2023年安徽省宣城市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年安徽省宣城市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.一端固定，一端为弹性支撑的压杆，如图所示，其长度系数的范围为()。

A.μ<0.7B.μ>2C.0.7<μ<2D.不能确定

2.当x→0时，3x2+2x3是3x2的()。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价无穷小

3.设f(x)为连续函数，则下列关系式中正确的是()A.A.

B.

C.

D.

4.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

5.若x→x0时，α(x)、β(x)都是无穷小(β(x)≠0)，则x→x0时，α(x)/β(x)A.A.为无穷小B.为无穷大C.不存在，也不是无穷大D.为不定型

6.若函数f(x)=5x，则f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

7.

8.设y=2x3，则dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

9.设z=x2y，则等于()。A.2yx2y-1

B.x2ylnx

C.2x2y-1lnx

D.2x2ylnx

10.鉴别的方法主要有查证法、比较法、佐证法、逻辑法。其中（）是指通过寻找物证、人证来验证信息的可靠程度的方法。

A.查证法B.比较法C.佐证法D.逻辑法

11.设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论肯定正确的是()。A.

B.

C.

D.

12.

13.

14.

15.设y1、y2是二阶常系数线性齐次方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，C1、C2为两个任意常数，则下列命题中正确的是A.A.C1y1+C2y2为该方程的通解

B.C1y1+C2y2不可能是该方程的通解

C.C1y1+C2y2为该方程的解

D.C1y1+C2y2不是该方程的解

16.

17.设y=cos4x，则dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx

18.过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程为()．

A.x+y+z=1

B.2x+y+z=1

C.x+2y+z=1

D.x+y+2z=1

19.

20.

二、填空题(20题)21.设函数y=x2+sinx，则dy______．

22.

=_________．

23.

24.

25.曲线y=(x+1)/(2x+1)的水平渐近线方程为_________.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.幂级数的收敛半径为______．

36.

37.

38.设，则y'=________。

39.

40.

三、计算题(20题)41.求微分方程的通解．

42.

43.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

44.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

46.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

47.

48.

49.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

50.

51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.

53.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

54.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

55.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

56.证明：

57.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

58.

59.

60.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

四、解答题(10题)61.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。

62.

63.求垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程．

64.

65.将展开为x的幂级数．

66.

67.求由曲线y2=(x-1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.

68.设y=ln(1+x2)，求dy。

69.

70.

五、高等数学(0题)71.求

的极值。

六、解答题(0题)72.将f(x)=sin3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。

参考答案

1.D

2.D本题考查的知识点为无穷小阶的比较。

由于，可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小，故应选D。

3.B本题考查的知识点为：若f(x)可积分，则定积分的值为常数；可变上限积分求导公式的运用．

注意到A左端为定积分，定积分存在时，其值一定为常数，常量的导数等于零．因此A不正确．

由可变上限积分求导公式可知B正确．C、D都不正确．

4.C

5.D

6.C本题考查了导数的基本公式的知识点。f'(x)=(5x)'=5xln5.

7.D

8.B由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B．

9.A本题考查的知识点为偏导数的计算。对于z=x2y，求的时候，要将z认定为x的幂函数，从而可知应选A。

10.C解析：佐证法是指通过寻找物证、人证来验证信息的可靠程度的方法。

11.D本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系由函数连续性的定义：若在x0处f(x)连续，则可知选项D正确，C不正确。由于连续性并不能保证f(x)的可导性，可知A不正确。自于连续必定能保证极限等于f(x0)，而f(x0)不一定等于0，B不正确。故知应选D。

12.D解析：

13.D

14.A

15.C

16.B解析：

17.B

18.A设所求平面方程为．由于点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，将它们的坐标分别代入所设平面方程，可得方程组

故选A．

19.C

20.A

21.(2x+cosx)dx；本题考查的知识点为微分运算．

解法1利用dy=y'dx．由于y'=(x2+sinx)'=2x+cosx，

可知dy=(2x+cosx)dx．

解法2利用微分运算法则dy=d(x2+sinx)=dx2+dsinx=(2x+cosx)dx．

22.

。

23.π/4本题考查了定积分的知识点。

24.

本题考查的知识点为初等函数的求导运算．

本题需利用导数的四则运算法则求解．

本题中常见的错误有

这是由于误将sin2认作sinx，事实上sin2为－个常数，而常数的导数为0，即

请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定为0．

25.y=1/2本题考查了水平渐近线方程的知识点。

26.1．

本题考查的知识点为二元函数的极值．

可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．

27.

解析：

28.

29.|x|

30.2/32/3解析：

31.2

32.

33.90

34.1．

本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义．

由于f(1)=2，可知

35.0本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给幂级数为不缺项情形

因此收敛半径为0．

36.

37.

本题考查了一元函数的导数的知识点

38.

39.y=f(0)

40.1．

本题考查的知识点为反常积分，应依反常积分定义求解．

41.

42.

43.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

44.函数的定义域为

注意

45.

46.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

47.

则

48.

49.由等价无穷小量的定义可知

50.

51.

52.

53.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

54.

列表：

说明

55.

56.

57.由二重积分物理意义知

58.

59.由一阶线性微分方程通解公式有

60.

61.

62.

63.由于直线2x-6y+1=0的斜率k=1/3，与其垂直的直线的斜率k1=-1/k=-3．对于y=x3+3x25，y'=3x2+6x．由题意应有3x2+6x=-3，因此x2+2x+1=0，x=-1，此时y=(-1)3+3(-1)2-5=-3．即切点为(-1，-3)．切线方程为y+3=-3(x+1)，或写为3x+y+6=0．本题考查的知识点为求曲线的切线方程．

求曲线y=f(x，y)的切线方程，通常要找出切点及函数在切点处的导数值．所给问题没有给出切点，因此依已给条件找出切点是首要问题．得出切点、切线的斜率后，可依直线的点斜式方程求出切线方程．

64.

65.

；本题考查的知识点为将初等函数展开为x的幂级数．

如果题目中没有限定展开方法，一律要利用间接展开法．这要求考生记住几个标准展开式：，ex，sinx，cosx，ln(1+x)对于x的幂级数展开式．

66.

67.

注：本题关键是确定积分区间，曲线为y2=(x-1)3.由y2≥0知x-1≥0即x