现代信号处理第3章信号的频域分析的知识

现代信号处理技术及应用

ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication

何正嘉訾艳阳张西宁

西

安

交

通

大

学

2/8/20231第三章信号的频域分析

3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.2相干分析及应用3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.5

信号调制与解调分析3.6时间序列建模与自回归谱分析3.7全息谱理论和方法2/8/20232机械工程学院机自所动态室第三章信号的频域分析

3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.2相干分析及应用3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.5

信号调制与解调分析3.6时间序列建模与自回归谱分析3.7全息谱理论和方法2/8/20233机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用频谱是信号在频域上的重要特征，它反映了信号的频率成分以及分布情况。信号频谱分析方法通常分为经典频谱分析和现代频谱分析两大类。经典频谱分析是一种非参数、线性估计方法，其理论基础是信号的傅里叶变换。现代频谱分析属于非线性参数估计方法，以随机过程参数模型的参数估计为基础。2/8/20234机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1

傅里叶级数与离散频谱

根据傅里叶级数理论，任何周期性信号均可展开为若干简谐信号的叠加。

(3.1.1)其中，是静态分量,是基频,是第次谐波(),，是第次谐波的幅值,是第次谐波的相位。2/8/20235机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1

傅里叶级数与离散频谱

各系数分别为

(3.1.2)其中，是基本周期，是基频。2/8/20236机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1

傅里叶级数与离散频谱

周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。

图3.1.1周期信号的傅立叶级数分解2/8/20237机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1

傅里叶级数与离散频谱傅里叶级数也可以写成复指数函数的形式。根据欧拉公式(3.1.3)(3.1.4)(3.1.5)式(3.1.1)中可写为(3.1.6)

其中离散频谱(3.1.7)2/8/20238机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1

傅里叶级数与离散频谱为一复数，由周期信号确定。它综合反映了次谐波的幅值、相位及频信息。频率的取值范围也扩展到负频率。展开系数和与正负频率对应。在实轴上的合成结果正好形成了代表谐波幅值的实向量，而在虚轴上的合成结果正好抵消为零。周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性三个特点。图3.1.2谐波幅值的向量分解2/8/20239机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.2

傅里叶变换与连续频谱当周期信号的周期趋于无穷大时，变成连续变量，求和符号Σ就变成积分符号∫，于是得到傅里叶积分。由(3.1.6)、(3.1.7)：(3.1.8)

由于时间是积分变量，故上式括号内积分之后仅是的函数，记作(3.1.9)(3.1.10)式(3.1.9)为的傅里叶变换，式(3.1.10)为其傅里叶逆变换，互称为变换对。

2/8/202310机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.2

傅里叶变换与连续频谱为的连续频谱。一般是复函数，可写成(3.1.10)式中，||为信号的连续幅值谱，为信号的连续相位谱。非周期信号的幅值谱||和周期信号的幅值谱||很相似，但两者是有差别的：

||的量纲与信号幅值的量纲一样；||的量纲与信号幅值的量纲不一样，它是单位频带上的幅值。称由信号求出它的频谱的过程为对信号作谱分析。求矩形窗函数频谱的例子，见p49。2/8/202311机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用

傅里叶变换的性质1、线性叠加性质若，则2、时移性质若，则3、频移性质若，则4、时间伸缩性质设，a为正实数，则5、时间微分性质若，则6、时间积分性质若，且，则7、卷积定理若，，则

及

2/8/202312机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.3

离散傅里叶变换(DFT)离散傅里叶变换对为

正变换(3.1.15)逆变换(3.1.16)式中，是采样值，是序列点数，是采样间隔，是频域离散值的序号，是时域离散值的序号。采样间隔不影响离散傅里叶变换的实质，通常略去。有正变换(3.1.17)逆变换(3.1.18)式中，。2/8/202313机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.4

快速傅里叶变换(FFT)当N=4

时，离散傅里叶变换式(3.1.17)可写成

(3.1.19)由于和可能都是复数，若计算所有的离散值，需要进行=16次复数乘法和次复数加法的运算。计算量将以进行增长。以Cooley-Tukey计算序列数长(为正整数)的算法来说明FFT的基本原理。将离散傅里叶变换式(3.1.17)写成如下形式

(3.1.20)式中，2/8/202314机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.4

快速傅里叶变换(FFT)

