高考命题设计与考核能力要求

【经典资料，ＷＯＲＤ文档，可编辑修改】【经典考试资料，答案附后，看后必过，ＷＯＲＤ文档，可修改】高考命题设计与考核能力要求----数学数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用所学数学知识和方法分析和解决实际问题的能力．数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，在强调综合性的同时，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查．一、命题原则学科考试目标确定了学科考查的总要求，在命题工作中如何贯彻指导思想，将对知识、方法、能力的要求落实到具体题目，组成一张理想的试卷则可依据一定的原则进行具体操作，这就是命题原则．命题原则是编拟试题、组成试卷时所遵循的行为准则．具体地，高考数学命题的基本原则是：1．体现学科特点数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，高度的抽象性、结论的确定性和应用的广泛性是数学的特点．数学的研究对象和特点体现在数学考试中就形成数学考试的学科特点．（1）概念性强．数学是由概念、命题组成的逻辑系统，而概念是基础，是使得整个体系连结成一体的结点．数学中每一术语、符号和习惯用语都有着明确具体的内涵．这个特点反映到考试中就要求考生在解题时首先要透彻理解概念的含义，弄清不同概念之间的区别和联系，切忌将数学语言和日常用语混为一谈，更不应出现“望文生义”之类的错误．（2）充满思辨性．这个特点源于数学的抽象性、系统性和逻辑性．数学知识不是经过观察实验总结出来的，而是经演绎推理而形成的逻辑体系，逻辑推理是其基本的研究方法；数学不是知识性的学科，而是思维型的学科．因此，数学试题靠机械记忆，只凭直觉和印象作答的很少．为了正确解答，总要求考生具备一定的观察、分析和推断能力．（3）量化突出．数量关系是数学领域研究的一个重要方面，也是数学测试不可缺少的内容，因此数学试题中定量性占有较大比重，试题中的定量要求一般不是简单、机械的计算，而是把概念、法则、性质寓于计算之中，在运算过程中考查考生对算理、运算法则的理解程度、灵活运用的能力及准确严谨的科学态度．由此可见，突出量化是数学试题的一个明显特点，并有重要的意义．（4）解法多样．一般数学试题的结果虽确定惟一，但解法却多种多样，有利于考生发挥各自的特点，灵活解答，真正显现其水平，命题时应考虑各种等价解法的考查重点和难易大致相同，解答到同样深度给同样的分值，不同解法的考查要求符合命题的初衷，能实现考查目的．数学试题的特点是高考数学命题的基础，在命题过程中应充分考虑这些特点，发挥数学内部的选拔机制，实现高考的选拔功能．2．控制试卷难度高考的目的是为高校选拔新生，但其要求仍要以高中教学水平为基础．因此，确定试卷的要求是命题的关键．《全日制中学数学教学大纲》既是实施教学的依据，也是高考命题的依据，试题考查的知识和能力要求都不能超出教学大纲的规定．由于目前高考对中学教学有较大的影响，数学考试的内容和形式都应当有利于中学数学的教学改革．数学高考不同于数学竞赛．首先，考试内容不同，高考内容限制在中学教学大纲规定的范围内，以传统的初等数学为主；数学竞赛以数论、组合数学内容为主，所受限制较少．其次，考查要求不同，高考以知识为基础来考查各种能力；而竞赛试题涉及知识点一般不多，主要考查灵活解题的技巧及较高层次的能力．最后，高考兼有速度要求，试卷难度适中，一般考生都能得到基本分；而竞赛是典型的难度考试，试卷难度很大，只有极少数考生能取得较好成绩．高考与高中毕业会考也有实质的区别，尽管两种考试在考查的知识内容上大致相同，但考查的能力要求却不尽相同，即在教学大纲规定范围以内，考查深度不一样，由于会考是水平考试，考试内容要求属于成绩考试的范畴，会考命题是按照教学大纲的基本要求，并充分考虑本地区的教育水平；而高考毕竟要选拔合格高中毕业生中的少数人，因此高考命题当然要考虑使优秀学生的水平得以充分显现．高考试卷的知识和能力要求，必须从选才角度出发，并兼顾高中教学的水平．整份试卷要求的水平是通过试卷绝对难度体现的．绝对难度可以理解为题目本身要求解答者所具有的智力活动水平的高低和智力活动量的测量．一般认为题目能力要求的层次与题目绝对难度成正比，即只需要单独记忆内容的题目较易，需要理解掌握的较难，需要灵活应用的更难．所以，试题绝对难度反映了试题与学科知识、能力要求的适应程度．在选拔性考试中，通过控制绝对难度可以实现考试大纲所要求的水平．但更重要的是应控制试题要求的水平与考生知识能力水平适合的程度，即相对难度．因为，高考为实现其选拔功能，试卷必须对不同水平的考生具有良好的区分能力，使考生分数的分布有利于从高分到低分“拉开距离”，特别是要拉开每年的前20%可能被录取的考生分数的距离．因此高考试卷的难度，是由全体考生特别是成绩最好的20%的考生的水平决定的．经典测量理论中建立在平均得分率意义上的试题难度，本质上是从考生的角度评价试题的难易，即试卷与考生整体水平的适应程度．从这个意义上讲，控制相对难度比控制绝对难度更为重要．根据教育测量学原理，大规模考试的整卷难度在0．5左右最为理想，可以使考生成绩呈正态分布，标准差比较大，各分数段考生人数分布比较合理，对考生总体的区分能力最强．但考虑到我国中学的评价方法和评价机制尚不健全，高考事实上对高中教学有着较强的评价导向作用，为稳定高中教学秩序，照顾全国总体的实际教学水平，整卷难度控制在0．55左右比较合适．为控制整卷难度，首先要认真了解、分析当年考生经过系统的复习、训练、强化后的水平，分析考生的知识基础和能力构成，注重试题水平与考生水平的基本吻合，不能片面强调不同年份间试题绝对难度的稳定．其次要恰当控制试卷中各个试题的难度，一般在0．2～0．8左右，整个试卷中各种难度试题分数的分布也应该适当．最后还要考虑到我国教育发展极不平衡的现状及不同地区考生差别很大的事实，在每种题型中都编拟一些较易试题，使大部分考生都得到一定的基本分．在每种题型中都编拟一些有一定难度的试题，实现选拔的目的．注意文史类和理工农医类试卷的区别．由于理工农医类高校与文史类高校对新生数学水平的要求存在着差别，所以考试中分为两类试卷．在内容上，文科要求少一些，“反三角函数和简单三角方程”、“参数方程和极坐标”不作要求．在新课程的高考中，文理科考试内容和要求有更大的差别．在导数部分，文科试卷只有多项式函数的导数．在概率与统计部分文科的要求只含统计的内容，包括：抽样方法，总体分布的估计，总体期望值和方差的估计．理科的要求包括：离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归．理科有复数，文科没有复数．随着社会科学的发展及文科专业理论研究、实际应用中定量化的趋势日益加强，对文科考生的数学要求也在逐渐提高．但文理科试卷在难度上也还有差别，试卷中交叉共用的部分多数属于中等难度的试题．3．合理配置题型，发挥各种题型功能试题的内容要求和能力要求是通过一定的形式呈现的．题型就是体现考试要求的形式．不同类型试题在考查不同知识和能力要求上有不同的功能．一个考试所采用的题型，主要取决于考试目的、内容和误差控制等要求，近年来，高考数学科选用的题型主要有四选一的选择题，以及填空题和解答题．以考生作答方式和评分方法分类，选择题、填空题应属于客观题，因其评分不受评分者主观因素的影响，而解答题应属主观题．主、客观性试题的比例是值得注意的一个问题，应从我国提倡的标准化考试的目的、性质出发，从本学科的知识与智能结构出发来确定题型及其比例．题型要为考试内容来服务，内容才决定了题型．现行高考中，数学科试卷三种题型的比例是40％，10％和50％，这是考虑到考试目的、学科特点、评卷工作量和评卷误差等多种因素，经综合平衡后确定的．（1）数学因为其学科特点，不但要考查考生应当掌握的数学知识，而且要考查考生必须掌握的数学方法，考查应用知识和方法的能力以及分析问题和解决问题的过程，即不但要在知识的领会层次上对考生进行测试，还要在运用、分析、综合和评价层次上测试考生的能力，因此必须保持一定数量的解答题．