综合滚动练习相似三角形的性质与判定

综合滚动练习：相似三角形的性质与判定时间：45分钟分数：100分得分：________一、选择题(每小题4分，共32分)1．(2022·杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则()A.eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)B.eq\f(AE,EC)＝eq\f(1,2)C.eq\f(AD,EC)＝eq\f(1,2)D.eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)第1题图第2题图第3题图2．如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A.eq\f(b2,c)B.eq\f(b2,a)C.eq\f(ab,c)D.eq\f(a2,c)3．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为()A.eq\f(4,9)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)4．(2022·合川区校级模拟)下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是()A．②④B．①③C．①②④D．②③④5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC边于点E，AD＝5，BD＝2，则DE的长为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,25)C.eq\f(2,25)D.eq\f(4,5)第5题图第6题图第7题图6．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF的值为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6)D.eq\f(6,7)7．如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，则BN的长度为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(8,5)D.eq\f(12,7)8．★如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D.已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则eq\f(AB,BD)的值为()A.eq\f(4\r(2),5)B.eq\f(\r(34),5)C.eq\f(5\r(2),8)D.eq\f(20\r(2),23)第8题图第10题图第11题图二、填空题(每小题4分，共24分)9．(2022·宿迁中考)若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是________．10．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，A、B、C、D、O都在横线上，且AD、BC为线段．若线段AB＝4cm，则线段CD＝________cm.11．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，且AD＝2，DC＝4，AE＝3，EB＝1，则DE∶BC＝________．12．(2022·潍坊中考)如图，在△ABC中，AB≠AC.D，E分别为边AB，AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：____________________，可以使得△FDB与△ADE相似(只需写出一个)．第12题图第13题图第14题图13．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝4，则GH的长为________．14．(2022·齐齐哈尔中考)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为________________．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，△ABC中，D为AB上一点．已知△ADC与△DBC的面积比为1∶3，且AD＝3，AC＝6，请求出BD的长度，并完整说明为何∠ACD＝∠B.16．(10分)(2022·怀化中考)如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB＝AD，AC＝CD.(1)求证：△ACD∽△BAD；(2)求证：AD是⊙O的切线．17．(12分)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD＝AC，EC交AD于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)求证：FC＝3EF.18．(12分)(2022·常德中考)如图，直角△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F.若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：(1)GM＝2MC；(2)AG2＝AF·AC.参考答案与解析1．B2.A3.C4.A5.D6．B解析：设AD＝k，则DB＝2k.∵△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA＋∠FDB＝120°.又∵∠EDA＋∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF.由折叠的性质得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，∴△AED与△BDF的相似比为4∶5，∴CE∶CF＝DE∶DF＝4∶5.7．D解析：∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥BC，GF∥BN，且DE＝GF＝EF＝1，∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)①，eq\f(AE＋EF,AB)＝eq\f(GF,BN)②.由①可得eq\f(AE,4)＝eq\f(1,3)，解得AE＝eq\f(4,3)，将AE＝eq\f(4,3)代入②，得eq\f(1,BN)＝eq\f(\f(4,3)＋1,4)，解得BN＝eq\f(12,7).8．A解析：作BF⊥l3，AE⊥l3，AE交l2于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＋∠ACE＝90°.∵∠BCF＋∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF.在△ACE和△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CEA＝∠BFC，,∠ACE＝∠CBF，,AC＝BC，))∴△ACE≌△CBF，∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4.∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG＝1，BG＝EF＝CF＋CE＝7，∴AB＝eq\r(BG2＋AG2)＝5eq\r(2).∵l2∥l3，∴eq\f(DG,CE)＝eq\f(AG,AE)＝eq\f(1,4)，∴DG＝eq\f(1,4)CE＝eq\f(3,4)，∴BD＝BG－DG＝7－eq\f(3,4)＝eq\f(25,4)，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(5\r(2),\f(25,4))＝eq\f(4\r(2),5).9．1∶210.611.1∶212．DF∥AC或∠BFD＝∠A13.eq\f(4,3)14．113°或92°解析：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°.∵△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD.①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝eq\f(1,2)×(180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°；②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°，故答案为113°或92°.15．解：∵△ADC与△DBC同高，且△ADC与△DBC的面积比为1∶3，AD＝3，∴BD＝9，∴AB＝12.(4分)∵AC＝6，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(7分)又∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴∠ACD＝∠B.(10分)16．证明：(1)∵AB＝AD，∴∠B＝∠D.∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∴∠CAD＝∠B.∵∠D＝∠D，∴△ACD∽△BAD.(5分)(2)如图，连接OA.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∴∠OAB＝∠CAD.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．(10分)17．证明：(1)∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACB.又∵DE⊥BC且BD＝CD，∴BE＝CE，(3分)∴∠B＝∠ECB，∴△ABC∽△FCD.(5分)(2)∵△ABC∽△FCD，∴eq\f(CD,BC)＝eq\f(FD,AC).∵D是BC边的中点，∴BC＝2CD，∴AD＝AC＝2FD.(7分)∵∠ACD＝∠ADC，∠B＝∠FCD，∴∠EAD＝∠ACE，∴△EAF∽△ECA，∴eq\f(EA,EC)＝eq\f(EF,EA)＝eq\f(AF,AC)＝eq\f(1,2)，(10分)∴EC＝2EA＝4EF，∴FC＝3EF.(12分)18．证明：(1)如图，过G作GH∥AD交BC于H.∵AG＝BG，∴BH＝DH.(2分)∵BD＝4DC，设DC＝1，BD＝4，∴BH＝DH＝2.∵GH∥AD，∴eq\f(GM,MC)＝eq\f(HD,DC)＝eq\f(2,1)，∴GM＝2MC.(6分)(2)如图，过C作CN⊥AC交AD的延长线于N