2022年浙江省宁波市高考数学一模试卷及答案解析

2022年浙江省宁波市高考数学一模试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(4分)已知实数集R,集合4={x|2WxW4},8={x|3WxW5},贝lj(CR4)U8=()

A.{x[4<xW5}B.{x|x<2或x>3}C.34Wx<5}D.{x|xW2或x》3}

2.（4分）若复数z满足（1+z）”=2-i,则复数z的模为|z|=（）

A.2B.2V2C.2V3D.4

3.（4分）已知双曲线。与双曲线C2：号一丫2=1有相同的渐近线，且它们的离心率不相

同，则下列方程中有可能为双曲线G的标准方程的是（）

4.（4分）设x€R,则+是“xWl”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（4分）已知一个侧棱均相等的三棱锥的三视图（如图），根据图中标出尺寸（单位：cm）,

可得这个三棱锥的体积是（）

11

V-3--

8D.4

12

6.（4分）已知某函数的图象（如图），则该函数的解析式可能为（）

第1页共22页

A.y=xln\x\B.y='^

1x—工

C-y=(x--)-el%lD.、=涓

7.(4分)将3只小球放入3个盒子中，盒子的容量不限，且每个小球落入盒子的概率相等.记

x为分配后所剩空盒的个数，y为分配后不空盒子的个数，则()

A.E(X)=E(Y),D(X)=D(HB.E(X)=E(D,D(X)半D(D

C.E(X)WE(y),D(X)=D(y)D.E(X)手E(X),D(X)手D(K)

8.(4分)如图，在正方体Z8C。-/181clz)i中，点E,尸分别为MS,8c的中点，设过

点、E,F,的平面为a,则下列说法正确的是()

A.在正方体ZG中，存在某条棱与平面a平行

B.在正方体/Ci中，存在某条面对角线与平面a平行

C.在正方体4。中，存在某条体对角线与平面a平行

D.平面a截正方体AC\所得的截面为五边形

炉一3x,Xv0

■,若存在互不相等的实数a,b,c,d,使得了

｛|l+Znx|,x>0

(a)=f(b)=f(c)=/(d),则Med的取值范围为()

A.(0,e'2)B.(0,e'1)C.(0,2e-1)D.(0,1)

411

10.(4分)已知无穷项实数列｛“”｝满足：a\=t,且——=---则()

Gn+1an1

A.存在f>l,使得。2011=。1

B.存在t<0,使得42021=41

C.若4221=〃”则。2=。1

D.至少有2021个不同的/,使得42021=。1

二、填空题：本大题共7小题，单空题每小题6分，多空题每小题6分，共36分。

11.(6分)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一

第2页共22页

直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在非等边△/8C中，AB=AC=4,点

8坐标为（-2,2）,点C坐标为（3,-1）,且其“欧拉线”与圆M：-2（r>0）

相切，则△Z8C的“欧拉线”方程为,圆〃的半径/■=.

x+y-1>0

12.（6分）若实数满足约束条件卜一y+lNO，则zi=2xtT的最小值为，z2=

2x—y—2>0

我最大值为.

13.（6分）已知（1-3立产的展开式的各项系数的绝对值之和为1024,*=,展开

3

式中含H的项的系数为.

14.（6分）如图，在△/8C中，/C=3,8c=2,NZC8=60°,点力在边Z8上，且CZ）

=2,则/8=,△88的面积为.

15.（4分）某学校社会实践小组共有7名成员，该小组计划前往该地区的三个红色教育基

地进行“学党史，颁党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，

每个基地至少有两名成员前往，且甲、乙、丙三名成员作为负责人分别带队前往三个基

地，则不同的服务方案共有种.

K2

16.（4分）如图，已知A/（1,0）,P,0是椭圆三+丫？=1上的两点（点0在第一象限）,

且直线尸。用的斜率互为相反数.若1PM=2©M，则直线。〃的斜率为.

17.（4分）已知a,b,e是平面向量，之是单位向量.若滔-4a*e+2e2=0,b2-3b*e+2e2=0,

则浸-2之1+2京的最大值为.

三、解答题

18.（14分）已知函数/'（x）=6si*3x+gsin23x-3（3>0）的最小正周期为4.

第3页共22页

(I)求3的值及函数/(X)的对称中心;

(H)若/(X。)=坞，且出6(-2,0),求/(&+/)•

19.(15分)如图，在四棱锥P-48co中，底面4BCD是矩形，PD=CD,PC_L4D,点E

为侧棱PC上一动点(不含端点).

