2023年高考物理一轮复习核心技知识点提升5.3机械能守恒定律

5.3机械能守恒定律

。③6忌

一、重力做功与重力势能的关系

1.重力做功的特点

(1)重力做功与—无关，只与始末位置的有关.

(2)重力做功不引起物体—的变化.

2.重力势能

(1)表达式：Ev=mgh.

(2)重力势能的特点

重力势能是物体和—所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取直去，但重

力势能的变化与参考平面的选取___一

3.重力做功与重力势能变化的关系

(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能—；重力对物体做负功，重力势能

增大;

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量.即%=_=_.

二、弹性势能

1.定义：发生_____的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能.

2.弹力做功与弹性势能变化的关系：

弹力做正功，弹性势能—；弹力做负功，弹性势能——即W=.

三、机械能守恒定律

1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，—与—可以互相转化，而总

的机械能____一

2.表达式：mgh1+^mvi2=mghi+^mVT2.

3.机械能守恒的条件

(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力.

⑵系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统,

(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的

代数和——(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与

其他形式的能发生转化.

①QQQG对机械能守恒的理解与判断

1.机械能守恒判断的三种方法

利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否

定义法

变化，若不变，则机械能守恒

若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力

做功法

做功的代数和为零，则机械能守恒

若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能

转化法

的转化，则机械能守恒

2.对机械能守恒条件的理解及判断

(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有

重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。

(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机

械能必定不守恒。

(3)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。严格地讲，机

械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外

界之间无能量交换)，系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功

(表明系统内不存在机械能与其他形式能之间的转换)，则系统的机械能守恒。

例题1.下列对各图的说法正确的是()

图1图2图3图4A.图1中汽车匀速下坡的过程

中机械能守恒

B.图2中卫星绕地球做匀速圆周运动时所受合外力为零，动能不变

C.图3中弓被拉开过程弹性势能减少了

D.图4中撑杆跳高运动员在上升过程中机械能增大

忽略空气阻力,下列物体运动过程中满足机械能守恒的是()

A.电梯匀速下降B.物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端

C.物体沿着斜面匀速下滑

D.拉着物体沿光滑斜面匀速上升

G国6软

(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平

面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连).现让一小球自左端槽口A点

的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的

A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功

B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒

C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统

机械能守恒

D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒

单个物体的机械能守恒问题

项目表达式物理意义说明

Ek1+弓1=反2+Ep2初状态的机械能等于必须先选

从守恒的角度看

或七初=E末末状态的机械能零势能面

=

Ek2~EkiEP]—EP2过程中动能的增加量不必选零

从转化角度看

或AEk=-AEp等于势能的减少量势能面

2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤

(1)根据题意选取研究对象；

(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做

功的情况，判断机械能是否守恒.

(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能.

(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解.

例题2.(多选)如图所示，在地面上以速度00抛出质量为的物体，抛出后物体

落到比地面低/?的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，重力加速度

为g,则下列说法中正确的是()

