术，教材对这个算法编好了程序，可让学生通过执行程序来学习体会此算法，注意让学生自主解释此算法的有穷性。欧几里得的辗转相除法也是求最大公约数的有效算法，在实际问题中和抽象代数理论上都有重要应用，它的程序可参看本小节中的探索与研究，可鼓励学生自主编写程序。割圆术可以启发学生自己编写算法，和Scilab程序，试验证明，学生对此非常感兴趣秦九韶算法一方面，这个算法是目前仍在广泛使用（很多文献中称之为霍纳法）；另一方面，秦九韶算法给我们提供了一个比较算法优劣的机会，一般地说，在中学生的程度上比较分析算法的优劣不是容易的事，所以要利用这个机会让学生对算法的优劣性有所体会。四、教学方法

通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。五、教学过程说明如何导入该课程，主要教学点的设计，知识拓展等。1、课前任务：请同学们自己查一些资料或者上网搜索一些中国古代的数学家以及其主要成就：【百度知道】中国古代数学家（提前认识一下中国古代的数学成就，激励同学们需要继续努力）2、课上探讨：同学们是否知道，我们在小学、初中学到的算术、代数，从记数到多元一次联立方程组以及方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的，有的比其他国家早几百年甚至上千年，我们人民在长期的生活、生产和劳动过程中，创造了整数、分数、小数、正负数及其计算，以及无限逼近任意实数的方法，在代数学、几何学方面，我国在宋、元之前也都处于世界前列，更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，走着与西方完全不同的道路，在今天看来这条道路仍然有很大的优越性。这条道路的一个重要特色就是“寓理于算”，也就是本节中所讲的要把解决问题“算法化”。下面我们举一些我国古代数学中算法的例子，让同学们更进一步体会“算法”的概念，看一看中国古代数学家的伟大成就和显著特色。下面就中国古代的数学成就，结合算法的知识，主要了解一下下面三个方面的内容：求两个正整数最大公约数的算法、割圆术和秦九韶算法。一、求两个正整数最大公约数的算法：更相减损之术我们知道，如果整数a能被整数b整除，则b称为a的一个约数，一个整数可能有好几个约数。例如，12能被1,2,3,4,6,12整除，这6个数都是12的约数。16的有1,2,4,8,16这5个约数。我们看到2和4，既是12的约数，又是16的约数，2和4叫做12和16的公约数，公约数2和4中，4最大，4称作12和16的最大公约数。如何找到一种算法，对任意两个正整数都能求出它们的最大公约数呢？下面给出我国古代数学家的一个算法，这个算法被称做“更相减损之术”。（了解更相减损之术的出处，开拓知识容量）我们以求16,12这两个数的最大公约数为例加以说明。用两个数中较大的数减去较小的数，即16-12=4，用差数4和最小的数12构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，知道产生一对相等的数，这个数就是最大公约数。整个操作如下：4是12和16的最大公约数。这种算法的道理何在？不难看出，对任意两个数，每次操作后所得的两个数与前两数具有相同的最大公约数，而两数的值逐渐减少，经过有限步地操作后，总能得到相等的两个数，即求得两数的最大公约数。例1：求78和36的最大公约数。解：这种算法，只做简单的减法，操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全是机械的运算，据此很容易编出程序，在计算机上运算，把这个算法与我们下面探索与研究中介绍的欧几里德算法比较，看看这个算法的优越性。下面是我们用Scilab编出的程序，供大家参考。实际上，你可用你在信息技术课上学到的任一种程序设计语言编出程序，从中体会一下这个算法的优越性。为了方便叙述，我们称这种算法为“等值算法”用等值算法求最大公约数的程序：a=input("pleasegivethefirstnumber");b=input("pleasegivethesecondnumber");whilea<>b

ifa>b

a=a-b

else

b=b-a

endendprint(%io2(2),a,b)

把这个程序保存成文件，可随时调入Scilab界面运行，求任意两个正整数的最大公约数。课后任务：【百度百科】九章算术【百度百科】刘徽【百度百科】辗转相除法（增加知识容量）二、割圆术

我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”他的思想后来又得到祖冲之的推进和发展，计算出圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位。

刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值。可以想象在当时需要付出多么艰辛的劳动，现在让我们用刘徽的思想，使用计算机求圆周率的近似值，计算机最大的特点是运算速度快，只要我们将运算规律告诉计算机，计算机会迅速得到所求的答案。