(I)求证：平面平面PCD；

(H)若/。=1,CD=2,ZPCD=30°,是否存在点E使得直线尸8与平面/OE所成

PE

角为60°?若存在，求出「的值；若不存在，说明理由.

20.(15分)已知公差不为。的等差数列｛利｝的前〃项和为S”，且。5=53=域.

(1)求数列｛〃”｝的前〃项和S,:

(II)在数列｛d｝中，4=2,且加+加+-+b”=6”+i-2.若对任意的正整数小不等式入2.

n+1

bn-24入•(S“一1)恒成立，求实数人的取值范围.

21.(15分)如图，已知点尸是抛物线C：丁=以上位于第一象限的点，点4(-2,0),

点Af,N是y轴上的两个动点(点/位于x轴上方)，满足尸尸N,AMUN,线段

PN分别交x轴正半轴、抛物线C于点。，Q,射线心交x轴正半轴于点E.

(I)若四边形为矩形，求点P的坐标；

(II)记△OOP,△QE0的面积分别为Si，S2，求S「S2的最大值.

22.(15分)对于正实数a,b(a>b),熟知基本不等式：G(a,b)<A(a,b'),其中4(a,b)=—^―

为a,b的算术平均数，G(a,b)=融为a,b的几何平均数.现定义“，b的对数平均

第4页共22页

数」(a，乃=岛访

11

(I)设x>l,求证：Inx<2(x--)；

(II)(i)利用第(I)小问证明不等式：G(〃，b)<L(a,b)；

(ii)若不等式左吆(a,b)<G(a,b)+A(a,b)对于任意的正实数a,b(a>b)

恒成立，求正实数人的最大值.

第5页共22页

2022年浙江省宁波市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(4分)已知实数集R,集合4={x|2<xW4},8={x|3WxW5},贝ij(CRN)U8=()

A.{x[4<xW5}B.{x[x<2或x23}C.{x|4Wx<5}D.{x|xW2或x23}

【解答】解：•••CM={x|x<2或x>4},

(CR/)U8={X|X<2或X23}.

故选：B.

2.（4分）若复数z满足（1+z）”=2-i,则复数z的模为|z尸（）

A.2B.2V2C.2V3D.4

【解答】解：：（1+z）”=2-3

，1+z=宁=一1一2i,则z=-2-2i,

：.|z|=V(-2)2+(-2)2=2V2.

故选：B.

3.（4分）已知双曲线。与双曲线C2：号―y2=i有相同的渐近线，且它们的离心率不相

同，则下列方程中有可能为双曲线Ci的标准方程的是（）

x2y2x2y2

A.---=1B.---=1

4224

y2x2y2x2

C.i--―=1D.片一一=1

4224

【解答】解：双曲线C2：妥产=1的渐近线尸土杀且它的离心率：^=y.

丁——=1的渐近线y==土冬X,且它的离心率：

4242

y2y2

———=1的渐近线方程y=±V2x,且它的离心率：正=y/s9

y2x2V6

1=1的渐近线方程y=±鱼r,它的离心率：—.

y.2避万yTE

万-7=1的渐近线方程_y=±芋k且它的离心率：方=，，

故选：D.

4.(4分)设xCR,则“x+1>2”是“xWl”的()

第6页共22页

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

1_2x+l（X—1）2

【解答】解：Vx+->2<»------------>0<»-——->0«>（x-1）2x>0,...xX）且x#l,

xXX

■:{x|x>0且x#1}S{小W1},

...x+[>2是xfl的充分不必要条件，

故选：A.

5.（4分）已知一个侧棱均相等的三棱锥的三视图（如图），根据图中标出尺寸（单位：cm）,

可得这个三棱锥的体积是（）

11

V3一C

-D.-

1284

【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体4-8。；

如图所示：

所以：0/=1,AE=

利用勾股定理：=芋,

BD=y/3,0C=1,

,11G、1、通1

+故K=xxV3xx-2~=g.

第7页共22页

故选：c.