地㈣当江^

'海平面

运经三A.物体落到海平面时的重力势能为〃密

B.物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh

C.物体在海平面上的动能为5WO?+〃吆%

D.物体在海平面上的机械能为上加。2

（多选）一物块在高3.0m、长5.0m的斜面顶端从静止开始沿斜面

下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线I、II所示，重力加

速度取lOm*。则（）

（K1121314物块下滑过程中机械能不守恒

B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5

C.物块下滑时加速度的大小为6.0m/s2

D.当物块下滑2.0m时机械能损失了12J

k多选）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与

重力势能耳之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和耳随它离开地面的

高度。的变化如图所示。重力加速度取10m/s2。由图中数据可得（）

物体的质量为2kgB./1=0时，物体的速率为20

m/s

C."=2m时，物体的动能Ek=40J

D.从地面至/i=4m,物体的动能减少100J

①QQ0©不含弹簧的系统机械能守恒问题

1.解题思路

(1)轻绳模型

①分清两物体是速度大小相等,

还是沿绳方向的分速度大小相等。

②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系

统，机械能则可能守恒。

(2)轻杆模型

A

A0

①平动时两物体线速度相等，转动时两物体

角速度相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械

能不守恒。

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做

功，则系统机械能守恒。

(3)轻弹簧模型

①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能

和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物

体和弹簧机械能都不守恒。

②含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还

要注意弹簧弹力和弹性势能的特点。

③弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关,

只取决于初、末状态弹簧形变量的大小。

④由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧

两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小（为

零）。

例题3.质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过

固定在倾角为30。的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物

体8拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8m,如图所示.若摩擦力均

不计，从静止开始放手让它们运动.（斜面足够长，物体4着地后不反弹，g取10

m/s2）求：

〃为（1）物体A着地时的速度大小；

（2）物体A着地后物体B继续沿斜面上滑的最大距离.

（多选）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬

挂重物8,悬挂滑轮的轻质细绳竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放

后A、B开始运动。已知A、8的质量相等，重力加速度为g。摩擦阻力和空气

阻力均忽略不计，滑轮间竖直距离足够长。则下列说法正确的是（）

相同时间内，A、8位移大小之比为1:2

B.同一时刻，A、8加速度大小之比为1：1

C.同一时刻，A、B速度大小之比为1：1

D.当8下降高度时，8的速度大小为如图所示，物体A

的质量为M,圆环3的质量为〃％由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑

的竖直杆上.开始时连接圆环的绳子水平，长度/=4m.现从静止释放圆环，不

计定滑轮和空气的阻力，g取lOm*.若圆环下降力=3m时的速度o=5m/s,则

A和3的质量关系为（）

35M7

-

--氏

-m-9

29M

-

M39.15

C_--D--

-25m-19

加

含弹簧的系统机械能守恒问题

例题4.（多选）如图所示，有质量为2加、机的小滑块P、Q,P套在固定竖直杆上，

。放在水平地面上。P、。间通过钱链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端

与。相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平，a=30。时，弹簧处于原长。当。=

30。时，P由静止释放，下降到最低点时a变为60。，整个运动过程中，P、。始

终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则

P下降过程中（）

p、。组成的系统机械能守恒

B.当a=45。时，P、。的速度相同

C.弹簧弹性势能最大值为（小一l）〃zgLD.P下降过程中动能达到最大前,

Q受到地面的支持力小于3mg

（多选）如图所示，一根轻弹簧一端固定在。点，另一端固定一个带

有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于

原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于8点对称

的。点后，小球能运动到最低点。点，03垂直于杆，则下列结论正确的是（）

A，

BO

C

D

A.小球从A点运动到。点的过程中，其最大加速度一定大于重力

加速度g

B.小球从B点运动到。点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能

增大

C.小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大

D.小球在。点时弹簧的弹性势能一定最大

如图所示，在倾角为。=30。的光滑斜面上，一劲度系数为左=200

N/m的轻质弹簧一端固定在挡板C上，另一端连接一质量为m=4kg的物体A,

一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，

细绳与斜面平行，斜面足够长，8距地面足够高.用手托住物体3使绳子刚好伸

直且没有拉力，然后由静止释放.取重力加速度g=10m/s2.求：

J"(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；

(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度;

(3)物体A的最大速度的大小.

薪嘴境线合度升练

1.如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻

弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹

O

I

簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是()

A.小球的动能一直减小

B.小球的机械能守恒

C.克服弹力做功大于重力做功

D.最大弹性势能等于小球减少的动能

2.在如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上

30。角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕

通过直角顶点的固定轴。无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上

30。角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳

悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动。则关于这几个物理过程（空气阻力

忽略不计），下列判断正确的是（）

BOm

A

甲乙''丙「A.甲图中小球机械能守恒

B.乙图中小球A机械能守恒

C.丙图中小球机械能守恒

D.丁图中小球机械能守恒

3.（多选）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（）

|向加

丙甲图中，物体A将弹簧压缩的过程

中，A机械能守恒

B.乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体8机械能守

恒

C.丙图中，不计任何阻力时A加速下落，8加速上升过程中，A、B组成的

系统机械能守恒

D.丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒

4.（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平地面上，f=0时刻，将一金属小球

从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后

又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复过程中弹簧的弹力大

小E随时间t的变化关系如图乙所示.不计空气阻力，则（）

o

黑^Ot\t2(3

甲乙A.A时刻小球的速度最大

B.这时刻小球所受合力为零

C.以地面为零重力势能面，力和时刻小球的机械能相等

D.以地面为零重力势能面，力至「3时间内小球的机械能先减小后增加

5.水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中.如

图所示，滑梯顶端到末端的高度"=4.0m,末端到水面的高度力=1.0m.取重

力加速度g=10m/s2,将人视为质点，不计摩擦和空气阻力.则人的落水点到滑

梯末端的水平距离为()

