2022高考数学创新设计二轮复习 微专题三　最值与范围问题

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专题五

解析几何

微专题三最值与范围问题热点聚焦

分类突破专题训练

对接高考内容索引1热点聚焦

分类突破突破点一距离与面积的最值(范围)(1)求椭圆C的方程；解由已知得b2＝3，a＋c＝3，a2＝b2＋c2.联立以上3个式子，可得a2＝4，解法一因为过F(1，0)的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，所以设l的方程为x＝ty＋1，所以四边形AOBE为平行四边形，所以S＝S▱AOBE＋S△OGB＝3S△AOB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0.1.本题求四边形AGBE面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.探究提高【训练1】

(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p的值；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.解

由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，则Δ＝16k2＋16b>0

(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，即P(2k，－b).因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1

①，且－1≤2k≤1，－1≤4－b≤1，突破点二斜率与某些参数(式子)的范围(最值)(1)求椭圆C的标准方程；联立以上3个式子，可得a2＝16，b2＝12，c2＝4.解由(1)得A(4，0).易知直线l不与x轴平行.当直线l⊥x轴时，不妨设点E在点F上方.因为AE⊥AF，所以直线AE的倾斜角为135°，所以直线AE的方程为y＝－x＋4.因为AE⊥AF，即7t2＋32kt＋16k2＝0，探究提高探究提高(1)求直线AP斜率的取值范围；解设直线AP的斜率为k，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1).令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，突破点三范围(最值)的探索性问题(1)求椭圆C的标准方程；解设椭圆C的半焦距为c.(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q，是否存在点T(t，0)，使得|TP|＝|TQ|？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.解假设存在点T(t，0)，使得|TP|＝|TQ|.由直线PQ过F2(1，0)，设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为N(x0，y0).当k＝0时，t＝0，符合题意.得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝(－8k2)2－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144k2＋144>0，连接TN，因为|TP|＝|TQ|，所以TN⊥PQ，则kTN·k＝－1(kTN为直线TN的斜率).1.探索性问题的求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.2.本题的求解体现了数形结合思想在解答圆锥曲线问题中的应用.解题关键是如何将题设条件中的几何关系“|TP|＝|TQ|”转化成代数关系“kTN·k＝－1”，由此建立t关于k的函数关系式，进而求出t的取值范围.探究提高(1)求该抛物线的方程；又抛物线x2＝2py(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，于是抛物线的方程为x2＝4y.(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由.解△PAB的面积存在最小值，理由如下：由抛物线方程x2＝4y知，F(0，1).易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx＋1.且Δ＝(－4k)2－4(－4)＝16k2＋16>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.当且仅当k＝0时等号成立.故△PAB的面积存在最小值4，此时直线l的方程为y＝1.专题训练

对接高考21.(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程；解

由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x.解

由(1)知F(1，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(2)若M，N，O三点共线，直线NF1与椭圆C交于N，P两点，求△PMN面积的最大值.由题意知－2<y0<2，(2)若F1，F2分别是椭圆E的上、下焦点，经过点F1的直线l与椭圆E交于M，N两点，O