6.(4分)已知某函数的图象(如图)，则该函数的解析式可能为()

A.y=xln\x\B.y=

1x—工

C-y=(x--)-elx|D.丫=涓

【解答】解：由图象知函数的定义域为{x|xWO},且函数关于原点对称，则函数/(x)为

奇函数，

当％f+8时，由图象知/(%)f+8,

8中，当x-+8时，、=弊一0,不满足条件.排除8,

_1

。中，当Xf+8时，y=X不满足条件.排除。，

。中，当x>0且X―0时，那-H,-8,则/(x)f-8,不满足条件，排除C,

故选：A.

7.(4分)将3只小球放入3个盒子中，盒子的容量不限，且每个小球落入盒子的概率相等.记

X为分配后所剩空盒的个数，丫为分配后不空盒子的个数，则()

A.E(X)=E(X),D(X)=D(DB.E(X)=E(H,D(X)丰D(K)

C.E(X)半E(7),D(X)=D(7)D.E(X)WE(7),D(X)手D(Y)

【解答】解：由题意得X的可能取值为0,1,2,

一步，

P(X=0)—33—9，

一魅惑一2

P(X=l)一『孑

=£1-1

P(X=2)

图一9’

2?1R

•••E(X)=0Xq+lX-24-2=

222

D(X)=(0-1)XJ+(l-1)x|+(2-1)xi=|^;

第8页共22页

y的可能取值为i,2,3,

1

pg)=■=今

U2

p(y=2)=C^=q,

肉3

p(丫=3)=31=^2

E(Y)=lx^,+2x-1-+3x^=

D「(/Y17)、=_(11g9-、)2X-1g4-/(c2-1g9-)、-2XW2]+(/与31g9-)、*2*Xg2=g2j6,

：.E(X)半E(7),D(X)=D(K).

故选：c.

8.（4分）如图，在正方体工88-381。。|中，点E,尸分别为小囱，8c的中点，设过

点E,F,G的平面为a,则下列说法正确的是（）

A.在正方体力Ci中，存在某条棱与平面a平行

B.在正方体4G中，存在某条面对角线与平面a平行

C.在正方体4。中，存在某条体对角线与平面a平行

D.平面a截正方体力。所得的截面为五边形

【解答】解：对于4：因为BCCa=F,8Gta,所以8C,AD,A\D\,囱。都不与a平

行，

又48ina=E,/iBiCa,所以由8i,AB,CD,CiOi都不与a平行，

因为。Oina=Oi,DDi^a,所以。。i，CC\,BB\,44i都不与a平行，

故不存在棱与平面a平行，故4错误；

对于8：由。作截面图形为五边形GEPFM可判断不存在某条面对角线与平面a平行，

对于C：由。作截面图形为五边形DEPFN可判断不存在某条体对角线与平面a平行，

对。：如图，取中点G,易得DiE〃DG,取8中点H,

连接8H,则易得8”〃OG,

第9页共22页

再取C，中点加，连接户加，则

所以FM//D\E,所以是平面a与正方体底面ABCD的交线，

延长MF,与AB的延长线交于N,连接EN,交BB\于P,

则可得五边形OiEPFM即为平面a交正方体力BCQ-小与Ci。的截面，故。正确;

故选：D.

—3x,Y<0

9.(4分)已知函数/(x)=]一，若存在互不相等的实数a,b,c,d,使得/

(|l+/nx|,x>0

(a)=/(6)=/(c)=f0,则abed的取值范围为()

A.(0,e'2)B.(0,屋1)C.(0,2/1)D.(0,1)

【解答】解：当x<0时、f(x)=x3-3x,f(x)=31-3=3(x+1)(x-1),

当x€(-8,-1)时，/(x)<0,/(x)单调递减，

当(-1,0)时，/'(x)>0,/(x)单调递增，且/(-1)=2.

支3_O-yV(")

的图象如图，

(|1+lnx\,x>0

第10页共22页

设/(〃)—f(6)=f(c)=f(d)=m,

直线与函数/(x)的图像有4个交点，观察图像，可得)隹(0,2),

不妨设aVbVcVd,则必有-(1+//7C)=1+加力

*.lnd+lnc=-2,则>(de)=-2,dc=e2.

由/(〃)=f(b),得〃3-3。=〃-3b，：.a3-b3-3ka-b)=0,

即(a-b)(a2-^ab+b2)-3(a-b)=0,得(a-b)(c^+ab^-b2-3)=0,

22

*：aRb,・・・。2+62+。6,3=0,即3_ab=a+b>2ab9得ab<\,

又一gVa<-1,-l<Z><0,:.ab>0,即OVabVL

/•abedE(0,e2).