*三三=三A.4.0mB.4.5mC.5.0mD.5.5m

6.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在

地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为8的两倍.当B位于地面上时，A恰

与圆柱轴心等高.将A由静止释放，B上升的最大高度是()

A.2R

1.如图所示，半径R=0.5m的光滑半圆环轨道固定在竖直平面内，半圆环与光

滑水平地面相切于圆环最低端点Ao质量m=1kg的小球以初速度oo=5m/s从

A点冲上竖直圆环，沿轨道运动到8点飞出，最后落在水平地面上的C点，g取

10m/s2,不计空气阻力。

.(1)求小球运动到轨道末端B点时的速度PB。

⑵求A、C两点间的距离工。

(3)若小球以不同的初速度冲上竖直圆环，并沿轨道运动到8点飞出，落在

水平地面上。求小球落点与A点间的最小距离Xmin。

8.如图所示，竖直平面内由倾角a=60。的斜面轨道A3、半径均为R的半圆形细

圆管轨道8CDE和卷圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两

处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直.轨道出口处G和圆心。2的连

线，以及。2、E、。1和5等四点连成的直线与水平线间的夹角均为，=30。，G点

与竖直墙面的距离1=小凡现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释

放.小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力.

⑵求小球在圆管内与圆心。点等高的D点所受弹力FN与〃的关系式；

(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？

9.如图所示，鼓形轮的半径为凡可绕固定的光滑水平轴O转动.在轮上沿相

互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与。的

距离均为2R.在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物.重物由静止下落,

带动鼓形轮转动.重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为。.绳与轮之间无

相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g.求：

血(1)重物落地后，小球线速度的大小0;

(2)重物落地后一小球转到水平位置A,此时该球受到杆的作用力的大小a

⑶重物下落的高度九

10.轻质弹簧原长为2/,将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为5〃?

的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为/.现将该弹簧水平放置,

一端固定在A点，另一端与物块尸接触但不连接.是长度为5/的水平轨道，

8端与半径为/的光滑半圆轨道8co相切，半圆的直径8D竖直，如图所示.物

块P与AB间的动摩擦因数〃=05用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度/,然

后释放，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.

D

4B(1)若P的质量为〃2,求P到达8点时速度的大小，以及它离

开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；

(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求产的质量的取值范围.

5.3机械能守恒定律

。③6忌

一、重力做功与重力势能的关系

1.重力做功的特点

(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关.

(2)重力做功不引起物体机械能的变化.

2.重力势能

(1)表达式：Ev=mgh.

(2)重力势能的特点

重力势能是物体和地球所共有的,重力势能的大小与参考平面的选取有关,但重

力势能的变化与参考平面的选取无关.

3.重力做功与重力势能变化的关系

(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小;重力对物体做负功，重力势能

增大;

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量.即WG=-(£O2~

Epi)——AEp.

二、弹性势能

1.定义：发生强恒箜的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能.

2.弹力做功与弹性势能变化的关系：

弹力做正功，弹性势能减小;弹力做负功，弹性势能增加.即W=-A£P.

三、机械能守恒定律

1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化,而

总的机械能保持不变.

2.表达式：mgh।+^mvi2=mgln+.

3.机械能守恒的条件

(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力.

(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做

功.

⑶系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的

代数和为零.

(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能

发生转化.

