2022年新高考数学二轮复习（回扣篇）第8练　恒成立问题与能成立问题

恒成立问题与能成立问题第8练考情分析恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，难度大，一般为高考题中的压轴题.一、恒成立问题例1

(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；解当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，由于φ′(x)＝ex＋2>0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；令t(x)＝h′(x)，x≥0，则t′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；规律方法

(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围.(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.(3)判断含x，lnx，ex的混合式的函数值的符号时，需利用x0＝

及ex≥x＋1，lnx≤x－1对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于x的一次式或二次式，再判断符号.跟踪训练1

(2021·郴州质检)已知函数f(x)＝1＋aexlnx.(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性；解f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴当x＝1时，g(x)取得极小值即最小值g(1)＝1，∴f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增.(2)若不等式f(x)≥ex(xa－x)(a<0)，对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.解不等式f(x)≥ex(xa－x)⇔e－x＋x≥xa－alnx⇔e－x－lne－x≥xa－lnxa，设k(t)＝t－lnt，即k(e－x)≥k(xa)，

(*)∴当t∈(0,1)时，k′(t)<0，k(t)在(0,1)上单调递减；当t∈(1，＋∞)时，k′(t)>0，k(t)在(1，＋∞)上单调递增，∵x∈(1，＋∞)，0<e－x<e－1<1，当a<0时，0<xa<1，且k(t)在(0,1)上单调递减，当x∈(1，e)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)min＝h(e)＝e，则－a≤e，∴a≥－e，又a<0，∴a的取值范围是[－e,0).二、能成立问题例2

(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；解f(x)的定义域为(0，＋∞)，设g(x)＝ax－a－lnx，则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0，因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.综上，a＝1.(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2<f(x0)<2－2.证明由(1)知f(x)＝x2－x－xlnx，f′(x)＝2x－2－lnx，当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0.因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点.由f′(x0)＝0，得lnx0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0).因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点，由e－1∈(0,1)，f′(e－1)≠0，得f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以e－2<f(x0)<2－2.规律方法

(1)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法若a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；若a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.(2)不等式能成立问题的解题关键点跟踪训练2

(2021·梧州模拟)已知函数f(x)＝2x－

＋klnx.(1)当k＝－3时，求f(x)的极值；①当k≤0，x∈[1，e]时，h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上单调递增，h(x)min＝h(1)＝1＋k＋1<0⇒k<－2.∵－2<0，∴k<－2.②当1<k＋1<e，即0<k<e－1，x∈[1，k＋1)时，h′(x)<0，x∈(k＋1，e]时，h′(x)>0，h(x)在区间[1，k＋1]上单调递减，在区间[k＋1，e]上单调递增，∴h(x)min＝h(k＋1)＝k＋1＋1－kln(k＋1)＝k＋2－kln(k＋1).∵