故选：A,

411

10.(4分)已知无穷项实数列｛〃“｝满足：t7i=6且——=—--7,则()

。九+1即―1

A.存在£>1,使得42011=41

B.存在fVO,使得及021=。1

C.若。221=〃1，则。2=。1

D.至少有2021个不同的看,使得。2021=。1

【解答】解：令瓦=白，则"1=*(解+1+6]])，“EN*,

则02021=01，，历021=4,

若Z>1,则b£(0,1),

:.62Vb3V•••<Z>2021VOvbl,

不可能得到62021=61,故/错误；

若fVO,则biW(-8,o),

.，./>1</>2<63<,,,<^2021<0,不可能得到62021=61，故8错误;

4

。2=。1=历="="=

11

令f(x)=4(x+1+%_]),则bn+\=/(b“),b3=b、oj(f())=b\»

o42

/(/(x))=x=x(3x-4)(5X2-20X+16)=0<=>XG｛0,2-怠2+

.,.当61=2+专时,b\=b3,.*.&=~=・・・=岳021,此时，0021H4,故C错误.

故选：D.

二、填空题：本大题共7小题，单空题每小题6分，多空题每小题6分，共36分。

第11页共22页

11.（6分）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一

直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在非等边△/BC中，4B=4C=4,点、

8坐标为（-2,2）,点C坐标为（3,-1）,且其“欧拉线”与圆M：/+/=户（r>0）

相切，则的“欧拉线”方程为xr-l=O,圆”的半径

【解答】解：•••在△Z8C中，AB=AC=4,

.••8C边上的高线，垂直平分线，中线位于同一直线上，即其“欧拉线”为△N8C边5c

的垂直平分线，

•.•点8坐标为（-2,2）,点C坐标为（3,-1）,

.•.8C的中点为GQ，1）,

二直线BC的垂直平分线的斜率为1,

的垂直平分线方程为y-4=x-|,即x-y-1=0,

•.•“欧拉线”与圆/+/=，（r>o）相切，

二圆心（0,0）到“欧拉线”的距离为d=1°一鼠"=挈=八

_V2

故答案为：x-y-\=0；-

2

俨+y—130

12.（6分）若实数满足约束条件卜一y+1工0，则zi=2x+y的最小值为2，z2=^

[2x-y-2>0

4

的最大值为

【解答】解：由约束条件作出可行域如图,

由图可知，-），联立｛:解得8⑶4）,

第12页共22页

由图可知，当直线zi=2x+y过4时，zi=2xtP有最小值2；

Z2='的最大值为k08=*

4

-

2:3

13.（6分）已知（1-3«）”的展开式的各项系数的绝对值之和为1024,〃=5,展开式

3

中含的项的系数为-270.

【解答】解：在（1-3«尸展开式的各项系数绝对值之和等于（1+3«）"的的展开式的

各项系数之和；

在（1+3日严的中，

令x=l,可得（1+3«产的展开式的各项系数绝对值之和为4"=22"=1024=2?

♦・〃=5,

故（1-3y尸展开式的通项公式为h=@（-3次）』（-3）・x2,

3

...展开式中含显的项的系数为：（-3）3.0=-270.

故答案为：5；-270.

14.（6分）如图，在△4BC中，AC=3,BC=2,ZACB=60°,点。在边力8上，且CD

l3V3

=2,则18=_夕_,△BCD的面积为—〒

【解答】解：因为在△/BC中，NC=3,BC=2,/ZCB=60°,

所以AB=y/AC2+BC2-2AC-BC-cos^ACB=J32+22-2x3x2x1=V7,

AB2+BC2-AC27+4-9="

可得cosB—

-2AB-BC-2xV7x2-14'

所以在△BCD中，由余弦定理可得。。2=8。2+8。2.2BUBDSB,

又点。在边上，且8=2,则4=4+8。2-2X2X8OX存，整理可得80=孚,

又sin8=V1—cos2B=拶»

14

第13页共22页

所以△BCD的面积S=^BD*BC*sinB=iX—X2X2dl=—.

zL/14/

故答案为：>/7,—y-.

15.（4分）某学校社会实践小组共有7名成员，该小组计划前往该地区的三个红色教育基

地进行“学党史，颁党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，

每个基地至少有两名成员前往，且甲、乙、丙三名成员作为负责人分别带队前往三个基

地，则不同的服务方案共有216种.