对机械能守恒的理解与判断

1.机械能守恒判断的三种方法

一利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否

定义法

变化，若不变，则机械能守恒

若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力

做功法

做功的代数和为零，则机械能守恒

若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能

转化法

的转化，则机械能守恒

2.对机械能守恒条件的理解及判断

(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有

重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。

(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机

械能必定不守恒。

(3)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。严格地讲，机

械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外

界之间无能量交换)，系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功

(表明系统内不存在机械能与其他形式能之间的转换)，则系统的机械能守恒。

例题■1.下列对各理图的说法正新确的是()

图图图7图1图中汽车匀速下坡的过程

1234A.1

中机械能守恒

B.图2中卫星绕地球做匀速圆周运动时所受合外力为零，动能不变

C.图3中弓被拉开过程弹性势能减少了

D.图4中撑杆跳高运动员在上升过程中机械能增大【答案】D【解析】图1中

汽车匀速下坡的过程中动能不变，重力势能减小，机械能减小，故A错误；图

2中卫星绕地球做匀速圆周运动时所受合外力提供向心力则不为0,匀速圆周运

动速度大小不变，则动能不变，故B错误；图3中弓被拉开过程橡皮筋形变增

大，弹性势能增大，故C错误：图4中撑杆跳高运动员在上升过程中杆对运动

员做正功，其机械能增大，故D正确。

G国启©忽略空气阻力,下列物体运动过程中满足机械能守恒的是（）

A.电梯匀速下降

B.物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端

C.物体沿着斜面匀速下滑

D.拉着物体沿光滑斜面匀速上升

【答案】B

【解析】

电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不

守恒，所以A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的

方向和物体位移的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以

B正确；物体沿着斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做

功，机械能不守恒，所以C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力

平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，所以D错误.

6国@跳

（多选）如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平

面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁（不与槽粘连）.现让一小球自左端槽口A点

的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的

只有重力对它做功

B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒

C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统

机械能守恒

D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒

【答案】BC【解析】

当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的

力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能

不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽

静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右

侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒,

C正确.

单个物体的机械能守恒问题

项目表达式物理意义说明

Eki+EPi=Ek2+Ep2初状态的机械能等于必须先选

从守恒的角度看

或E初=七末末状态的机械能零势能面

-

&2£ki=Epi-Ep2过程中动能的增加量不必选零

从转化角度看

或AEk=-AEP等于势能的减少量势能面

2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤

(1)根据题意选取研究对象；

(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做

功的情况，判断机械能是否守恒.

(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能.

(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解.

例题2.(多选)如图所示，在地面上以速度00抛出质量为"2的物体，抛出后物体

落到比地面低的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，重力加速度

为g,则下列说法中正确的是()

一I、海平面

左乏三A.物体落到海平面时的重力势能为机g/?

B.物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh

C.物体在海平面上的动能为:"次2+mgh

D.物体在海平面上的机械能为方如/【答案】BCD

【解析】

物体运动过程中，机械能守恒，所以在任意一点的机械能均相等，都等于抛

出时的机械能，物体在地面上的重力势能为零，动能为JnO()2,故整个过程中的

机械能均为:"I。/,所以物体在海平面上的机械能为J砂(闩在海平面上的重力势

能为一,根据机械能守恒定律可得一〃?g/z+^/nv2=1加，所以物体在海平面

上的动能为/0/+〃吆儿从抛出到落到海平面，重力做功为mgh,所以B、C、

D正确.

（多选）一物块在高3.0m、长5.0m的斜面顶端从静止开始沿斜面

下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线I、II所示，重力加

物块下滑过程中机械能不守恒

B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5

C.物块下滑时加速度的大小为6.0m/s2

D.当物块下滑2.0m时机械能损失了12J

【答案】AB

【解析】由题图可得昂）=，篦g/?=30J,其中/?=3m,则"?=1kg,动能和重力

势能之和减小，机械能不守恒，故A正确；由题图可知，物块到达底端时动能

1^2一0]