解答题作为一种主观题，要求考生写出解题过程，能够比较全面地反映考生学科智力水平，展示其分析数学问题、综合运用数学知识进行逻辑思维的过程，适合对发散、综合、评价、复杂运算、文字表达等高层次能力的考查；一定量的解答题对中学教学也有较好的导向作用．实验表明，客观题比例越大，考生对严密的逻辑推理、准确的计算和条理的表达等方面则越不重视，教学上相对来说可能放松要求，对中学数学教育产生不良影响．但解答题作为一种主观题也有其本身的不足，如对评卷者要求较高，题量少覆盖面窄，特别是难以实行机器评卷，评卷效率低，等等．因此，高考中不能像校内班级测验或“文革”前试卷那样全是解答题，应定出合适的比例．（2）从考查目标来看，高考强调在考查知识的基础上考查能力，因此需要一定的选择题考查基础知识，达到一定的覆盖面．近几年来，选择题、填空题和解答题前半部分的试题难度比较低，其作用之一是考查考生基础知识的掌握情况，发挥高考对中学教学的评价作用；再一个就是使有一定数学基础的考生都能人手做题，并取得较好的成绩，进而提高全卷的平均分，增强其学习数学的兴趣和自信．（3）从考试时间和题量看，数学科考试时间为120分钟，但覆盖面积要求较大，数学科有近130个知识点，为达到60％～70％的覆盖面，如果每题平均2～4个知识论点，要有近30个题，显然靠解答题是不可能很好地实现考查目的的，因此必须要有一定数量的选择题以增加全卷题目数量，提高覆盖率，同时也可以提高考试的信度和效度，使解答题真正发挥其考查综合分析、逻辑推理等复杂思维过程的功能．（4）从阅卷来看，尽管现在对选择题的功能还存在着很大的争论，但我们不能不承认选择题阅卷速度快、误差小、效率高的特点，我们更不能不面对我国每年有近500万考生这样的事实，为解决评卷工作量大、劳动强度高、误差控制要求严、时间紧迫等问题，只有增加选择题的比例，采用机器阅卷，减轻评卷教师工作量，以提高阅卷的速度和质量．对选择题本身的不足，我们已经采取措施弥补，采用一卷多卡、多卷（A、B卷）多卡等方式防止作弊．（如有必要，今后可考虑采用多项选择题，即正确选项多于一个．）4．注重整体设计，发挥结构效应为发挥学科特点，体现高考的选拔功能，发挥整份试卷的区分作用，还应注意对整卷效应的研究．从系统论的观点来看，高考数学试卷是一个系统．系统是由元素和结构决定的，试卷是由试题和试题的结构组成的．系统的质量具有整体性，试卷的好坏取决于整张试卷产生的效应，而不仅仅是个别试题产生的效应，每一个试题都是好题，但拼起来不一定是一张好试卷，因此设计一张好的试卷不仅要选编好的试题，而且要注意试卷的整体结构，发挥整体效应．（1）全面考查考生素质，在选拔中应强调，只有各方面的素质都比较好的学生才是高校所需的学生．因此，试卷应有合理的知识结构和能力层次结构，知识结构是指试卷中包含学科各部分知识的比例．在编制双向细目表时，应根据各部分内容的教学时数和普通高考对考生知识结构的要求，确定试卷中各部分知识内容的分数比例，全面考查概念、定理、公式和法则等各项基础知识．试卷能力层次结构反映试卷对能力要求的层次和比例．试卷对能力要求的层次和比例，反映着考查的性质和要求．同样的学科知识内容，不同性质的考试，对能力要求的层次和比例是不同的．在考试中，应既考查数学能力，又考查一般认识能力，如观察力、注意力、记忆力、想象力和思维能力；既考查较高层次的能力，又考查较低层次的能力．数学考试中，考试目标包括基本方法的内容，因此还应注意结合各项知识考查数学方法．数学科的命题细目表应是三维表格，即知识内容、数学方法和能力层次．只有三者有机结合，并融入具体的一道试题，才能有效地全面考查考生素质．（2）对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合．重点知识是支撑学科知识体系的主要内容，考查时要保持较高的比例，并达到必要的深度，构成数学试题的主体．学科的内在联系，包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系，以及各部分知识之间的横向联系．知识的综合性，则是从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题．数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它是在数学知识发生、发展和应用的过程中孕育出来的．因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时，要从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际．运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾算理和逻辑推理的考查．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，图形的处理与图形的变换都要注意与推理相结合．分析问题和解决问题的能力是上述三种基本数学能力的综合体现，对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础，加强思维品质的考查．对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际．（3）确定试题难易比例，提高试卷区分能力．试卷区分能力的强弱取决于试题区分度的高低，试题的区分度是试题对不同水平被试知识、能力水平区分鉴别的程度，区分度高的试题应使水平高的考生得高分，而水平低的考生得低分．统计学中以考生在该题的得分与总分的相关系数计算区分度．为使试卷有较强的区分能力，试卷必须有合理的难易结构．试卷难易结构是试卷中试题难度要求的档次和比例．合理的难易结构可以使试卷整体难度满足试卷应具有的区分能力的要求．因为通常的高考试卷并不一定每道试题都具有高区分度，但测试诸如理解、掌握、综合运用和灵活运用等高层次的思维活动时，要有高区分度的试题．这类试题的特点是内容具有一定的深度和广度，知识点覆盖面大，考查的能力较高，题目综合性强．其作用是给应试者留有较大的发挥余地，学业优秀的考生得以脱颖而出，各种水平的考生能得到相应的分数，拉开了考生的档次，有效地区分了考生．统计资料的研究表明，试卷的整体难度控制在0．55～0．60，试卷标准差最大，考生分数分布比较分散，试卷区分度最强，试卷中各种难度的档次一般这样界定：难度在0．7以上为易题，0．4～0．7为中档题，0．4以下为难题．试卷中易、中、难三种试题的比例为3∶5∶2比较合适，各种题型中易、中、难题目的比例分别为，选择题3∶2∶1，填空题2∶2∶1，而解答题一般不安排易题，中档题和难题的比例为3∶2．为使考生产生良好的心理效应，发挥各种题型的功能，试卷难度按两级坡度设计，整卷是一个大坡度，而每种题型由易到难又是一个坡度，各种题型中试题难度的起点都比较低，特别是在选择题部分，起点题水平相当于高中毕业考试的水平，其目的是测度全体考生对基础知识的掌握情况，为教学评价提供参考．选择题最后几题的选项有较大的迷惑性，以此来区分基础知识掌握的深度和熟练运用的程度．解答题变一题把关为多题把关，最后三题分别考查不同的内容并设置一定的关卡，区分考生综合和灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力．（4）控制试卷长度、卷面字数和计算量．试卷长度直接反映了试卷中题目数量，对实现考试目标有一定影响．题量过少，将不能全面考查各种知识、方法和能力，而且在客观上会助长猜题押题的风气；题量过大，多数考生在规定时间内不能答完全部题目，考试成绩与考生水平将会有较大的差距．数学知识彼此联系非常紧密，而且注重在一定情境中的综合应用．如果机械地套用语言测试的模式，题目很多，每题都很小，则只能简单地测试一些单个概念的记忆，既不能深入也不能综合，等于把知识体系肢解、割裂，抓不住数学的精髓，葬送了数学的价值．因此数学中的题目，特别是选择题和填空题，不能太少，必须有一定的深度、一定的综合性．数学试卷应注意难度考试为主的特点，试卷长度要控制恰当．卷面字数指卷面印刷符号数量和考生答卷书写字符的总和．为使考生能尽快、无误地获得信息，题目叙述应简单明了，字母、符号、标点都应正确运用并发挥其作用，在语言不能简明叙述或不能清楚表达时，应注意各种符号和图形的运用，减少生活语言对数学语言的干扰．