【解答】解：根据题意，分3步进行分析：

①将甲、乙、丙分步安排到三个基地，有加3=6种安排方法，

②将甲、乙、丙之外的4人分为3组，一组2人，其余2组各1人，有。42=6种分组方

法，

③将分好的三组安排到三个基地，有433=6种安排方法，

则有6X6X6=216种安排方法，

故答案为：216.

x2

16.（4分）如图，已知M（I,0）,P,0是椭圆§+y2=1上的两点（点。在第一象限）,

且直线PM,的斜率互为相反数.若=则直线0M的斜率为1.

【解答】解：延长QM交椭圆于P点，因为直线PM,QM的斜率互为相反数，|PM=210M，

可得户为尸关于x轴的对称点，所以尸M=2|QM，

可得P'M=2而，设P（xi，刈），Q（X2,”），”>0，设直线0M的方程为工=啊升1,

联立+t；2+_13,整理可得：（3+加2）y2+2my-2—0,

则一端①，小2=品②，

由P'M=2而，可得（1-xi，-yi）=2（X2-1,y2），贝卜?=2,2，即刈=-2”③，

①③联立可得”=暮枭’”=-^,代入②中可得：-丹涔^,解得:

加2=[,

第14页共22页

可得加=±1,由/>0可知，〃?=1,

所以斜率g3=1,

故答案为：1.

17.(4分)已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若a?—4a*e+2e2=0,b2-3b*e+2e2=0,

则茄一+2京的最大值为7.

【解答】解：因为泡-4a-e+2e2=0,所以(a—2e)2=2,

因为/—3b-e+2e2=0,(b—e)(b—2e)—0,

作&=2,OB=b,OE='e,OC=2e,则日一2之|=|21|=企，

且“一各(h-2e)=EB-CB=0,所以£8J_C8,

固定点E,则£为OC的中点，则点8在以线段CE为直径的圆。上，

点力在以点C为圆心，鱼为半径的圆C上，如图所示：

a2-2a-b+2b2=|a-6|2+|6|2=\BA^+\OB^<(|BC|+V2)2+\OB\2,

设N8CE=。，则|品Jucose,

因为16bl=2,而2=(CB-CO)2=CB2-2|Ce|«|CO|cos9+CO2=4-3cos20

=-2cos20+2V2cosO+6=-2(cos0-)2+7^7,

当cos8=孝时，等号成立，即潦一22二+2力2的最大值为7,

故答案为：7.

第15页共22页

B

0

1j

三、解答题

18.(14分)已知函数/(x)=6sm2tox+y/3sin2a)x-33>0)的最小正周期为4.

(I)求0)的值及函数/(冗)的对称中心；

(II)若/(&)=誓，且xoW(-2,0),求/(&+4).

1coa)

【解答】解：(I)/(%)=6-^\y/^s[n2a)x-3=y[3sin2a)x—3cos2a)x=

2^3sin(2a)x-。)，

27r

由/(x)的最小正周期为4,得丁=4,解得3=[,

故/(%)=2V3sin(^x-y),

,nn2

由；x——=£〃，kE.Z,得x=q+2/c,fc6Z,

23J

9

故对称中心为((+2匕0),fcez.

(H)由f(x0)=得2V3sin(Sx0-5)=即sin(5x0-5)=|,

J乙DU乙OJ

『71n47rn

又xoW(-2,0),得5%~~,--)，

结合5比(枭0T)〉0,可知会0一黑(一号，一兀)，

故COS(^%0—$)=—

所以f(Xo+=2V3sin[y(%Q+,7)-=2V3sin[(5%o-v)z]=2V3•

乙乙乙D乙D.；

r.Z7TTT、7T,,7TTT、.7T•,J6

[sin(2-x0—j)-cos-^+cos(2-x0—j)-sm4]=—g-.

19.(15分)如图，在四棱锥尸-Z8c。中，底面48。。是矩形，PD=CD,PCL4D,

为侧棱PC上一动点(不含端点).

(I)求证：平面平面PCD；

(II)若4D=1,8=2,ZPCD=30°,是否存在点E使得直线尸8与平面/OE所成

第16页共22页

角为60°?若存在，求出二的值；若不存在，说明理由.

【解答】解：(I)•.•四边形为矩形，

y."：ADVPC,二/O_L平面尸CD,

所以平面平面尸CQ.

