2023年湖南省常德市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年湖南省常德市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.

3.

4.设x2是f(x)的一个原函数，则f(x)=A.A.2x

B.x3

C.(1/3)x3+C

D.3x3+C

5.A.1/3B.1C.2D.3

6.图示悬臂梁，若已知截面B的挠度和转角分别为vB和θB，则C端挠度为()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

7.A.A.

B.

C.-3cotx+C

D.3cotx+C

8.

9.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

10.设函数为()．A.A.0B.1C.2D.不存在

11.

12.

A.2x-2B.2y+4C.2x+2y+2D.2y+4+x2-2x

13.

14.微分方程y''-2y=ex的特解形式应设为（）。A.y*=Aex

B.y*=Axex

C.y*=2ex

D.y*=ex

15.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面

16.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是（）。A.

B.

C.

D.

17.

18.A.

B.x2

C.2x

D.

19.

20.A.A.yxy-1

B.yxy

C.xylnx

D.xylny

二、填空题(20题)21.

22.

23.空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是________。

24.

25.

26.

27.

28.

29.函数的间断点为______．

30.

31.

32.

33.

34.y″+5y′=0的特征方程为——．

35.

36.∫(x2-1)dx=________。

37.

38.

39.

40.设函数y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1确定，则y'=______．

三、计算题(20题)41.

42.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

44.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

45.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

46.

47.求微分方程的通解．

48.

49.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

50.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

51.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

53.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

54.

55.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

56.

57.证明：

58.

59.

60.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答题(10题)61.求y"+2y'+y=2ex的通解．

62.

63.

64.

65.

66.

67.设平面薄片的方程可以表示为x2+y2≤R2，x≥0，薄片上点(x，y)处的密度，求该薄片的质量M．

68.求y"-2y'+y=0的通解．

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

求y(2)。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A解析：

2.A

3.A

4.A由于x2为f(x)的一个原函数，由原函数的定义可知f(x)=(x2)'=2x，故选A。

5.D解法1由于当x一0时，sinax～ax，可知故选D．

解法2故选D．

6.C

7.C

8.A

9.C

10.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x=1为f(x)的分段点，且在x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

11.B

12.B解析：

13.B

14.A由方程知，其特征方程为，r2-2=0，有两个特征根r=±.又自由项f(x)=ex，λ=1不是特征根，故特解y*可设为Aex.

15.C本题考查的知识点为二次曲面的方程。

将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选C。

16.C

17.B

18.C

19.D

20.A

21.e-3/2

22.1

23.以Oz为轴的圆柱面方程。F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，方程x2+y2=32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。

24.(-∞．2)

25.0

26.

27.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给级数为缺项情形，

28.1/24

29.本题考查的知识点为判定函数的间断点．

仅当，即x=±1时，函数没有定义，因此x=±1为函数的间断点。

30.0

31.x2+y2=Cx2+y2=C解析：

32.

33.

34.由特征方程的定义可知，所给方程的特征方程为

35.1

36.

37.

38.

39.

40.

；本题考查的知识点为隐函数的求导．

将x2y+y2x+2y=1两端关于x求导，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=

41.

则

42.

43.

44.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

45.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

46.

47.

48.

49.函数的定义域为

注意

50.由二重积分物理意义知

51.

列表：

说明

52.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

53.

54.

55.由等价无穷小量的定义可知

56.

57.

58.由一阶线性微分方程通解公式有

59.

60.

61.相应微分方程的齐次微分方程为y"+2y'+y=0．其特征方程为r2+2r+1=0；特征根为r=-1(二重实根)；齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x

相应微分方程的齐次微分方程为y"+2y'+y=0．其特征方程为r2+2r+1=0；特征根为r=-1(二重实根)；齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x，

62.

63.

64.

65.

66.

67.

本题考