控制考生答卷的书写时间，充分利用选择题书写答案简便的特点，尽量增加考生的思考时间．试题应尽量避免繁难的运算，控制各题的计算量，排除由于计算过多过繁造成耗时较多，或计算错误造成全题失分的现象，以便集中考查考生的各种能力．（5）编制公平的评分标准．对解答题的解法，应优先考虑绝大部分考生所可能使用的方法，同时注意各种等价解法难度的平衡，并鼓励有创见的解法，各分数段的安排要科学合理，分数给在关键步骤，层次分明，尽量使之对不同形式的解都便于评阅．分数的间隔不易过大，以2～3分为宜，以便控制评分误差．二、能力要求普通高考的目的和性质决定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核，而且要对考生所学习的知识的内在联系、学科基本规律及方法的理解程度和应用程度进行考查，即考查考生的一般心理能力和学科能力．从学科角度和命题实践出发，可将高考的数学考试的能力要求归纳为以下几个方面．（1）逻辑思维能力：会对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行判断和推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述．（2）运算能力：理解算理，会根据法则、公式、概念进行数、式、方程的正确运算和变形；能分析条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计，能运用计算器进行数值计算．（3）空间想象能力：能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形．（4）分析和解决实际问题的能力：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．1．逻辑思维能力的考查逻辑思维能力主要是指使用形式逻辑的思维方式，正确合理地进行判断、推理的思考能力，包括观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比等．逻辑思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本素质的主要标志．逻辑思维能力在数学科中是使用数学素材进行训练和培养的，但这种思维具有思维的一般性，是完全可以脱离数学内容而适用于思维的一切领域．因此，高考应把逻辑思维的考查放在重要的位置．高考对逻辑思维的考查以演绎推理为重点，注意归纳和类比推理；考查观察、比较、分析、综合、抽象和概括能力；注意数学语言、普通语言的理解和运用；注意思维品质的考查．（1）演绎推理．数学是一个各部分紧密联系的逻辑系统，形式逻辑推理是基本方法．由概念组成命题，由命题组成判断，由判断组成证明．在数学领域中只有被严密逻辑证明了的结论才被承认为正确的，因此数学是体现逻辑最为彻底的学科．中学没有逻辑学科，数学就很自然地承担了这方面的责任，因此数学考试中着重考查了演绎推理的能力．演绎推理能力是指从定义出发进行分析、推理、论证的能力，其重点是三段论推理．大学对合格新生的要求一方面是掌握一定的数学知识，但更重要的是具有一定的能力．在大学数学基础课程中，学生普遍感到困难的是线性代数，如向量空间．究其原因，是学生利用原理、定义进行抽象推理的能力没有达到要求．高考对逻辑思维能力的考查主要体现在对演绎推理的考查．试卷中考查演绎推理的试题比例较大，命题时既要考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又要考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考查．试题［2000年］若a＞b＞1，P=，Q=（lga+lgb），R=，则（）．A．R＜P＜QB．P＜Q＜RC．Q＜P＜RD．P＜R＜Q【分析】本例的考查目的是想通过实数大小的比较来考查判断和推理能力，并且是以选择题的形式来考查演绎推理．按常规思路，解本题时主要使用平均值定理来进行判断．∵a＞b＞1，∴lga＞0，lgb＞0，lga≠lgb由平均值定理，得即P＜Q．又a＞0，b＞0，a≠b再次使用平均值定理进行演绎推理，得则而所以Q＜R综上，有P＜Q＜R，选B．演绎推理是由一般到特殊的推理，也就是说：“一个命题在一般情况下成立，那么它在特殊情况下也成立．”它的逆否命题也成立：“如果一个命题在特殊情况下不成立，那么它在一般情况下也不成立．”对于用选择题给出的判断性问题，使用后一种思维进行推理，会更便捷一些．令a=100，b=10，满足a＞b＞1的条件．此时，，=lg55．容易得到P＜Q＜R．于是便可以把A、C、D项排除而选择B项．两种不同的思考和解决问题的方法从不同的角度考查了演绎推理，不同的方法体现了不同的考查要素．高考对演绎推理的考查所使用的素材，有三角、代数的内容，也有立体几何、平面解析几何的内容，命题时从不同的侧面，使用不同的素材，设置不同的情境，全面地进行考查．学生最初学习演绎推理时所使用的素材是平面几何的内容，是从平行线开始的．因此学生头脑中的几何演绎推理模式较强，而代数演绎推理相对较弱．初中学习一元二次方程的理论时，利用根的判别式、根与系数的关系进行演绎推理就感到比较困难．高中的教材中虽然加强了代数演绎推理的教学，如函数单调性的证明、奇偶性的判定，但由于不等代数中缺少几何图形的直观辅助作用，学生对代数演绎推理感到抽象，仍是高中数学的难点之一．再考虑到大学的要求，无论是从选拔还是从对中学教学的正确导向考虑，高考都必须加强对代数演绎推理的考查．在高考走过的路程中，已经积累了宝贵的经验．试题［2001年］已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明（1+m）n＞（1+n）m．【分析】本题以逻辑推理和代数变换为考查目的，选取了排列、组合和二项式定理的内容为依托，通过不等式的证明考查考生的逻辑推证能力．本题对问题所涉及的知识要求很低，涉及的知识内容非常简单，只需要写出排列数、组合数和二项式的展开式，但推理能力要求高，应用排列、组合等知识考查考生的逻辑推理能力．题目突破了已有的用作差或作商证明不等式的方法，要求考生将原不等式展开，以m＜n为起点，逐项比较，进行连续的逻辑推证．中学阶段，形如2n与n2的比较是常见的，推广到一般情形，就是这道考题．实际上，掌握了前者，就不难理解和推导后者．这种从特殊到一般的演进过程，正是《数学科考试说明》中逻辑思维能力所要求的：抽象、概括、归纳、类比．本题的证明方法是最基本的．解题过程中用到的知识和方法完全在《大纲》要求范围之内．余下的工作就是寻找适当的方法，而方法也只是逐项比较大小，并不需要用什么特别的技巧．然而对数学抽象符号的理解要求很高，对于运用数学符号进行思维的要求也很高，蕴涵了与高等数学的衔接，体现出对能力的较高要求，这可以拉开考生的差距，把优秀的学生选拔出来．除了参考答案所列解法外，还可以用数学归纳法证明，当然，这要求考生对数学归纳法有更深层次的理解．照搬一些现成的证明套路是不能奏效的．本题的面目新颖．这类的题目在课本例题、复习资料、模拟试题中比较少见．新颖的题目没有现成方法可借鉴，会使一些考生感到难以入手，从而导致这道题的得分率不高．另一方面，新颖的考题有利于考查学生进入高等学校进一步学习的潜能，这与高考的宗旨是一致的．应当说明的是，本题的考查目的不是要求强化不等式证明中的放缩法的应用，或强化排列、组合公式的灵活应用，或是强化数学归纳法的扩张性应用等某个具体知识点的教学，而是应当强化对数学公式或数学表达式更为基本的理解和基础的分析，使学生能对代数关系式的运算结构有更好的把握，并在此基础上进行有明确目的的运算或变形．本题提高了对解决问题的能力要求，增加了思考的容量，控制了计算量，要求考生抓住问题的实质，对试题提供的信息进行分捡、组合、加工，寻找解决问题的方法．这样的试题，不同于知识型的试题，知识型的试题注重知识的记忆、解题的技巧，常伴有大量的运算，一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型的试题没有固定的模式，难有现成的方法和套路可以套用，思维水平要求高，不强调解题技巧，无须死记硬背，思维容量大，运算量较小，能有效展示考生的思维水平和创造意识．