为10J,由反=亍加2,可得。=2小m/s,由"一捕=2成得。=一丞-=2

m/s2,故C错误；设斜面倾角为仇有sin。=0.6,cos8=0.8,由牛顿第二定律

有“gsin夕一〃加geos夕=〃小解得"=0.5,故B正确；下滑2.0m时，动能、重

力势能之和为22J,故机械能损失8J,故D错误。（多选）从地面

竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能&与重力势能£p之和。取地面为

重力势能零点，该物体的E总和耳随它离开地面的高度%的变化如图所示。重

C."=2m时，物体的动能£k=40J

D.从地面至/z=4m,物体的动能减少100J

【答案】AD

【解析】

根据题给图像可知/?=4m时物体的重力势能/77g/?=80J,解得物体质量m

=2kg,抛出时物体的动能公=100J,由动能公式以=/〃庐，可知〃=0时物体

的速率。=10m/s,A正确，B错误；由功能关系可知"=|AE|=20J,解得物体

上升过程中所受空气阻力/=5N,从物体开始抛出至上升到〃=2m的过程中，

由动能定理有一〃7g/z-#=£k-100J,解得Ek=50J,C错误；由题给图像可知，

物体上升到/?=4m时，机械能为80J,重力势能为80J,动能为零，即物体从

地面上升到〃=4m,物体动能减少100J,D正确。

不含弹簧的系统机械能守恒问题

1.解题思路

多个物体组成的系统

含弹簧的系统

[选取研究对象）-----------------------------------------

]|[含轻杆、轻绳的系统

（选取运动过程反对研究对象进行受力和做功情况分析

（“断女机械能是否守恒____________

|AEt=-AEp_____________

（选彳达式—AE^-AE"

[,解k联立方程求解2.三种模型（1）轻绳模型

还是沿绳方向的分速度大小相等。

②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系

统，机械能则可能守恒。

（2）轻杆模型

①平动时两物体线速度相等，转动时两物体

角速度相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械

能不守恒。

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做

功，则系统机械能守恒。

(3)轻弹簧模型

①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能

和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物

体和弹簧机械能都不守恒。

②含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还

要注意弹簧弹力和弹性势能的特点。

③弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关,

只取决于初、末状态弹簧形变量的大小。

④由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧

两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为

零)。

例题3.质量均为m的物体A和8分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过

固定在倾角为30。的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物

体8拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8m,如图所示.若摩擦力均

不计，从静止开始放手让它们运动.(斜面足够长，物体A着地后不反弹，g取10

m/s2)求：

美(1)物体A着地时的速度大小；

(2)物体A着地后物体B继续沿斜面上滑的最大距离.

【答案】(l)2m/s(2)0.4m

【解析】

(1)以地面为参考平面，

A、8系统机械能守恒，

根据机械能守恒定律有mgh=mghsin30°

因为VA=VB,

所以VA=VB=2m/s.

（2）A着地后，3机械能守恒，

则3上升到最大高度过程中,

有;，?w『=AngAssin30°

解得As=0.4m.

G@@@（多选）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方

悬挂重物8,悬挂滑轮的轻质细绳竖直。开始时，重物A、8处于静止状态，释

放后A、B开始运动。已知A、8的质量相等，重力加速度为g。摩擦阻力和空

气阻力均忽略不计，滑轮间竖直距离足够长。则下列说法正确的是（）

AMOBA.相同时间内，A、B位移大小之比为1：2

B.同一时刻，A、8加速度大小之比为1：1

C.同一时刻，A、B速度大小之比为1:1

D.当8下降高度。时，B的速度大小为、厨【答案】AD

【解析】

由题可知，8下降位移是A上升位移的两倍，由公式x=受产可知，B的加

速度是A加速度的两倍，故A正确，B错误：由速度公式。=）可知，由于B的

加速度是A加速度的两倍，所以同一时刻，A的速度是8的一半，故C错误;

当B下降高度/?时，A上升?，由机械能守恒定律得tngh—mg^=^mvi+,

又2ZM=OB,联立解得OB=故D正确。

如图所示，物体A的质量为圆环B的质量为m,由绳子通过

定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上.开始时连接圆环的绳子水平，长

度/=4m.现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10m/s2.若圆环

下降〃=3m时的速度。=5m/s,则A和3的质量关系为（）

/357

--

-B--

A.m299

M=39八例15

m25D^=而

【答案】A

【解析】

圆环下降3m后的速度可以按如图所示分解，故可得VA=VCOS0=

vh

‘序+,，A、8和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆

环下降/z=3m时，根据机械能守恒定律可得mgh=Mghs+^mv2+^MvA1,其中

35

联

得

故

立可-

-A正

A-2

9?

