江苏科技大学高数A1复习题

编辑版编辑版word复习题(一)极限与连续1.设yf(x)的定义域是(0,1],(x)1lnx,则复合函数1.设yf(x)的定义域是(0,1],(x)1lnx,则复合函数yf[(x)]的定义域为2.当X.ax0时,arctan3x与 cosx是等价无穷小，则a3.limX11 623x65x24.设lim(

n(D)lnx(oiim)f(x)不存在(D)lnx(oiim)f(x)不存在(D)㈣f(x)111.设f(x)2x|x4x3x,则limf(x)为(x0(A)1 (B)1 (C)12 3 4(D)不存在sin2x-,x0.已知f(x)ln(x1) 在x=0处连续，则k=23x2xk,x0… 21,一 ，、…一, 、….x0是ycos2—的第 类间断点，且为 间断点.x x1.若函数y- ,则它的间断点是x3x2TOC\o"1-5"\h\z.当x0时，下列变量中是无穷小量的有( )。(A)sin1 (B) (C)2x1x x9.已知lim上3 0,且f(0)1,那么( )x0(A)f(x)在x0处不连续 (B)f(x)在x0处连续12.设f(x) 2x3x2,则当x0时，有(f(x)与f(x)与x是等价无穷小;f(x)与x是同阶但非等价无穷小;f(x)是比f(x)是比x高阶的无穷小;f(x)是比x低阶的无穷小。13.当13.当x0时，下列四个无穷小量中,哪一个是比另外三个更高阶的无穷小(，“、 2，“、 2(A)x; (B)1COsx；(C)由x21 ；(D)xtanx。14.求下列极限lim、xlim、x2x \X2xXxarcsinxlim 3 x0sinxtanxsinxlim 3tanxsinxlim 3—x0ln(1x)1 1lim(1x0xex1(5) lim(sinx)tanxx_2x(5) lim(sinx)tanxx_2xtt0(ee)dtlim x0 1cosx(6)tanx)i

x1cosxlim(1x)tan—xlxm1xx1xlnxlim(n1

n212nlxm1xx1xlnxlim(n1

n212n22n)15.设f(x)1arctanlx1bexe，a与b的值，使f(x)在()上处处连续。1x.设f(x)lim——汨，讨论f(x)在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型n1x(0,1)，使f().设f(x)在［0,1］上连续，且0(0,1)，使f()(二)导数与微分、导数的定义(1)f(x0)存在,him0f(x0ah)f(x0bh)函数f(x)2 1xcos-x0 … (1)f(x0)存在,him0f(x0ah)f(x0bh)函数f(x)2 1xcos-x0 … 八……一L在点x0处是否连续？是否可导?0函数f(x)b(1x2)0处处可导，求a,b.0二、求下列函数的导数1 x(1yln1 x1 x(2)y..x.xlntan-1nsec一2x(3)yarctan 21x4)y(5)已知yln(xVa2x2),求y,y.(6)已知ycos2xlnx,求y,y⑺已知yxne2x1,求y⑺.三、隐函数的导数下列各题中的方程均确定 y是x的函数(1)exysin(xy)1求y,y(0).(2)求曲线y3y22x在点(1,1)处的切线方程和法线方程(3)ytan(xy)求y,y.四、利用取对数求导法求下列函数的导数2 ~~T 小x 3x tanx(1)y--3r 2 (2)y(sinx)x.(3x)五、求下列各函数的导数(其中f可导)yf(cosx)cosf(x),求yx.2(2)设yf(xb),其中b为常数，f存在二阶导数，求y六、求参数方程的导数(1)设xetsin2t*dy(1)设d2y.dx2d2y.dx21n%’1t2,求一阶导数曳及二阶导数arctant dx七、求下列函数的微分yarcsinJx2的微分dy。(2)求隐函数xyexy的微分dy。(三)中值定理与导数的应用1、下列结论中正确的有( )。A、如果点x0是函数fx的极值点，则有fx0=0；B、如果fXo=0,则点Xo必是函数fx的极值点；C、如果点X0是函数fx的极值点，且fXo存在，则必有fX0=0;

