欧氏几何的公理体系和我国平面几何课本的历史演变

第五讲解析几何与微分几何简史

（一）解析几何简史在数学发展史上，17世纪前基本属于常量数学时期，也称初等数学时期。这个时期人们考虑的只是常量与固定的图形，其基本的成果构成现在中学数学的主要内容。到16世纪，由于天文，航海，采矿等生产实践的须要，促使数学有了一个飞跃的发展，于是产生了变量数学。这个时期，解析几何与微积分的出现标记着近代数学的起先。1．数学中的转折点

变量数学建立的一个标记就是17世纪初法国数学家笛卡儿，他把变量引进了数学，并创立了坐标的概念，1637年发表了长篇论著，其中后一部分以“几何学”命名，包括现在平面解析几何中特殊完全的叙述。对此，恩格斯在《自然辩证法》中指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”现代公认的解析几何的创始人是法国第一流的哲学家、物理学家、生物学家、数学家笛卡儿（R.Descartes1596——1650）。1628年移居荷兰，潜心于哲学和数理的探讨，写成《宇宙论》、《方法论》等多种著作。笛卡儿对欧氏几何特殊偏爱，但又深感几何命题的每一步证明，总是要求某种新的、依靠于图形直观的奇巧构思。他深信，只要把几何和代数的力气结合在一起，相互取长补短，就能弥补欧氏几何的缺陷，就能找到一种解决全部几何问题的统一方法。2．笛卡儿的坐标法与《几何学》1637年，《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书出版，作为该书三个附录之一的《几何学》，阐述了他的坐标几何的思想，标记着解析几何的诞生。《几何学》共分三卷。卷一探讨直线型和圆的尺规图；卷二探讨曲线的性质及巴布士的轨迹问题；卷三探讨当时流行的图解方程问题，特殊是三次以上的代数方程图解问题，其中包含了笛卡儿的符号法则。

笛卡儿在《几何学》中通过选定一条射线作为基线的方法建立了倾斜坐标系。用两个坐标x,y表示平面点的位置，形成了明确的坐标概念。然后，他借助于坐标，并通过点动成线的观点用以建立曲线的方程。笛卡儿的方程不只是已知数和未知数之间的一个关系式，而是两个变数之间的一个关系式，是平面曲线的一种全新的表示方法。这就实现了代数与几何的相互结合，开创了一门崭新的数学学科——坐标几何。1792年拉克鲁瓦（Lacroix）定名为解析几何。3．解析几何的两类课题一类是已知方程求曲线，用方程的代数性质探讨对应曲线的几何性质。另一类是已知曲线或仅仅是曲线的某些几何特征，确定曲线的方程，并用曲线的几何性质探讨对应方程的代数性质。笛卡儿的功绩在于：它证明白几何问题可以转化为代数问题，因此，可以运用代数方法探讨几何对象，或者说，用形来表示数，用数来探讨形，进而探讨四周变更着的客观世界。因为客观世界不过是固体化了的空间，或者说是几何学的化身。正如笛卡儿所说：“给我延展和运动，我将把宇宙构造出来。”笛卡儿的解析几何向着实现这一目标，前进了一大步。笛卡儿探讨了线段的定比分点、两点间的距离、三角形的面积等简洁几何问题，并用含已知点的坐标的代数公式给出了这些几何问题的解。进一步，他指出，假如两条曲线以同一个坐标系为参考，则其交点有它们的方程的公共解来确定。求出曲线y=f(x)与直线y=0的交点，相当于找到了代数方程f(x)=0的解，这就创建了一种用几何曲线解代数方程的图解法。笛卡儿充分相识到代数的重要性。从逻辑上看，代数的地位更基础一些，分析也是代数的延展，这就使代数不仅从几何中独立出来，而且成为一个重要的数学分支。自然，笛卡儿的工作也不是完备无缺的。他没有引入其次条坐标轴，即y轴；也没有明确运用过“横坐标”、“纵坐标”、“坐标”等解析几何的语言。他的坐标轴只有正向而没有负向，因此，他的曲线仅限于x取正值的第一象限之内。。在十八世纪，人们把“代数”和“解析”两个词等同对待，当时的解析法即为代数法。因此，为这门新几何命名时，称之为解析几何，后来，始终沿用到现在。4．费马的工作著名法国数学家费马（Fermat1601——1665）与笛卡儿的区分在于：笛卡儿侧重从轨迹动身然后找寻它的方程，而费马则从方程动身去探讨轨迹；笛卡儿对希腊人的传统持批判的观点，而费马是从继承希腊人的思想起先工作的。1629年费马写成《平面和空间轨迹引论》一书，内容是关于直线、圆和圆锥曲线方面的。书中通过引进坐标，找到了用探讨代数方程推断曲线性质的一般方法，从而将几何命题的证明归结为一种代数技巧，降低了几何证明的繁难程度。为此，他在平面上取一条底线，考察平面上随意曲线的一般点J，J的位置用两个字母A、E确定。A是底线上O到Z的距离，E是Z到J的距离，ZJ是倾斜于底线OZ的。易于看出，费马所用的坐标就是今日的倾斜坐标，A、E就是X、Y。随后，他给出了几种常见曲线的轨迹方程。用现在的记法，就是：过原点的直线：ax=by；随意直线：d(a-x)=by；圆：；椭圆：；双曲线：；另一种双曲线：xy=a；抛物线：；费马精辟地加以概括：“凡含有两个未知数的方程，总可确定一个轨迹，并能画出一条直线或曲线。”但是，费马和笛卡儿一样，既没有y轴的概念，也不用负数，不能认为是成熟的坐标几何。5．解析几何的不断完善