FFT先对原数据序列按奇、偶逐步进行抽取。原始序列x0x1x2x3x4x5x6x71个长度为8的序列第一次抽取x0x2x4x6

x1x3x5x72个长度为4的序列第二次抽取x0x4

x2x6

x1x5

x3x74个长度为2的序列第三次抽取x0

x4

x2

x6

x1

x5

x3

x78个长度为1的序列

N=8时的计算流程图。逆变换的计算同理。计算量由降为

2/8/202315机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.5

FFT的校正算法

当FFT计算时，矩形窗引起能量泄漏，使得谱峰幅值变小，精度降低。1）比值校正算法通过主瓣中心两侧的两根谱线的幅值和频率的大小，利用窗函数的频谱图形，去求主瓣中心点A点的坐标。设

x

为主瓣中心与左谱线的距离，由窗函数的频谱函数构成如下函数:(3.1.25)校正频率为，校正幅值，校正相位2）峰值搜寻算法优化，约束条件(3.1.33)取得极小值的x。2/8/202316机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.6

确定性信号的傅里叶谱分析确定性信号的傅里叶谱是个复数，因此它包含实频、虚频或幅频、相频等信息。工程中为了方便起见，常采用以下几种表示方法：(1)实频特性及虚频特性表示实频，虚频。(2)幅频特性及相频特性表示幅频，相频(3)幅频、相频率特性或奈魁斯特图表示将视为极坐标中的一矢量，用此矢量端点随频率而变化的轨迹来表示的幅频、相频率特性。傅里叶谱的幅值信息，有三种不同的表示方法。(1)幅值谱。，等权(权重均为1)谱。(2)均方谱。,变权重谱(权重取决于频率分量幅值)。(3)对数谱。，变权重谱(权重大小不同)。2/8/202317机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.7

功率谱密度函数功率谱密度函数反应了信号的功率在频域随频率的分布。自功率谱密度函数是信号的自相关函数的傅里叶变换。(3.1.34)自功率谱密度函数是实偶函数。自功率谱密度函数的傅里叶逆变换为。(3.1.35)当时，函数的物理意义为信号能量的度量,于信号的均方值。(3.1.36)称为双边功率谱。实际中常用其单边功率谱(3.1.37)2/8/202318机械工程学院机自所动态室3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.7

功率谱密度函数两组信号和的互谱密度函数定义为互相关函数的傅里叶变换(3.1.38)相应的傅里叶逆变换为(3.1.39)单边互谱密度函数定义为(3.1.40)由于互谱密度函数是复函数，所以单边互谱密度函数又可写成(3.1.41)称为共谱、协谱或余谱，称为重谱、方谱或正交谱。2/8/202319机械工程学院机自所动态室第三章信号的频域分析

3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.2相干分析及应用3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.5

信号调制与解调分析3.6时间序列建模与自回归谱分析3.7全息谱理论和方法2/8/202320机械工程学院机自所动态室3.2相干分析及应用3.2.1

相干函数的概念相干函数分析建立在平稳机械信号的自功率谱密度函数、和互功率谱密度函数之上。相干函数(凝聚函数)的定义如下(3.2.1)相干函数是频率的函数。它在频域内描述信号和的相关性。具有明确的物理意义，它反映了信号中频率的分量在多大程度上来源于信号。一般情况下相干函数取值在0～1之间:(1)测量中存在外部噪声；(2)谱估计中存在分辨率偏差；(3)系统是非线性的；(4)除了输入信号之外还有其它输入。2/8/202321机械工程学院机自所动态室3.2相干分析及应用3.2.2

相干函数的工程应用(1)判断系统输出与某特定输入的相关程度。利用相干函数可发现系统是否还有其它输入干扰及系统的线性程度。(2)谱估计和系统动态特性的测量精度估计。在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，可以分析出机械系统和基础振动的传递特性，为结构动态分析提供依据。

(a)输入信号的功率谱和输出信号的功率谱(b)幅频特性、相频特性和相干函数2/8/202322机械工程学院机自所动态室第三章信号的频域分析

3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.2相干分析及应用3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.5

信号调制与解调分析3.6时间序列建模与自回归谱分析3.7全息谱理论和方法2/8/202323机械工程学院机自所动态室3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.3.1

频谱细化的概念频率分辨率由谱线数(一般是原始采样点数的一半)决定。细化谱分析是在频谱分析中用来增加频谱中某些部分频率分辨率的方法。

图3.3.1频谱细化示意图要使频谱的分辨率增加K倍，只要将信号的采样点数N增加到KN点就可以实现。这样使频谱范围内所有的频率分辨率都增加了K倍，相应的代价是运算次数的增加。所谓细化变换，即只对选定的某频带进行细化。2/8/202324机械工程学院机自所动态室3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.3.2

复调制细化分析的原理用采样频率进行采样，得到N点离散序列。细化的频带是中心频率为的一个窄带。用一个复正弦序列乘以进行复调制，得N点新的离散复序列。根据傅里叶变换的频移定理，复调制将频率原点移到了频率处。采样频率也移动了。

图3.3.2复调制细化分析过程2/8/202325机械工程学院机自所动态室3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.3.2