D、函数fx在区间a,b内的极大值一定大于极小值。2、函数fx在点x0处连续但不可导，则该点一定（A、是极值点BA、是极值点B、不是极值点C、不是拐点D、不是驻点3、函数y x3 x2在其定义域内A、单调减少BA、单调减少B、单调增加C、图形下凹D、图形上凹4、设在区间a,b4、设在区间a,b内fx0,f0,则在区间a,b内曲线fX的图形（A.沿A.沿X轴正向下降且为凹的C.沿X轴正向下降且为凸的B.沿X轴正向上升且为凹的D.沿X轴正向上升且为凸的5、曲线1的拐点为（6、7、A.A、C、D、2,0Xo时,B.1,1Xo时,点X0是函数fX的极小值点；点（X0,fX5、曲线1的拐点为（6、7、A.A、C、D、2,0Xo时,B.1,1Xo时,点X0是函数fX的极小值点；点（X0,fX0）必是曲线yf点X0不一定是曲线yfx的拐点X0时，fX0 ；当XX0时，fA、极大值点B、极小值点8、设f（x）的导数在x=2连续，又A、x=2是f（X）的极小值点C、C.0,2D.不存在0,则下列结论正确的是（B、点X0是函数fX的极大值点的拐点x0,则点X0一定是函数fx的（C、驻点limS)X2X2B、（2,f⑵）是曲线Vf（x）的拐点D、以上都不对x=2是f（X）的极大值点D、x=2D、x=2不是f（x）的极值点，（2,f（2））也不是曲线Vf（x）的拐点.3.29、点（0,1遢曲线yaxbx c的拐点，则（).A、aw0,b=0,c=1B、a为任意实数，bA、aw0,b=0,c=1B、a为任意实数，b=0,c=1C、D、a=-1,b=2,c=110、设yf(X)为方程y2y4y0的个解，若f（X。）0,且f（X。）0,则f(x)在X0处（A、取得极大值C、在某邻域内单调增加B、取得极小值D、在某邻域内单调减少3X 11、曲线y——的铅直渐近线是 。x2 12、函数yx22kx1在X 1处取得极小值，则k。13、曲线xy4在点(2,2)处的曲率为,曲线ysinxex的弧微分为。14、函数f(x)xeX带皮亚诺余项的n阶麦克劳林公式。15、确定函数y=x-ln(1+x2)的单调增减区间。3 216、确定函数f(x)2x9x12x3的单调增减区间。17、求函数yarctanxx的极值。18、求曲线y3x44x31的凹凸区间与拐点。19、求函数y=x2e-X在区间［-1,3］上的最大值与最小值。220、判别曲线f(X)(X1)x5的凹凸性，求拐点的坐标、极值，以及在卜1,1］上的最值。21、铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20km,ACXAB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货物从B运到工厂C的运费最省，问D点应如何选取？TOC\o"1-5"\h\z22、证明：当X1时，X1X2」一。2 1x2x23、证明：2arctanxarcsin 2 。1x24、设f(x)在［a,b］上二阶可导，f(a)f(b)0,f(a)f(b)0。证明(1)存在(a,b),使得f()0。(2)存在(a,b),使得f() 0。25、设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)0,证明：存在(a,b)，使得f()f()g()0。(四)不定积分一、填空与选择：.函数fx5x2的通过点渥3,5<3的积分曲线为..若fx的导数是sinx,则fx的所有原函数为..设某平面曲线经过点1,0且曲线上每一点Px,y的切线斜率为2x2,则此曲线的方程为

.已知fx的一个原函数是lnxN1x2，则xfxdx=2.设fsinxtan2x,贝Ufx=.rfex.设fxlnx,贝U f:dx=.e7.flnxx、fInxdx= c”x2 ABxC.设 2 i ，则A,B,C2x1xx12x1xx11.下列函数不是,的原函数的是xx2(A)arcsin2x1(B)arccos12x(C)2arctan(D)lnx.x21.设fex x1,则fx等于(C)x2C(D)xlnxC(A)1x2xC(C)x2C(D)xlnxC2二、计算下列不定积分：11.2x1 5x110xdx12.x4x42 3 dx

x13.cos2x2 ~2-dxcosxsinx2x.2x.14.xedx22 x.15.xarctanxdx 16. dx9x25.x,17. dx,1x220.sin5xsin7xdx23.esinxsin2xdxcc 2 ,26.xcosxdx 3cosxsinx29. 2—dx1sinx18.xdx1x21.3xdx1x424.dx12x、x—x।127.dx2x%x130.x2 ,dxx27x1219.22.sint

tdtdx25.x31x2dx2x1.28.edx31.x1x22xdx532.dxG41x三、综合题：.设fxsnx，求xfxdxx.设fx xex，求fxInxdx.设Fx为fx的一个原函数，当x0时有fxFxsin2x,且F0 1,Fx0,求fx.设Intannxdx,n2,3,,… 1ni(1)证明：In tanxIn2n1(2)计算： tan4dx（五）定积分t2t2)dt计算—cos(

dxsinx2(oxetdt)2计算lim三一二x00te2t出x1 (x1)计算f(x)2x2 (x1)求0f(x)dx计算2Vcosxcos3xdx25计算5计算1工dx01x21o6计算xeXdx09计算户 dXX21x210计算12一dxx、1lnx11计算1xarctanxdx112计算11.1『dx113112计算11.1『dx113计算21(2xarcsinx,1x2sinx、，)dx1x214计算设f(x)eetdt,求I1f(x)dx、b1,求xf(x)f(x)dx

a.设函数f他)在(、b1,求xf(x)f(x)dx

a.设函数f他)在()内满足f(x) f(x)sinx,且f(x)x,x[0,3)，计算f(x)dx.设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导且f(x)0F(x)x0f(t)dt,证明在(a,b)内b15.若f(x)在[a,b]上具有连续的导数，且f(a)f(b)0,又f2(x)dxa恒有F(x)018.设f(x)在[a,a]a0上连续，证明:sin2x并求积分： 4sinxxdx41ea一af(x)dxa0[f(x)f(x)]dx19设f(x)在［a,b］上连续，且单调增加，证明btf(t)dtabf(t)dta120.设函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且43f(x)dxf(0).证明在(0,1)内存在一点c,使a21右函数f(x)在［0,1］上连续，证明：ox3f(x2)dx1a2oxf(x)dx(a0)。(六)定积分的应用1、求曲线yx222、求椭圆x2—31,直线xy3和x轴、y轴所围成的区域的面积。21与土y21所围公共图形的面积。33、设曲线x,/y,x个2y2及y0,围成一平面图形.⑴求这个平面图形的面积；(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.4、过坐标原点作曲线y1nx的切线，该切线与曲线y1nx及x轴围成平面图形D,(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积 V.5、求a的值，使曲线ya(1x2)(a0)与在点(-1,0)和(1,0)处的法线所围成的平面图形的面积最小.6、曲线y22x2和yJ1x2围成一平面图形.求(1)该平面图形的面积.(2)将该平面分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积.7、设由抛物线yx2(x0),直线ya2(0a1