完成这样的试题需要有能力的培养，依靠“题海”和大运动量的操练是难以奏效的．这样的问题作为高考的试题，力图能够考出学生的能力和创新意识．（2）归纳推理．归纳推理和演绎推理是两种不同的思考和推理方法．归纳推理是一种由旧事物发现新事物的推理方法，是创造力的一种成分．虽然数学知识是一个演绎的知识体系，并且演绎推理是数学研究和学习的重要方法，但归纳的方法是获得数学结论的一条重要的途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般结论，形成猜想，然后加以证明，这是数学研究的基本方法之一，是学生应当学习、理解的．归纳推理可分为完全归纳和不完全归纳两种．包括了所有可能情况的归纳称为完全归纳．数学归纳法也是一种完全归纳法．高考对归纳推理的考查是从这两个方面进行的．试题［2002年理科］设数列{an}满足，n=1，2，3，…（Ⅰ）设a1=2，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式；（Ⅱ）设a1≥3时，证明对所有的n≥1，有（i）an≥n+2；（ii）≤．【分析】本题编拟的基本目的是考查代数推理能力，以考查演绎推理为主，兼顾归纳推理，在可能的范围和程度考查数学归纳法．以往在考查数学归纳法时存在这样的情况，即对命题在从n=k是到n=k+1的推证过程中，考生并没有真正理解题目的要求，因为题目已经给出了大于、小于或等于的关系，只是形式地套用数学归纳法的模式，证明已知的关系．因此这次编拟试题的基本原则一是尽量不出现“用数学归纳法证明……”的字样，而在证题过程中自然用到数学归纳法，以避免套用之虞；二是尽量不出现变量间的大于、小于或等于的关系，要求考生自己判断，这样就需要对题目透彻的理解，对结论准确的判断．理科数列试题在编拟之初的原型是这样的：设数列{an}，{bn}满足，．（Ⅰ）设a1=2，求a2，a3，a4，并由此猜想{an}的通项公式；（Ⅱ）当a1=3，b1=4时，比较an与bn的大小，并证明你的结论．在第一问中，由递推公式求出数列的前几项是大纲对递推数列限定的要求，这样设问完全符合大纲的规定．试题在此基础上进一步发展，但并没有要求考生求出数列的通项公式，而是猜想数列的通项公式，这是在不超纲的前提下的创新设计，考查了归纳猜想的能力．数列对首项极其敏感，当a1=2时，很容易定出通项公式an=n+1．但当a1＞2时，an的增长速度很快，很难求出通项公式．当a1=3，b1=4时，在进行an与bn大小的比较时，由于存在一个变化较快的负项－nan和－nbn，因此an与bn的大小关系并不能简单地判定，一个比较常用的方法就是作差，应用数学归纳法进行证明．因此通过这样的题型设计，让学生比较自然地想到应用数学归纳法．同时要求考生先进行判断，再进行证明，达到考查数列和数学归纳法的目的．［2001年新课程理科］解关于x的不等式．【分析】本题主要考查分式不等式的解法，同时考查分类讨论的数学思想方法．本题是一个考查不等式解法的常规题，在解不等式的试题中具有一定的代表性，解题过程用的是通性通法，能够比较全面地考查考生对解不等式问题的掌握程度．然而本题的更重要的考查目的是考查考生的逻辑思维能力，试题设置为分式不等式，解题时必须将其化简，使其等价于两个一次不等式的并；同时在题目中设置了文字参数a，并把a定义为全体实数，解题时需要就a的不同的区间进行分类讨论、求出不等式的解集．本题突出了对逻辑思维能力的考查，对分类讨论和抽象思维提出了很高的要求．同时为突出这一考查目的，题目给出的条件尽量简化，参数只有a，而且a和a2的系数都为1，这样可以简化数字计算，重点考查逻辑思维能力．原不等式的解集是下面不等式组的解集的并集：（Ⅰ）（Ⅱ）分情况讨论：（i）当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式组（Ⅰ）的解集为{x|a＜x＜a2}，不等式组（Ⅱ）的解集为Φ．（ii）当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式组（Ⅰ）的解集为Φ，不等式组（Ⅱ）的解集为{x|a2＜x＜a}．（iii）当a=0或a=1时，原不等式的解集为Φ．综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a=0或a=1时，原不等式的解集为Φ．（3）直觉思维．数学思维主要是形式逻辑思维，逻辑思维操作的对象是概念，并严格遵循形式逻辑推理的规则．直觉思维区别于逻辑思维的重要特征就是在没有经过严格的逻辑推理之前，迅速对事物作出判断，得出结论．而且这种结论还需要严格的逻辑证明．事实上，直觉思维得出的结论并不是主观臆断，而是以扎实的知识为基础，以对事物敏锐的观察、深刻的理解为前提的．直觉思维是指不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质的一种思维方式．在直觉思维过程中，人们以已有的知识为根据，对研究的问题提出合理的猜测和假设，其中含有一个飞跃的过程，往往表现为突然的认识和领悟，直觉思维的特性主要表现在思维对象的整体性、思维产生的突发性、思维过程的非逻辑性、思维结果的创造性和超前性以及思维模式的灵活性和敏捷性等．逻辑思维与直觉思维是两种基本的思维形式．逻辑思维在数学中始终占据着主导的地位，而直觉思维又是思想中最活跃、最积极、最具有创造性的成分，逻辑思维与直觉思维形成了辩证的互补关系，它们的辩证运动构成了完整的数学思维过程．直觉思维为演绎思维提供了动力并指示着方向，逻辑思维则对直觉思维作出检验与反馈，是直觉思维的深入和精化．既然直觉思维与逻辑思维一起组成数学思维，那么在高考命题中，很自然地要考虑如何对直觉思维进行考查．考生在考试过程中直觉思维活动的结果是可以在卷面上反映出来的，但思维过程则很难反映出来．因此，选择题、填空题的题型对考查考生的直觉思维有特别的作用．我们在设计试题时，往往从多种方法、多个角度来考虑，使试题解答尽量应用多种思考方法，给考生提供较为广阔的思维空间．由于考生在解答时思考的思维方式不同，那么他们解题所花费的时间也必定不同．我们便以解答时间的长短来衡量考生的思维水平，解答正确而所用时间较少的考生，其思维水平较高．在他们的思维过程中，必定含有直觉思维的因素．解选择题时，鼓励考生使用“猜”的方法对不对呢？“猜”算不算数学？这些问题在一部分教师中还存在着不同的认识．他们总认为数学就是严格的推理、严密的证明，“猜”怎么能算数学呢？怎么能进入课堂？孰不知，“猜”是直觉思维的特性，是发明创造的基础，是人的素质的标志．科学、合理的猜测是数学能力的体现！我们不鼓励胡猜、乱猜、瞎猜，而提倡合乎情理的猜想．正如一些伟大的数学家所说：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看数学是一门系统的演绎科学，但另一方面创造过程中的数学，看起来更像一门试验性的归纳科学．试题［1998年］向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深入的函数关系如下图，那么水瓶的形状是（）．【分析】本题是一道应用题，其背景是向水瓶注水．围绕这个背景，常见的提问方式是：给定瓶子的形状和尺寸，求注水量与水深的函数关系式及其图像，这样做不仅落入俗套，而且主要的工作是计算、描点画图，思辨性不强．因此，本题的题型设计采取了一个全新的角度，摒弃具体的计算和画图，突出观察、思维和分析能力的考查，把试题设计成定性型的选择题，开创了历年来高考数学试题中所未见的一种新型选择题．题中把瓶子的形状置于选择项，并且不给参数，只是用图突出其形状；同时，用图表示注水量V与水深h的函数关系，图中也把细节隐去，只突出函数图像的起始和终止位置，以及图像曲线的状态，没有切实标出曲线上点坐标的定量关系，在这样的前提下，要求考生判断注水瓶子的形状如何．这样一来，解答本题的思路就不应该抓细微的定量关系，而应该是观图看势，抓其特征，进行分析、思考和判断．因而对思维能力尤其是直觉思维的考查十分突出，比较深刻地考查了灵活运用知识解决问题的能力．解本题时，主要是认真观察所给四个几何体的形状与所给函数图像的关系，抓住特殊位置进行直觉思维，可以取OH的中点，从图像可知，当高为一半时，其体积过半．