复调制细化分析的原理

设为原来信号抗混滤波的截止频率，由于新的序列的频率频率上限可能高于原序列的奈奎斯特频率，产生频率混淆。需进行低通滤波。得到序列。如果要进行D倍的细化，应保证原始信号的采样长度为DN。对低通滤波后的复序列以采样频率进行重抽样，即每隔D个点抽取一个数据，得到新的长度为N的复序列,其时间跨度增长D倍，频率分辨率也将提高了D倍。

对序列进行FFT变换，得到中心频率为带宽为的细化谱。

2/8/202326机械工程学院机自所动态室第三章信号的频域分析

3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.2相干分析及应用3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.5

信号调制与解调分析3.6时间序列建模与自回归谱分析3.7全息谱理论和方法2/8/202327机械工程学院机自所动态室3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.4.1

倒频谱的数学描述定义：倒频谱是信号的功率谱的对数值的傅里叶逆变换。

(3.4.1)

倒频谱自变量q称为倒频率，与自相关函数的自变量有相同的时间量纲。

q值大者称为高倒频率，表示谱图上的低频波动。

q值小者称为低倒频率，表示谱图上的高频波动。倒频谱也可定义为信号的功率谱的对数值的傅里叶变换。

两种定义方法实质一样。因为是实偶函数，log

也是实偶函数。其正、逆傅里叶变换相等，并且也是一个实偶函数。倒频谱是频域函数的傅里叶再变换，是频谱的频谱，可以提取频谱上的周期性分量。此外，它与相关函数量纲相同，不同之处只差对数加权。2/8/202328机械工程学院机自所动态室3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.4.2

倒频谱与解卷积对于线性系统、、三者的关系可用卷积公式表示(3.4.2)对式(3.4.2)进行傅里叶变换，将时域卷积变为频域乘积。有(3.4.3)对式(3.4.3)两边取对数，将乘积变为线性相加。有(3.4.4)对式(3.4.4)再进一步作傅里叶逆变换，可得倒频谱或(3.4.5)2/8/202329机械工程学院机自所动态室3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.4.3

倒频谱的应用由式(3.4.4)得到的是与的线性和。在倒频域上由两部分组成，低倒频率和高倒频率。前者表示源信号的谱特征，而后者表示系统特性的谱特征，它们各自在倒频谱图上占有不同的倒频率位置。机械故障诊断：识别齿轮、轴承故障频谱中多簇等间隔的调制边频带。语音和回声分析及解卷积：分离和提取源信号与传递系统影响。2/8/202330机械工程学院机自所动态室第三章信号的频域分析

3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.2相干分析及应用3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.5

信号调制与解调分析3.6时间序列建模与自回归谱分析3.7全息谱理论和方法2/8/202331机械工程学院机自所动态室3.5信号调制与解调分析当机械出现故障时，信号中包含的故障信息往往以调制的形式出现，提取调制信号的过程就是信号的解调。本节介绍常用的Hilbert解调。3.5.1

实信号的复数表示对简单的余弦信号(其中)，可用复数形式表示为显然有，称为的复信号。(3.5.1)因为，所以有，得(3.5.2)其中就是的复信号。2/8/202332机械工程学院机自所动态室3.5信号调制与解调分析3.5.2

Hilbert变换设的频谱为，由式(3.5.2)知(3.5.3)设是由滤波得到，则相应的滤波器频谱为(3.5.4)滤波器对应的时间函数是

(3.5.5)任何一个实信号的复信号(解析信号)可由滤波得到(3.5.6)称为的Hilbert变换。相当于进行滤波处理，滤波单位脉冲响应为，Hilbert变换又称为90°移相滤波。2/8/202333机械工程学院机自所动态室3.5信号调制与解调分析3.5.3

Hilbert解调原理设窄带调制信号，是缓慢变化的调制信号。令，是的瞬时频率。设的Hilbert变换为。则它的解析信号为(3.5.10)解析信号的模或信号的包络为(3.5.11)解析信号的相位为(3.5.11)解析信号相位的导数或瞬时频率为(3.5.11)2/8/202334机械工程学院机自所动态室第三章信号的频域分析

3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.2相干分析及应用3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.5

信号调制与解调分析3.6时间序列建模与自回归谱分析3.7全息谱理论和方法2/8/202335机械工程学院机自所动态室3.6时间序列建模与自回归谱分析随机信号的参数模型频谱估计的步骤可以分为以下三步:（1）对给定的随机信号确定合理的参数模型；（2）根据信号的自相关函数估计所确定的模型的参数；（3）用估计出的模型参数计算信号的功率谱密度函数。3.6.1