含弹簧的系统机械能守恒问题

例题4.（多选）如图所示，有质量为2加、机的小滑块P、Q,P套在固定竖直杆上，

Q放在水平地面上。P、。间通过较链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端

与。相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平，a=30。时，弹簧处于原长。当。=

30。时，P由静止释放，下降到最低点时a变为60。，整个运动过程中，P、。始

终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则

B.当a=45。时，P、Q的速度相同

C.弹簧弹性势能最大值为（小一1）〃2gL

D.尸下降过程中动能达到最大前，Q受到地面的支持力小于3〃吆

【答案】CD

【解析】

对于P、Q组成的系统，由于弹簧对。要做功，所以系统的机械能不守恒；

但对P、。、弹簧组成的系统，只有重力或弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，

故A错误；当a=45。时，根据P、Q沿轻杆方向的分速度相等得VQCOS450=VKOS

45°,可得VP=VQ,但速度方向不同，所以P、。的速度不同，故B错误；根据

系统机械能守恒可得EP=2ml?L（cos300-cos60°）,弹性势能的最大值为Ep=（小

-\）mgL,故C正确；P下降过程中动能达到最大前，P加速下降，对尸、。整

体，在竖直方向上根据牛顿第二定律有3mg—N=2ma,则有N<3mg,故D正确。

（多选）如图所示，一根轻弹簧一端固定在。点，另一端固定一个带

有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于

原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于8点对称

的C点后，小球能运动到最低点。点，。3垂直于杆，则下列结论正确的是（）

C

D

A.小球从A点运动到。点的过程中，其最大加速度一定大于重力

加速度g

B.小球从3点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能

增大

C.小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大

D.小球在。点时弹簧的弹性势能一定最大

【答案】AD

【解析】

在8点时，小球的加速度为g,在间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向

除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到。点

的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g,故A正确；由机械能守恒定律

可知，小球从8点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小

球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，

由于弹簧的弹力为零，合力为重力G,所以小球从C点往下还会加速一段，所以

小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；。点为小球

运动的最低点，即速度为零，弹簧形变量最大，所以小球在。点时弹簧的弹性势

能最大，故D正确.

如图所示，在倾角为。=30。的光滑斜面上，一劲度系数为左=200

N/m的轻质弹簧一端固定在挡板C上，另一端连接一质量为m=4kg的物体A,

一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，

细绳与斜面平行，斜面足够长，8距地面足够高.用手托住物体3使绳子刚好伸

直且没有拉力，然后由静止释放.取重力加速度g=10m/s2.求：X

(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；

(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；

(3)物体A的最大速度的大小.

【答案】(1)30N(2)20cm(3)1m/s

【解析】

(1)弹簧恢复原长时，

对B:mg—FT=ma

对A:FT-加gsin30°=ma

代入数据可求得：FT=30N.

(2)初态弹簧压缩量Xi="%si：3O°=]0cm

当A速度最大时有FT'=mg=kxi+mgsin30°

弹簧伸长量皿=殁可^=1。5

K

所以A沿斜面向上运动xi+x2=20cm时获得最大速度.

(3)因X\=X2,

故弹簧弹性势能的改变量AEP=0

由机械能守恒定律有

mg(x\+*2)-nzg(无।+x2)sin30°=^X2mv2

解得v—1m/s.

新嘴境缭合摆开练

如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹

簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压

缩到最短的过程中，下列说法中正确的是（）

O

I

A.小球的动能一直减小

B.小球的机械能守恒C.克服弹力做功大于重力做功

D.最大弹性势能等于小球减少的动能

【答案】C

【解析】

小球开始下落时，只受重力作用做加速运动，当与弹簧接触时，受到弹簧弹力

作用，开始时弹簧压缩量小，因此重力大于弹力，速度增大，随着弹簧压缩量的

增加，弹力增大，当重力等于弹力时，速度最大，然后弹簧继续被压缩，弹力大

于重力，小球开始做减速运动，所以整个过程中小球加速后减速，根据以=/。2,

动能先增大然后减小，故A错误：在向下运动的过程中，小球受到的弹力对它做

负功，小球的机械能不守恒，故B错误；在向下运动过程中，重力势能减小，最

终小球的速度为零，动能减小，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，根据能量守

恒定律，最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重力势能之和，即克服弹力

做功大于重力做功，故D错误，C正确.