再看四个几何体，只有B符合，所以B为正确答案．试题［2000年春季理科］已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图像如下，则（）．A．b∈（－∞，0）B．b∈（0，1）C．b∈（1，2）D．b∈（2，+∞）【分析】本题主要考查函数的符号、图像和性质，考查直觉思维和推理判断能力．从图中可以看出，0，1，2是函数f（x）的零点，所以f（0）=f（1）=f（2）=0．即解得b=－3a．从图像可以看出，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，所以应当有a＞0，则b＜0．选A．在解答过程中，当根据题设条件得出b=－3a后，题目给出的数量条件都已经用尽，如果按照常规思维，已经没有别的办法了．但当对函数的图像进行细致入微的观察之后，我们还可以从图像中挖掘出更有价值的信息．根据函数的图像在第一和第三象限无限伸展，经过直觉判断，可以得出a＞0的结论，进而有b＜0．在解决本题的过程中，直觉思维发挥了关键的作用．2．运算能力的考查运算能力是思维能力和运算技能的结合．它不仅包括数的运算，还包括对式的运算，对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和逻辑推理的考查．运算能力主要是数与式的组合与分解变形的能力，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列极限的计算、几何图形中的计算等．运算结果具有存在性、确定性和最简性．运算能力是一项基本能力，在代数、立体几何、平面解析几何等学科中都有所体现．在高考中半数以上的题目需要运算，运算的作用不仅是只求出结果，有时还可以辅助证明．运算能力是最基础的又是应用最广的一种能力．高考对运算能力的考查注重算理和符号运算考查，控制运算量，精确计算与合理估算结合．（1）运算的准确．运算的准确是对运算能力的基本要求，要求考生根据算理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算．影响运算准确的因素是多方面的，只要在运算全过程的某一个环节出现问题，就会导致整个运算的错误．在填空题中，一步算错，整题失分；在解答题中，某步出错，后继部分随之有误，最多只能得一半的分数．在高考中重点强调的是：在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误．试题［2001年］若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）＞0．则a的取值范围是（）．A．B．C．D．（0，+∞）【分析】本题主要考查运用对数函数的性质或对数运算法则进行基本计算的技能和能力．题目所要求的a的取值范围的集合是{a|对任意x∈（－1，0），都有f（x）＞0}其中，f（x）=log2a（x+1），因此，为了得到正确答案，可以应用对数函数的单调性，或者应用对数运算法则求解．解法1根据对数的定义，2a≠1，所以a≠，排除B和D，当x=1时，故排除C，得A为答案．解法2当x∈（－1，0）时，（x+1）∈（0，1），所以f（x）＞0等价于0＜2a＜1得a的取值范围为区间．解法3因为f（x）=log2a（x+1）=，所以f（x）＞0等价于lg（x+1）与lg（2a）有相同的正负性；由对数函数的单调性可知：当x∈（－1，0）时，lg（x+1）＜lg1=0从而f（x）＞0等价于lg（2a）＜0得0＜2a＜1，即0＜a＜．（2）运算的熟练．运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查．在高考中考查运算能力，一般不是增大每题的运算量，而是通过控制每题的运算量，增加题目数量来实现的．增加有效题量，可以增加考核知识点，更重要的是可以增加考核深度，给考生以充裕的时间去想怎么算，而不是把时间花在冗长的计算过程的条理和书写上，过难过繁的计算消耗考生的时间和精力，将会影响对基本概念、方法和其他实践能力的考查．数学试卷全卷的计算量一直是高考命题研究的重要问题．实际上，计算量的大小主要是由高考的性质决定的．应以50％的考生在110分钟内能完成全卷的解答为标准．这里所谓完成，不含复核时间，而且计算量的估计也应以一般通用解法为准．事实上，数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象．同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次．计算量的大小往往也能反映出不同的能力层次．试题［2001年］已知复数z1=i（1－i）3．（Ⅰ）求argz1及|z1|；（Ⅱ）当复数z满足|z|=1，求|z－z1|的最大值．【分析】本题主要考查复数的基本性质和运算，复数的几何意义以及运算和推理能力．第（Ⅰ）问涉及复数的模和辐角的基本概念和运算；第（Ⅱ）问主要检测对于复数的几何意义或复数模的掌握程度．解答本题有多个知识切入口，从而有多种解题的途径，例如可以应用复数的代数形式、复数的三角形式、复数的几何意义解题．如果能熟练地运用本题的多种解法，则表明考生能比较全面地掌握复数的基本知识和解决复数问题的基本思想方法．（Ⅰ）解法1z1=i（1－i）3=2－2i所以．又因为tan（argz1）==－1所以argz1=解法2z1=i（1－i）3=2－2i，将其化为三角形式得z1=2所以argz1=，解法3由z1=i（1－i）3得|z1|=|i（1－i）3|=|i|×|1－i|3=2又因为i的辐角为，i（1－i）3的辐角为，所以z1的辐角为．因为0≤argz1＜2π所以argz1=解法4z1=i（1－i）3=2－2i如图1所示，argz1=．（Ⅱ）解法1设z=cosα+isinα则z－z1=（cosα－2）+i（sinα+2）|z－z1|2=（cosα－2）2+i（sinα+2）2=当=1时，|z－z1|2取得最大值．从而得到|z－z1|的最大值为2+1．解法2因为|z－z1|=|z－（2－2i）|，|z|=1，如图2所示：在单位圆上找一点，使它到已知点A（2，－2）的距离最大，显然点A和坐标原点连线与单位圆交点B对应的复数z使|z－z1|最大，此时|z－z1|的最大值为2+1．解法3因为|z|=1，|z1|=2，又因为|z－z1|≤|z|+|z1|=1+2，所以|z－z1|max=1+2．上式等号仅当复数z，z1对应的向量反向时成立．本题还可以应用复数的代数形式，通过平均值不等式求解；应用余弦定理，通过解三角形求解；应用复数的几何意义，由圆的位置关系求解；甚至还可以由复数模的基本性质求解．不同的解法体现出不同的思维水平，熟练掌握各种解法可以灵活地处理各类问题，增加临场解题的胜算．试题［2002年文理科］设集合M={x|，k∈Z}，N={x|，k∈Z}，则（）．A．M=NB．MNC．MND．【分析】本题主要考查两个无限集合的关系，所给出的集合用算式表示，为了发现它们之间的关系，要求考生具备良好的推算能力和分析比较的技能．本题可以有多种解法，可以先从两个集合中数值的性质比较．因为所以，当k∈Z时，函数f（k）=2k+1的值域是奇数集，而函数f（k）=k+2的值域是整数集Z．奇数集包括在整数集中，所以选项B正确．这个解法运用了函数的思想和观点．也可以用排除法解题．由∈（M∩N）排除D；由1∈N且1M排除A和C，得B正确．还可以考虑等式解得l=2k－1．对任意的整数k，l也为整数，故M中的元素都在N中；而当l是偶数时，不存在整数k使得l=2k－1，故N中有些元素（如）不在M中．从而，得MN．三角中熟练掌握常用的恒等变形，可以提高运算的速度，是高考考查运算能力的一个方面．（3）运算的合理．运算的合理性是运算能力的核心．一般一个较复杂的运算，往往是由多个简单的运算组合而成的．如何确定运算目标？怎样将各部分有机地联系在一起？这是运算合理性的主要标志，是运算能力的体现．随着计算机和计算器技术的发展和普及，只要能设计出运算程序，计算机能够完成一切计算，而且高效、快捷、准确．因此，运算能力的考查重点应放在考查算理，运算途径的判断、选择、设计及相关的字母和代数式的运算，因为这些是要靠人的思维去解决的．