谱估计原理及常见的参数模型设随机信号是由白噪声激励某一确定性的线性系统所产生的。若已知白噪声的功率和系统的传递函数，就可根据式(3.6.1)估计出信号的功率谱密度函数。(3.6.1)设参数模型的输入和输出满足差分方程(3.6.2)系数和就是模型的参数，常数和被称为参数模型的阶数。2/8/202336机械工程学院机自所动态室3.6时间序列建模与自回归谱分析3.6.1

谱估计原理及常见的参数模型进行变换，得到参数模型的传递函数为：(3.6.3)显然，是一个有理分式。根据的不同，参数模型可分为三类：1）自回归(Auto-regressive，AR)模型当，模型AR(P)为(3.6.4)(3.6.5)AR模型的传递函数中只含有极点，不含有零点，是全极点模型。输出功率谱为(3.6.7)2/8/202337机械工程学院机自所动态室3.6时间序列建模与自回归谱分析3.6.1

谱估计原理及常见的参数模型

2）滑动平均(Moving-average，MA)模型当，模型MA(q)为(3.6.8)(3.6.9)参数模型的输出是该时刻的输入和以前q

个输入的线性组合，称为滑动平均模型，其传递函数中只含有零点，不含有极点，所以MA模型也叫作全零点模型。3）自回归滑动平均(Auto-regressive&Moving-average，ARMA)模型若不全为零，也不全为零，则称为自回归滑动平均模型，记为，其中p和q为ARMA模型的阶数。ARMA模型的传递函数既包含零点，又包含极点，所以ARMA模型也叫作极、零点模型。所建立的模型是多项式的有理分式，因此得到的功率谱密度函数是频率的连续函数。

以上3种模型适用较短的信号，对非平稳性信号的频谱分析也有利。2/8/202338机械工程学院机自所动态室3.6时间序列建模与自回归谱分析3.6.2

AR模型的建立

从数学逼近的角度来讲，三种模型可以互相转换。由于AR模型的参数估计可以归结为求解一组线性方程组，计算简单。因此，AR模型便成为研究最多且应用最广的一种参数模型。AR模型：(3.6.4)自相关估计(3.6.10)(3.6.11)(3.6.12)2/8/202339机械工程学院机自所动态室3.6时间序列建模与自回归谱分析3.6.2

AR模型的建立令，且有得如下的规范方程(3.6.13)式(3.6.13)就是AR模型的Yule-Walker方程。由于一个p阶AR模型共有个参数，即和。只要已知输出信号的前个自相关函数，就可求出这个参数。

2/8/202340机械工程学院机自所动态室3.6时间序列建模与自回归谱分析3.6.2

AR模型阶次的确定AR模型建模的另一个问题就是如何选择合适的阶次p。阶次的判据有1）最终预测误差判据FPE(FinalPredictionErrorCriterion)(3.6.14)2）信息论判据AIC(Akaika’sInformationCriterion)(3.6.15)AIC准则的改进形式称为BIC准则，即(3.6.16)其中，N为数据长度，p为阶次，为预测误差的均方值。选择判据的极小值对应的p作为AR模型的最佳阶次。经验公式：数据序列长度在20~50之间，阶次p可取长度的一半；数据序列长度在50~100之间，阶次p可取长度的三分之一到一半2/8/202341机械工程学院机自所动态室第三章信号的频域分析

3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.2相干分析及应用3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.5

信号调制与解调分析3.6时间序列建模与自回归谱分析3.7全息谱理论和方法2/8/202342机械工程学院机自所动态室3.7全息谱理论和方法3.7.1全息谱理论和技术西安交通大学屈梁生院士提出了一种全息谱理论和分析方法。综合考虑了振动信号幅值、频率和相位信息，真实地反映机组振动状态。1)全息谱基础全息谱技术要求在每个测量面上安装两个相互垂直的位移传感器。全息谱要求参与集成融合的各个传感器的输出信号必须具有高度的一致性。

让键相信号触发多通道信号采集，这样就保证了各个通道的同步采样，各通道信号的起始时刻就是键相信号的触发时刻。全息谱方法在集成融合过程中对参数的精确性有要求。

在进行频域转换后，能够精确确定谱线的频率、幅值和相位。这实质上也是构造全息谱的一项关键技术。2/8/202343机械工程学院机自所动态室3.7全息谱理论和方法3.7.1全息谱理论和技术2)二维全息谱将转子测量截面上水平和垂直两方向的振动信号作傅里叶变换，从中提取各主要频率分量的频率、幅值和相位。然后按照各主要频率分量分别进行合成，并将合成结果按频率顺序排列在一张谱图上，就得到了二维全息谱。若转子截面两个方向(水平方向和垂直方向)振动信号中的第主要频率分量的参数方程为：(3.7.1)其中，代表不同的主要频率分量，。和分别为第主要频率分量的相位，和为第主要频率分量的幅值，为主要