我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律。【百度图片】刘徽割圆的弧田图

如上图所示，假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为，边长为xn，边心距为hn，根据勾股定理，。

正2n边形的面积为正n边形的面积再加上n个等腰三角形的面积和，即①正2n边形的边长为。刘徽割圆术还注意到，如果在内接n边形的每一边上，做一高为CD的矩形，就可得到这样我们就不仅可计算出圆周率的不足近似值，还可计算出圆周率的过剩近似值。

正六边形的面积开始计算，即n=6，则正六边形的面积。用上面的公式①重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形……的面积。因为圆的半径为1，所以随着n的增大，的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值。下面我们根据刘徽割圆术的算法思想，用Scilsb语言写出求π的不足近似值程序：n=6x=1s=6*sqrt(3)/4fori=1:1:5

h=sqrt(1-(x/2)^2)

s=s+n*x*(1-h)/2

n=2*n

x=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2)endprint(%io(2),n,s)

运行程序，当边数为192时，就可以得到刘徽求的的圆周率的近似值3.14，当边数为24576时，就得到了祖冲之计算的结果3.1415926.由于是用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是小于π的实际值。作为练习，请同学们编出程序求作为π的过剩近似值。课后任务【百度文库】祖冲之和圆周率/view/f5e8cfc789eb172ded63b7c7.html三、秦九韶算法已知一个一元n次多项式函数，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得P(xo)。下面看看我们宋代（约13世纪）大数学家秦九韶是如何计算多项式函数值的。

让我们以5次多项式函数为例加以说明。

首先，我们把这个多项式一步一步的进行改写：

上面的分层计算，只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，知道最外层的一个括号，然后加上常数项。

这种算法与直接算法比较，有什么有什么优越性呢？首先，这种算法一共做了5次乘法，5次加法，与直接计算相比较大大节省了乘法的次数，是计算量减少，并且逻辑结构简单。

对任意一元n次多项式，类似的叙述如下：

上面的方法，现在大家称它为秦九韶方法。直到今天，这种算法仍是世界上多项式求值的最先进的算法。

这种方法的计算量仅为：乘法n次，加法n次。我们看看其他算法的计算量。

用直接求和法，直接计算多项式各项的值，然后把他们相加。可知乘法的次数为，加法次数为n。逐项求和在直接求和法的基础上做了改进，先把多项式写成的形式，这样多项式的每一含x的幂的项都是与的乘积（k=1,2,3，……，n），在计算项时把的值保存在变量c中，求项时只须计算，同时把的值存入c中，继续下一项的运算，然后把这n+1项的值相加。容易看出逐项求和法所用乘法的次数为2n-1，加法次数为n，当时，通过上面的比较，我们可看到秦九韶算法比其他算法优越得多。3、课堂小结：

本节主要学习了中国古代的三个算法问题：更相减损之术求两个正整数的最大公约数、割圆术求圆周率和秦九韶求一元n次多项式的值，重点在于这三种方法的应用，难点就是如何去编制算法语言，主要以了解为主。4、当堂练习：（1）.下面各组关于最大公约数的说法中不正确的是（C）A.80与36的最大公约数是4B.294与84的最大公约数是42C.85与357的最大公约数是34D.228与741的最大公约数是57（2）.我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率，其算法的特点为（C）A.运算速率快B.能计算出的精确值C.“内外夹逼”D.无限次地分割（3）.用更相减损之术求81与135的最大公约数时，要进行3次减法运算。5、课后作业（1）.145与232的最大公约数是（）（2）.用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是（）的实际值A.大于等于B.小于等于C.等于D.小于（3）.数51与85的最大公约数及最小公倍数。（4）.（创新应用）《孙子算经》有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”你能设计一个程序解决这个问题吗？六、教学反思

算法是中国古代数学的优良传统.《九章算术》及其刘徽开创了中国传统数学构造性和机械化的算法模式.中国传统数学以算为主、以术为法的算法体系,同古希腊以《几何原本》为代表的逻辑演绎和公理化体系异其旨趣,在数学历史发展的进程中争雄媲美,交相辉映.吴文俊先生提出,数学机械化思想贯穿于中国传统数学,数学机械化思想是我国古代数学的精髓.他分析了中国传统数学的光辉成就在