运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程中的每一步变形都要有所依据，或依据概念，或依据公式，或依据法则，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现．运算过程包含着思维过程，运算离不开思维．运算的合理性表现在运算目标的确定．运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等，有时是完成推理和判断的工具．对一些比较直接、简单的运算目标一般考生还能把握，但对一些比较复杂的运算目标，需要经过几步运算才能达到最后结果的，考生一般都感到困难，突出表现是三角函数的恒等变形．在1991年以前，对三角函数的考查一般以证明恒等式的形式出现，一般考生不能从等式两边的特点分析出化简的方向，证明中表现的目的性不明确，滥用公式，把有关的三角公式都写上，分辨不出用公式的目的．近年来为加强对运算目的性的考查，将证明恒等式改为求值．一般是给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值，或反之．在求曲线的轨迹方程时，如何消去方程组中的参数，也有确定运算目标的问题．运算的合理性还表现在运算途径的选择．合理选择运算途径不仅是运算迅速的需要，也是运算准确性的保证，运算的步骤越多，越繁琐，出错的可能性也会越大．因而，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，灵活地运用公式、法则和有关的运算律，要求掌握同一个问题的多种运算方法和途径，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择．因此，运算能力的考查中包括了对思维能力的要求以及对思维品质（如思维的灵活性、敏捷性、深刻性）的考查．试题［1996年理科］解不等式．【分析】本题是一道以考查运算能力为主的试题，是解一个对数不等式．解不等式过程中的每一步变形都是同解变形，都要依据有关的法则或定理．实际上，解不等式的过程是一个演绎推理的思维过程，只不过在书写时，不像证明题那样，将理由写得十分充分，而往往将算理省略不写．不写并不等于不要求、不考查．恰恰相反，高考对运算能力的考查突出对算理的考查．它是通过变形过程中的正与误来体现的．试题所给不等式是一个最简单的对数不等式，解这个不等式的首要任务是去掉对数符号，转化为有理不等式．当a＞1时，原不等式等价不等式组：当0＜a＜1时，原不等式等价不等式组：以上等价变形的根据是对数的定义和对数函数的单调性，如果出现错误，则必是算理的错误．在解不等式组时，如果根据：当a＜b时，不等式组的解为x＞b，那么由可解得．如果考生不是根据这一算理进行转化，而是分别解这两个不等式，再求两个不等式解的交集，则说明解题思路上的差异，进而体现出运算能力上的差异．在解不等式时，可以有两种不同的变形．一种变形是＜1－a；另一种变形是1－－a＞0．虽然变形的根据一样，目标也一致，但路径不同．繁简不同，则表现出的运算能力也不相同．这些都是区分考生能力层次的具体体现．试题［2002年］从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）．A．8种B．12种C．16种D．20种【分析】本题主要考查排列、组合原理和正方体的性质以及组合数计算的技能以及分析和推理能力．从6个面中取出3个面的不同取法共有C63种，取出的3个面可分为两类：一类是3个面两两相邻，即3个面有公共点，这时，该公共点必为正方体的顶点，故属于这一类的共有8种取法；另一类是3个面中有2个面不相邻，应用加法原理，则属于这一类的不同的取法种数为也可以把正方体的6个面记为上、下、左、右、前、后，那么从中选取3个面有两个不相邻者可分为3类：第一类：选取的3个面不含前、后面，有4种不同的取法．第二类：选取的3个面不含左、右面，也有4种不同的取法．第三类：选取的3个面不含上、下面，同样有4种不同的取法．应用加法原理，得不同取法数为N=4+4+4=12还可以从正方体的侧面和底面的关系出发进行分析．正方体中不相邻的两个面必然是相对的2个面，有且只有3种情形，即上下面，左右面和前后面．对每种情形，取剩下的4个面中任意1个与其构成3个面，便可得到合乎题意的3个面；反之，任何合乎题意的3个面都可以按这样的方法取得．于是，为了得到合乎题意的3个面，可分为两步进行：第一步，从6个面中选出不相邻的2个面，共有3种取法；第二步，再从剩下的4个面中取1个面，共有4种取法．应用乘法原理，得所求的选取方法种数为N=3×4=12（4）运算的简捷．运算的简捷是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省，运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求．高考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用，尤其是数学思想方法，可以简化运算，提高速度．其中数形结合的思想、函数与方程的思想、等价转化的思想、换元法等数学思想方法在简化运算中都有重要的作用．运算的简捷是对考生思维深刻性、灵活性的考查．试题［2000年］过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则等于（）．A．2aB．C．4aD．【分析】本题主要考查抛物线和直线的基本知识、逻辑推理和计算能力．本题如果直接求解有一定的计算量，从题目给出的四个选项可知为一个定值，因而可用间接法，取直接的特殊位置求解．解法1化抛物线的方程为标准形式：可知抛物线的焦距当直接PQ与抛物线的准线平行时，有p=q=d所以解法2取，得抛物线的议程为x2=4y，焦点坐标为F（0，1）．取直线PQ⊥y，其议程为y=1，代入抛物线方程得x=2，x=－2．P，Q点的坐标分别为（－2，1），（2，1）．验证各选项A、B、D的值分别为，2，16，不等于1，可排除．得C为答案．试题［2002年］已知函数，那么=________．【分析】本题主要考查观察、计算、探索发现规律的能力．题目要求计算7个函数值的和，若逐个计算再相加，其计算量比较大，也容易出错．因此应当细加观察，发现特点，总结规律，以便作出快速、准确的推断．所给的和式中，函数的自变量除第一个是“1”以外，其余6个分为3对，每对由互为倒数的两个数组成，命题时特意将其排在一起．由此启发我们不宜进行机械的计算，可以先求的值，从中发现规律．对任意的实数x都有所以．由此可以注意到，高考对计算能力的考查是多角度、多层次的，尤其是先推理后计算，以推理简化计算等，既体现了对推理能力考查的重视，也体现各种能力成分的有机结合．所以考生在解题时，应力戒呆板、机械．3．空间想象能力的考查所谓空间想象的能力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力．其主要包括四个方面的要求：一是对基本几何图形必须非常熟悉，能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关系．二是能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系．三是能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系．四是有熟练的识图能力，即从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系．事实上，立体图形画在平面上，必然与实际图形产生差异，容易造成错觉．然而，空间想象能力就能克服这种错觉，正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构，能准确领会“点线—线线—线面—面面”之间的联系，并能就解题的根据、需要，对这些关系加以转化，多数情况是把给出的条件转化到某个平面上来，利用平面几何的知识来解题，这就是降维思想，即数学转换思想．同时，空间想象能力还有助于对题中给出的图形进行分解—分割，组合—拼补，变形—转换，位移或从不同视角观察图形，从而寻找出解题的最佳方法．