导数专题-零点专练-2023届高考数学二轮复习（含答案详解）

导数专题—零点专练-2023届高考数学二轮复习导数专题——零点专练1.已知函数在处取得极值．当时，求曲线在处的切线方程；若函数有三个零点，求实数的取值范围．2.若函数，当时，函数有极值．求函数的极大值；若方程在上有三个零点，求实数的取值范围．3.函数．

讨论函数的极值；

当时，求函数的零点个数．4.已知函数．若在处取得极小值，求实数的值；当时，设函数，讨论的零点个数．5.已知函数，．若，讨论在区间上的单调性；若，是关于的方程的两个相异实根，且，是的两个零点，证明：．6.已知函数．根据函数单调性的定义，研究的单调性．若有唯一零点，求的值．7.已知函数．

设，．

求方程的根；

若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；

若，，函数有且只有个零点，求的值．8.已知函数，，其中为自然对数的底数，．求曲线在点处的切线方程；证明：函数有唯一零点；判断方程实数根的个数．9.已知函数．若有两个零点，的取值范围若方程有两个实根、，且，证明：．答案和解析1.【答案】解：由题意可得，

所以，

即，

即，经检验符合题意所以．

当时，，，

所以，，

所以在处的切线方程为，即．

令，则设，

则与的图象有三个交点．

，

及时，

时，

所以在、递增，在递减，

又因为，．

又当时，；

当时，，

要使函数有三个零点，只需，即．

所以的取值范围为．

2.【答案】解：因为，所以，由题意知解得所以所求的解析式为；所以，令，解得或，当或时，

当时，

即在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，所以，由可知在和上单调递增，在上单调递减，又，，，，函数图象如下所示：

因为方程在上有三个零点，即与在上有个交点，由函数图象可知，即．3.【答案】解：，

当时，，在上为单调增函数，无极值，

当时，

由，，在上为单调增函数，

由，，在上为单调减函数，

所以，，无极大值．

综上所述：当时，无极值，

当时，，无极大值．

由知当时，在上为单调增函数，

在上为单调减函数，，

而，当时，，

当时，；

当，即时，无零点，

当，即时，有个零点，

当，即时，有个零点，

综上：当时，无零点，

当时，有个零点，

当时，有个零点．

4.【答案】解：因为，

所以，得，

因为，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值，符合题意，

故实数的值为．

根据题意，函数的零点问题转化为直线与函数图象的公共点问题，

由可知当时，在上单调递减，在上单调递增，且，

又当趋近于时，，且趋近于，当趋近于时，趋近于，

当或时，直线与函数的图象有一个公共点，函数的零点个数为，

当时，直线与函数的图象有两个公共点，函数的零点个数为，当时，直线与函数的图象没有公共点，函数的零点个数为．

5.【答案】解：，，令，解得，

当时，，有，单调递增，

当时，，有，单调递减，

，有，单调递增，

综上所述，当时，在上单调递增

当时，在上单调递减，在上单调递增．

先证．

方程等价于，

令，则，为曲线与直线交点的横坐标，

易知，令，解得，

当，有，单调递减且，当，有，单调递增，

又，要使曲线与直线有两个交点，可设，

，，即，

令，，则，

在上单调递减，

，，即，

，即．

再证．

易知，令，解得，

当，有，单调递增，

当，有，单调递减，

可设，要证，即证．

在单调递增，即证，

令，

则，

易得，当，，单调递增，

，，即，

，综上所述，．

6.【答案】解的定义域为，对任意的，有，

所以函数为偶函数

考虑在上的单调性：，，且，

有

由，得，，，于是，

即，所以在上单调递增．

又因为是偶函数，所以在上单调递减．

综上所述，在区间上单调递增，在区间上单调递减．

解法一：因为

将的图象向左平移个单位得到，

对任意的，有，故是偶函数．

要使有唯一零点，即有唯一零点，而的图象关于轴对称，

故，求得．

由可知，当时，在区间上单调递增，在上单调递减，

又，故可知有唯一零点，符合题意，故．

解法二：因为，

，

所以，即为的对称轴．

要使函数有唯一零点，所以的零点只能为，

即，解得

由可知，当时，在区间上单调递增，在上单调递减，

又，故可知有唯一零点，符合题意，故．

7.【答案】解：函数．

设，．

方程，即，即，

可得，解得；

不等式恒成立，

即恒成立．

令，．

不等式化为在时恒成立．

可得：或

即或，

．

实数的最大值为；

，

，

，可得，

令，则是递增函数，

又，，

因此，时，，

因此时，，，则．

时，，，则，

则在单调递减，单调递增，因此的最小值为

若，时，，，则，

因此当，且时，，因此在有零点，

则至少有两个零点，与条件矛盾．

若，函数有且只有个零点，的最小值为，可得，

由，

因此，因此，则，即，，则．

可得．

8.【答案】解：因为，所以．

所以，，

所以曲线点处的切线方程．

因为的定义域为，

当时，，

当时，由，

所以在上单调递增，

又，，且函数图象连续不间断，

所以，有．

综上所述，函数在上有唯一的零点．

由可知：在上恒小于零，在上恒大于零．

设函数，

当时，，

所以，

因为，，

所以，即函数在上单调增．

又因为，

，

所以函数在上存在唯一零点，即方程在上存在唯一的根．

当时，，

由于，，则，

所以，

所以函数在上无零点，即方程在上没有根．

综上所述，方程有且只有一个实根．

9.【答案】解：函数的定义域为，

当时，函数无零点，不合题意，所以．

由，可得，

设函数，其中，

所以直线与函数的图象有两个交点，

，由可得，列表如下：增函数极大值减函数所以函数的极大值，如下图所示：

且当时，，

由图可知：当时，即当时，直线与函数