(II)解：作尸，_LCD交CD于"，

•.7。1.平面PCD,：.AD1PH,平面/8CO,

建立空间直角坐标系，

易得/(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,-1,0),P(0,-1,V3),

.•.诵=(1,3,-V3),

PE-一

记—=A,即PE=aEC,

EC

：.DE-DP=X{DC-DE),

第17页共22页

T1TT2人一1B

，DE=/(DP+入DC)=(0,

A十JLTiT，

注意到占=（1,0,0）,故可设平面力DE1的法向量£=（0,1,%）,

由法品=°'得解+春ynO'可解得"=詈’

1-2人、

/.n=(0/1,-7T")'

若直线PB与平面ADE所成角为60°,则有sin600=\cos<PB,n>\=里?，

\PB\\n\

・6_13-g-2））|

2vnji叫画

化简得3入2-7入+3=0,解得入=理且，

O

PE7+V137-V13

因此，当==一;或时，直线P8与平面/OE所成角为60。.

EC66

20.（15分）已知公差不为。的等差数列｛。〃｝的前“项和为S”且。5=53=吗・

（I）求数列｛斯｝的前〃项和S,;

（II）在数列｛%｝中，/=2,且从+历+…+从=办+i-2.若对任意的正整数小不等式入2.

b-n+1恒成立，求实数人的取值范围.

n2<X-（Sn-1）

【解答】解：（I）由。5=$3=说,得卜*普=产+黑%---------

-----------------------------------------------------------------------------------（2分）

解得｛建。°（舍）或｛建J--------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------（4分）

所以Sn=九Q]+九(31)d=九2.________________________

________________________________(6分)

(II)由加+历+,,,+bn=bn+l-2,得加+历+・,,+bn+b/l=bn+2-2,

相减得bn+1=bn+2bn+1,即b〃+2=2b〃+l.

又b\=b2-2,得历=加+2=2加,

故儿+1=2与对任意〃EN*成立，-------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------(8分)

结合6=2,可得0=2%---------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------(9

第18页共22页

分)

将S”b”代入入2・垢-2"+1W入-(Sn-l),得入2-2"-2"+y兀(n2-1),

即有人2一2《人.与£1对任意“6N*恒成立.

(i)当人=0时，-2W0成立，所以入=0符合题意.------------------------------

----------(10分)

入2-2n2-l,A2-2n2-l

(ii)当入>0时，由丁<三一恒成"，得丁<(―)min，

.n2-l,,n2-l,,n2-l

易知当〃=i时，—r=o；当时，-->o,故(%)就”=0.

入2_2

由丁一SO,结合入>0,可解得0<7lW鱼；------------------------------------

A

(12分)

2

,上J2-2n-lk…,入2_2712T

(iii)当入V0时，由恒成立，得k2(b)ma

ALAL

(n+l)2—ln2-l-n2+2n+2

可知当〃=1,211寸,

A2-2

化简21得入2-人-2W0,解得-1W入W2,结合入＜0,

入

可解得-iw入＜0，---------------------------------------------------------------------------------------------

________________________________(14分)

综上，一1WaW鱼.----------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------(15

21.(15分)如图，已知点尸是抛物线C：f=4x上位于第一象限的点，点/(-2,0),

点A/,N是y轴上的两个动点(点M位于x轴上方)，满足AMLAN,线段

PN分别交x轴正半轴、抛物线。于点。，Q,射线M尸交x轴正半轴于点£

(1)若四边形/NPM为矩形，求点P的坐标：

(II)记△OOP,△Of。的面积分别为S1，&,求S1・S2的最大值.

第19页共22页

【解答】解：（I）当四边形为矩形时，/尸的中点在y轴上,

所以xp=-xx=2,--------------（2分）

故P（2,2V2）------------------------------------------------------（4分）

（II）设点。（m,0）,直线产。方程：x-m=ty,

显然有机>0，/W0

联立直线PQ与抛物线C,得｛j二;"，

消去x得/-40-4〃?=0,所以”>•yQ=-Am------

-------------（6分）

由N〃_LZN,得|OM・|。2=|。4『=4

又由PMLPN,可得△MOES/^DON,所以有蹙'=盥

|OD||ON|

从而|0£>|=QM，QN|=4,即XE，m=4---------------

--------------------------（8分）

44

所以&=而，进而有|DE|=41一和=而一?n,结合|。。=加，yp-y