英国数学家瓦里斯（Wallis1616——1703）在1655年出版的《圆锥曲线论》一书中，才引进了纵横轴和负坐标，把曲线范围扩大到整个实平面。这部著作中，他还考察了阿波罗尼的圆锥曲线理论，用代数方程定义圆锥曲线，历史上第一次搞清了圆锥曲线就是含ｘ，ｙ的二次方程所表示的曲线。把坐标几何推广到三维空间的是拉·希尔（L·Hire）的工作，他在1679年的论文中，用三个坐标表示空间的点，并给出了空间曲面的方程。

1691年雅各·伯努利（Jakob·Bernoulli1654——1705）引入了极坐标，先后发觉了双纽线，悬链线、对数螺线和旋轮线等多种特殊曲线。1705年．居西尼（Guisnee）在《代数在几何中的应用》一书中，第一次明确运用直角坐标系。1731年，法国的克雷洛(Clairaut1713——1765)指出，表示空间曲线须要两个曲面方程；而x,y,z的齐次方程则表示顶点在原点的锥面；方程表示是绕z轴旋转的旋转曲面。第一本现代形式的解析几何教程是1784年出版的欧拉（Euler1707——1783）的《无穷小分析引论》。该书的其次部分专讲几何学，引入了直角坐标、斜角坐标和极坐标的概念；运用了弧度制，定义了三角函数，给出了六种三角函数的现代记号；详尽地探讨了一般二次曲线以及部分高次曲线；定义了欧拉角，给出了空间直角坐标变换的公式，考察了一般形式的三元二次方程表示的曲面，以及将它化为锥面、柱面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛物面的方法。1788年法国数学家、天文学家、物理学家拉格朗日（Lagrange1736——1813）发表了他的最重要的力学著作《解析力学》，书中运用向量表示力、速度和加速度等具有方向的量，用于探讨质点力学和刚体力学，为向量几何奠下了第一块基石。1804年法国数学家蒙日(Monge1746——1818)和他的学生哈歇特(Hachette)在《代数在几何中的应用》一书中，证明白二次曲面的平截线是二次曲线，单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹曲面。欧拉，拉格朗日和蒙日公认为是使解析几何成为一门独立学科的最重要的三位数学家。1827年和1831年，德国的莫比乌斯（Mobius）和普吕克(Plucker)，分别在《重心计算》和《解析几何的发展》两本书中各自独立地引进了齐次坐标，用以探讨曲线的无穷远性质。1844年，德国人格拉斯曼（Grassmann）最先提出多维欧氏空间的概念，引进了向量的记号，定义了向量的数量积，使解析几何从坐标代数进入向量代数的更高阶段。（二）微分几何简史经典微分几何学是运用数学分析的理论探讨曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，它是探讨一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。微分几何学的产生和发展是和数学分析亲密相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而起先了曲线的内在几何的探讨。1．微分几何概况十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的探讨中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。1827年，高斯发表了《关于曲面的一般探讨》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展阅历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依靠于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。1872年克莱因在德国埃尔朗根高校作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，渐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科，即发展为近代微分几何。总之，经典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。2．经典微分几何学的基本内容

以光滑曲线(曲面)作为探讨对象，由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念绽开的。既然是探讨一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的探讨内容，而要计算曲率就要用到微分的方法。在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是多数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在平面上，测地线是直线，而在一般的曲面上，测地线起到直线的作用。在微分几何里，要探讨怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要探讨测地线的性质等。另外，探讨曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。在微分几何中，为了探讨随意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对随意曲线的“小范围”性质的探讨，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行探讨。微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。3．近代微分几何近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的探讨，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了亲密的关系，这些数学部门和微分几何相互渗透，