2.在如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上

30。角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕

通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上

30。角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳

悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动。则关于这几个物理过程（空气阻力

忽略不计），下列判断正确的是（）

甲乙。丙丁A.甲图中小球机械能守恒

B.乙图中小球A机械能守恒

C.丙图中小球机械能守恒

D.丁图中小球机械能守恒

【答案】A

【解析】甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，A正确；乙图过

程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守

恒，但两个小球组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬

间有动能损失，机械能不守恒，C错误；丁图中小球和小车组成的系统机械能

守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧，细

绳会对小球做功，D错误。

3.（多选）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（）

中，A机械能守恒

B.乙图中，A置于光滑水平面，物体8沿光滑斜面下滑，物体8机械能守

恒

C.丙图中，不计任何阻力时A加速下落，8加速上升过程中，A、8组成的

系统机械能守恒

D.丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒

【答案】CD

【解析】甲图中重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，但弹簧的弹性势能增

加，A的机械能减少，A错误；乙图中3物体下滑，3对A的弹力做功，A的

动能增加，8的机械能减少，B错误：丙图中A、B组成的系统只有重力做功，

机械能守恒，C正确；丁图中小球受重力和拉力作用，但都不做功，小球动能

不变，机械能守恒，D正确。

4.（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平地面上，1=0时刻，将一金属小球

从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后

又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复过程中弹簧的弹力大

小F随时间/的变化关系如图乙所示.不计空气阻力，则（）

o

甲乙A.力时刻小球的速度最大

B.这时刻小球所受合力为零

C.以地面为零重力势能面，力和时刻小球的机械能相等

D.以地面为零重力势能面，力至「3时间内小球的机械能先减小后增加

【答案】CD

【解析】

t\时刻小球刚与弹簧接触，与弹簧接触后，先做加速度不断减小的加速运动，

当弹力增大到与重力相等时，加速度减为零，此时速度达到最大，故A错误；t2

时刻，弹力最大，故弹簧的压缩量最大，小球运动到最低点，速度等于零，加速

度竖直向上，故「2时刻小球所受合力不为零，故B错误；以地面为零重力势能

面，力和f3时刻弹力为零，则弹簧处于原长，弹性势能为零，则在这两个时刻小

球的机械能相等，故C正确；以地面为零重力势能面，九至73时间内，弹簧的长

度从原长到压缩至最短又回到原长，则弹性势能先增大后减小，根据小球和弹簧

组成的系统机械能守恒，可知小球的机械能先减小后增大，故D正确.

5.水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中.如

图所示，滑梯顶端到末端的高度H=4.0m,末端到水面的高度/7=l.om.取重

力加速度g=10m/s2,将人视为质点，不计摩擦和空气阻力.则人的落水点到滑

【答案】A

【解析】

人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为以根据机械能守恒定律可知mgH=^mv2,

解得m/s,从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运

2h2X1.0

动，根据可知t=1s,水平方向做匀速直线运

g10

动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为x=a=4小义\"m=4.0m,故

选A.

6.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在

地面上、半径为火的光滑圆柱，A的质量为8的两倍.当8位于地面上时，A恰

与圆柱轴心等高.将A由静止释放，3上升的最大高度是()

A.27?

【答案】C

【解析】

设B球的质量为m,则A球的质量为2m,A球刚落地时，两球速度大小都

为。，根据机械能守恒定律得2〃?gH=；X(2〃7+m)"+〃?gR,B球继续上升的过程

1D

由动能定理可得一mg/?=o-］加。2,联立解得力=tB球上升的最大高度为/z+R

=%?,故选C.

7.如图所示，半径R=0.5m的光滑半圆环轨道固定在竖直平面内，半圆环与光

滑水平地面相切于圆环最低端点A。质量m=lkg的小球以初速度0o=5m/s从

A点冲上竖直圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的。点，g取

10m/s2,不计空气阻力。

(1)求小球运动到轨道末端B点时的速度PB。

(2)求A、C两点间的距离尤。

(3)若小球以不同的初速度冲上竖直圆环，并沿轨道运动到8点飞出，落在

水平地面上。求小球落点与A