试题［1998年高考数学试题］如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ACBD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）本题要求考生对底面四边形ABCD补充一定的条件，使之能推导出AC⊥B1D1的结论．也即是说，让考生寻求A1C⊥B1D1的一个充分条件，而且该条件是以四边形ABCD的几何元素来表示．这样的条件并不惟一，考生可以在一个比较宽广的天地里展开思考和探索．这是一道开放性的试题，有利于形成考生良好的思维品质，发挥创造性思维．解答本题，应有一定的空间想象能力，观察图形（如右图），进行分析探究．比如，可从考察A1C和B1D1，两直线与平面ABCD的位置关系入手，它们分别是该平面的斜线和平行线，在该平面上的射影分别是AC和BD．因此，为了A1C⊥B1D1，只须A1C⊥BD，根据三垂线定理，为此又只须AC⊥BD．至此，AC⊥BD便可作为该题的答案．而且，四边形ABCD上凡是能够推导得AC⊥BD的其他任何条件都可作为本题的答案．例如：ABCD是菱形；ABCD是正方形；AB=AD且CB=CD；AB=BC且AD=DC，等等．此外，顺便说一句，AC⊥BD还是A1C⊥B1D1的必要条件．为什么？请读者不妨证明一下．当然，解答本题还有别的思路可循．比如，从考察特殊的直四棱柱入手，可以想到正方体是性质最为丰富的直四棱柱，这时B1D1⊥对角面A1ACC1，从而A1C⊥B1D1，因此可知，ABCD是正方形可作为该题答案．再如，又可从考虑A1C⊥B1D1的必要条件入手，再判断其充分性．这个思路又有多种途径，举个例子：当AC⊥B1D1时，因为B1D1⊥A1A，A1A∩A1C=A1，所以B1D1⊥平面A1AC；因为AC平面A1AC，所以AC⊥B1D1，又BD∥B1D1，故AC⊥BD．这个条件是四边形ABCD所满足的一个条件，上述的推理证明了它是A1C⊥B1D1的必要条件，由上述推理可逆知它又是A1C⊥B1D1的充分条件，可作为本题答案．逆推过程可简述如下：当AC⊥BD时，因BD∥B1D1，故B1D1⊥AC，又B1D1⊥A1A，得B1D1⊥平面A1AC，而A1C平面A1AC，所以A1C⊥B1D1．试题［1998年高考数学试题］已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求点C到侧面A1ABB1的距离．【分析】第（Ⅰ）问，欲求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小，必须先构造出该角来．根据侧面A1ACC1⊥底面ABC．（如右图）可作A1D⊥AC于点D，易知∠A1AC就是A1A与底面ABC所成角．由于△A1AC是等要直角三角形，故∠A1AC=45°．第（Ⅱ）问，本题是关于求二面角的大小问题．常有两种处理途径：第一种是先通过构造二面角的平面角，再尽量将其构置在一个特殊的图形之中，结合三角知识来求得．另一种途径是利用公式cosα=来求得，其中α是二面角大小，S原图形是指二面角中一个面内某个图形的面积．S射影图形是指该图形在另一个面上的射影图形的面积．然而，由侧面A1ABB1上没有已知图形面积，因此，在求二面角的大小时，就很少考虑到这种方法了．具体地表述为如下几种解题方法．解法1因为第（Ⅰ）问中证得A1D⊥平面ABC，所以，可以三垂线定理或其逆定理作为根据，构造二面角的平面角．如图A，在平面A1ABB1内作AE⊥AB于点E，连结DE，易知∠A1ED就是二面角A1－AB－C的平面角．只要在RtΔA1DE中，利用已知条件求得A1D，DE，从而使问题获得解决．解法2因为已知∠ABC=90°，即AB⊥BC，所以，可考虑到以定义作根据，构作二面角A1－AB－C的平面角．即在平面A1ABB1内作BF⊥AB，并交A1B1于点F（如图B），则易知∠FBC就是二面角A1－AB－C的平面角．因此，剩下的问题就是要将该角构置于一个特殊的平面图形中，再结合三角知识等来处理．在平面A1B1C1内作FG平行B1C1，交A1C1于点G，于是A1B1⊥平面FBCG，容易证明CG⊥A1C1，G和F点分别是A1C1，A1B1的中点．因此，CG=，FG=1，FB1=，BB1=CC1=，所以BF==2，CF==2，故ΔFBC为正三角形，则∠FBC=60°．解法3取A1C1的中点G，则平面BCG交直线A1B1于点F，连结FG，BF（如图B）．由平面A1B1C1∥平面ABC，则BC∥FG，易证，∠FBC是二面角A1－AB－C的平面角．同解法2可求∠FBC=60°．此外，根据已知条件及图形的特点，本题还可以考虑应用成题的结论作解答．例如，由于平面ABC上平面A1ACC1（如图A），易证，cos∠A1AB=cos∠BAC·cos∠A1AC，而由（Ⅰ）可知，∠A1AC=45°，AB=2，又因为AC=2，则cos∠BAC=，所以cos∠A1AB=，可求得sin∠A1AB=．设所求二面角为α，则即cos∠A1AC=cos∠BAC·cos∠BAA1+sin∠BAC·sin∠BAA1·cosα，由此易求得cosα=，则α=60°．第（Ⅲ）问，本题是求点到平面的距离．其常规做法有两种，其一是将该距离当作线段长，再将它构置在一个特殊的平面图形中作解答．其二是把该距离看作某几何体的高，通过等体积法来处理．因此有如下解题方法：解法1由第Ⅱ问的解法2可知，平面A1ABB1⊥平面FBCG，ΔFBC是等边三角形，所以ΔCFB的边BF上的高CH（如图A）必满足CH⊥平面A1ABB1．因此，CH=就是所求．解法2如图B，作A1D⊥AC于点D，A1E⊥AB于E，连结DE．作CH⊥平面A1ABB1于点H，连结AH，交A1E于点F．易证，DF=CH，A1D=，DE=1，所以，A1E=2，DF=．故CH=2DF=．解法3本题还可以考虑用等体积法求解．例如，在三棱锥C－A1AB中，如图B，过点C作CH⊥平面A1ABB1于点H，易证A1到平面ABC的距离为，SΔABC=2，=2，故可推得CH=．即点C到平面A1ABB1的距离为．解法4把斜三棱柱ABC－A1B1C1补成如下图所示的平行六面体，设所求的距离为d，则d也是平面ABB1A1与平面CMM1C1间距离．作A1D⊥AC于点D，作A1E⊥AB于点E，则V平行六面体=·A1D=·d由上述可得，A1D=，AB=2，A1E=2所以本题以斜三棱柱为载体，在有别于往年试题的形体的新形式中，全面地考查了直线、平面之间的关系以及棱柱的性质、空间的角和距离的概念及体积公式，同时也考查了逻辑推理能力、空间想象能力及运算能力．4．分析问题和解决问题的能力的考查能阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括具有实际意义的或在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．前述的三种能力可以说是数学领域中的基本数学能力，而分析问题与解决问题的能力是一种综合数学能力，反映出思维的更高层次．这里所说的要解决的“问题”，包括纯数学问题和实际应用问题．对于纯数学问题，分析和解决问题的思维活动表现为：（1）能从题目的条件中提取有用的信息，从题目的求解（或求证）中考虑需要的信息；（2）能在记忆系统里储存的数学信息中提取有关的信息，作为解决本题的依据，推动（1）中信息的延伸；（3）将（1），（2）中获得的信息联系起来，进行加工、组合，主要是通过分析和综合，一方面从已知到未知，另一方面从未知到已知，寻找正反两个方向的知识“衔接点”——一个固有的或确定的数学关系；（4）将（3）中的思维过程整理，形成一个从条件到结论的行动序列．试题（本题的（Ⅰ）、（Ⅱ）为必答题，（Ⅲ）为附加题）（Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（Ⅲ）（附加题）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【分析】本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力．通过数学科的高考，倡导重视数学应用，是从1993年开始的，已经经历了十个年头．这些年来，尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样那样的缺陷，但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系，引导考生置身于现实社会大环境中，关心身边的数学问题，具有良好的导向，也促进了中学数学教学加强数学应用的研究，推动数学教学改革．这种命题方向得到数学教育界的普遍肯定．回顾这些年来高考中有关数学应用的问题，所涉及的知识面上还存在一定的局限性，多数是函数知识和数列知识的运用．前年试题选择题中出现的“民房屋顶面积”问题，各地反映良好，去年设计的“纸片剪拼”问题，目的在于尝试开拓数学应用的新领域．用纸片做有规则的几何体模型，是《立体几何》课本的要求，如习题七中的第1题和习题八中的第1题．本试题的设计是在这个基础上，增加剪拼模型的条件的限制，提高操作难度，以期考查出空间想象能力和动手操作能力．由于这种试题第一次出现，注意由浅入深，首先是剪拼“正三棱锥”，这与习题八第1题相似，是多数考生能够完成的．其次用正三角形纸片剪拼“正三棱柱”，要有较丰富的想象力，本题有多种剪拼方法，充分体现“开放性”，给考生提供广阔的思维空间．再次，将纸片一般化为任意三角形、剪拼“直三棱柱”，考查的是能力的迁移，将具体的问题抽象化，难度较高，估计绝大多数考生在限时内难以完成、，故作为“附加题”出现，能完成者有“奖励分”．这种问题的提出估计能解答者甚少，但能倡导探究，倡导创造、发现，对于培养高素质的人才是有益的．理解“全面积相等”的条件，就是剪拼出来的几何体不能缺某个面，也不能剪拼成几何体后还剩余纸片，但纸片的裁剪块数是没有限制的，因之有多种剪拼方法．解：（Ⅰ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角．余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．（Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V柱＞V锥．推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为．现在计算它们的高：，．∴所以，V柱＞V锥．（Ⅲ）（附加题）如图3，分别连续三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型．正三棱柱的其他剪拼方法：方法1按图4，取三角形三边中点剪出①、②两个小三角形为正三棱柱的上、下底面，将平行四边形③等分为三个小平行四边形，再分别解为矩形作为侧面．方法2按图5，取三角形两边的中点，剪出①、②、③三个小三角形，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；再将矩形④三等分，分别作为三棱柱的一个侧面．方法3按图6，取三角形边的三等分点，剪出①、②、③三个小三角形，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；剪出小三角形⑤、⑥，拼为一个等边三角形，再剪拼为矩形，进而将矩形三等分，分别拼入④、⑦、⑧三个矩形中，作为棱柱的三个侧面．方法4按图7，取三角形边的四等分点，先剪出小三角形①、②、③和矩形④，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；再剪出小三角形⑧、⑨，矩形⑥，五边形⑤、⑦．⑤+⑧，⑦+⑨，均可成为矩形，其面积同矩形⑥；进而将矩形④三等分，分别拼入上述三个矩形中，作为棱柱的三个侧面．依此类推可得出一般的剪拼方法：将等边三角形的一边等分为奇数条线段，可按方法3剪拼成正三棱柱；将等边三角形的一边等分为偶数条线段，可按方法4剪拼成正三棱柱．这是一道新颖的立体几何应用题．从前年在选择题中判断“民房屋顶面积”关注立体几何的实际应用之后，去年加大了对立体几何结合生活实际的考查，通过解答题来体现．制作形体的模型，是生产和生活实际中一项重要的技能．学习立体几何的时候，往往也通过观察和制作几何模型来提高空间想象能力．考查几何模型的制作，有利于倡导动手实践，关注立体几何知识与现实生活中形体的联系．试题设计注意到推出一类新鲜问题时难度层次的把握．首先，剪拼一个“正三棱锥”，这是一个类同于课本习题的问题，绝大多数考生都能操作．其次，剪拼一个“正三棱柱”，巧妙之处在于条件“全面积相等”，即给出的正三角形纸片要用完，不能多余也不能缺．由于不设定其他条件，比如底面边长或高的限制，因之有多种剪拼方法，是一道成功的“开放性”试题．题中提出的“请设计一种剪拼方法”，充分体现把解答问题的主动权交给考生，为考生创设出广阔的思维空间．再次，将给出的特殊三角形的纸片一般化，研究对于任意三角形的纸片能否剪拼成直三棱柱的问题，是思维的深层次发展，作为限时考试的高考，要完成的难度较高，故作为“附加题”处理，甚为合适，就算绝大多数考生未能作答，却可以留下悬念，鼓励考生加强探索，敢于创新，不要让学习停留在解答故有的习题上，永远只能亦步亦趋．试题［1997年高考数学试题］甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米／小时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／小时）的函数，并指出这个函数的定义域．（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？本题的编制，汲取了前几年的经验，从如下两方面加以改进：（1）试题背景更加贴近考生生活．实际问题中汽车成本的核算涉及许多方面，比如，汽车本身的损耗（折旧）、汽油的消耗、养路、保险、驾驶员的劳务费等等，还有是否满载，是否计算往返，速度与时间的关系……众多的因素错综复杂地交织在一起，总不能一一表述，必须抽取主要因素，适当地加工简化，使之成为考生在短时间内能领会并建模的数学问题．于是试题设计时将单位成本分成两类：一类是固定成本，包括劳务、养路、保险等；另一类是可变成本，包括汽油消耗、汽车损耗等．后者与速度有关，前者与速度无关．但仅仅如此，数学能力考查的层次不够．考虑到现实生活中汽车必须限速，其中包括汽车性能本身限制的最高速度，或者路面上允许的汽车最高速度，故题中加上速度限制的条件，适当提高试题的难度，达到考查较高的能力层次的要求．（2）适当地引入字母（符号）表示数量，帮助考生克服自设参变量的困难．特别是给出“甲、乙两地相距s千米”这一条件，本来对于要求“最佳速度”是不起作用的，事实上s只影响“全程的运输成本”．这个条件实际上是启发考生注意到关系式：“全程的运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间”，而全程运输时间是路程与速度之比．参变量“s”的给出，在很大程度上降低了试题的入手难度．试题的第（Ⅰ）问，解答是显然的，主要是抓住了关系式：全程的运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间．由于知道汽车是匀速行驶，速度为v，全程为s，所以行驶全程的时间是．又知道单位时间的运输成本包括两部分，固定部分是a元，可变部分是bv2，故可得函数关系式及其定义域为试题的第（Ⅱ）问，有关函数取得最小值时自变量的取值问题，主要有三条思路：①运用基本不等式；②运用一元二次方程的判别式；③讨论函数的增减性．但思路①与②只能解决当0＜≤c时v的取值，当＞c时，最终还得靠讨论函数的增减性来解决．所以，通过函数增减性的讨论，能对本问作出较完满的解答．即设，有（1）若≤c，当0＜v1＜v2≤时，v1v2＜，a＞bv1v2所以a－bv1v2＞0又v1v2＞0，v2－v1＞0所以f（v1）＞f（v2）当＜v1＜v2≤c时，知a－bv1v2＜0，且v1v2＞0，v2－v1＞0所以f（v1）＜f（v2）所以u在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以时，u最小，即全程运输成本y最小．（2）若＞c，当0＜v1＜v2≤c时，因为a＞bc2，有a－bv1v2＞a－bc2＞0，且v2－v1＞0，v1v2＞0，所以f（v1）