2023年中考九年级数学高频考点 专题训练 -圆的切线的证明

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--圆的切线的证明一、综合题1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE=2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH=9，tanC=342．如图，已知△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AB与⊙O相切于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠B=33°，⊙O的半径为1，求BD的长．（结果精确到0.01）3．如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=12（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若sinB=354．如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE=3cm.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长，5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠AEO+∠BCD=90°；（2）若AC=CD=3，求⊙O的半径。6．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，弧AC=弧BD，AE与弦CD的延长线垂直，垂足为E．（1）求证：AE与半圆O相切；（2）若DE=2，AE=237．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C=90°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CDB=60°，AB=18，求AD的长．8．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°．（1）如图①，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是弧CD的中点，求∠ABE的度数；（2）如图②，以点B为圆心的圆与边AC相切于点F，与BC交于点G，求∠GFC的度数．9．已知二次函数y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3（m是常数）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）如果二次函数的图象经过原点．①求m的值；②若m＜0，点C是一次函数y＝﹣x+b（b＞0）图象上的一点，且∠ACB＝90°，求b的取值范围；（2）当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．10．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B，E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=3511．如图，点M在矩形ABCD的边AD延长线上，以AM为直径作⊙O交AC于点F，点E在CD边上，且EC=EF.（1）求证∶EF是⊙O的切线;（2）若cos∠CAD=3512．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交⊙O于点E．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC=PF；（3）若AC=8，tan∠ABC=4313．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．14．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF•DA．15．如图，直径为10的半圆O，tan∠DBC=34（1）求证：BE为⊙O切线；（2）求证：BG2=FG•CE；（3）求OG的值．16．在屏幕上有如下内容:如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的题长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答。（1）在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长，请你解答。（2）以下是小明、小思的对话:小明:我加的条件是BD=1，就可以求出AD的长。小聪:你这样太简单了，我加的是∠A=30°，连结OC，就可证明△ACB与△DCO全等。参考此对话:在屏幕内容中添加条件，编制一道题（可以添线、添字母），并解答。

答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵D是AC的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE=90°，∴∠E+∠EAF=90°，∵∠AOE=2∠C，∠CAE=2∠C，∴∠CAE=∠AOE，∴∠E+∠AOE=90°，∴∠EAO=90°，∴AE是⊙O的切线（2）解：∵∠C=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴tanC=∴设HF=3x，DF=4x，∴DH=5x=9，∴x=9∴DF=365，∵∠C=∠FDH，∠DFH=∠CFD，∴△DFH∽△CFD，∴DFCF∴CF=36∴AF=CF=48设OA=OD=x，∴OF=x−36∵AF∴(48解得：x=10，∴OA=10，∴直径AB的长为20．2．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线（2）解：在Rt△BDO中，BD=CDtan3．【答案】（1）证明：连接OE，∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，∴∠BGF=∠C=90°，∴FG∥AC，∴∠OFG=∠A，∴∠OFE=12∴∠OFE=∠EFG，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∴∠OEF=∠EFG，∴OE∥FG，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=35∴OB=53r，BE=4∴BF=OB+OF=83∴FG=BF•sinB=85∴BG=BF2−F∴EG=BG﹣BE=45∴S△FGE=12EG•FG=1625r∵BC是切线，∴∠GEH=∠EFG，∵∠EGH=∠FGE，∴△EGH∽△FGE，∴S△EGHS△FGE=（EGFG）∴S△EHG=14S△FGE=4254．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAO，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD//OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线（2）解：如图，连接BC，OE，∵E是BC的中点，OE=3cm，∴AC=6cm，∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，半径OA=5cm，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，AB=10cm，又∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，则ADAC∴AD=5．【答案】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵EO⊥AB∴∠A+∠AEO=90°∴∠AEO=∠ABC∵OC=OB∴∠ABC=∠OCB∴∠AEO=∠OCB∵CD与⊙O相切，∴∠OCD=90°，∠AEO+∠BCD=90°．（2）解：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO∵AC=CD，∴∠A=∠D∵∠A+∠D+∠ACO+∠OCD=180°．∴3∠A+90°=180°∴∠A=30°，∵AC=3，∴AB=AC∴⊙O半径为3．6．【答案】（1）证明：连接AC，∵∴即∴∠CAB=∠ACD，∴AB∥CE，∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠EAB=90°，∴AE⊥AB，∵OA为半径，∴AE与半圆O相切；（2）解：连接AD，取AD的中点F，连接EF、OD，∵RtΔADE中，∠AED=∴AD=∵F是AD的中点，∴EF=∴ED=EF=DF=2，∴△DEF是等边三角形，∴∠EDA=60°，由（1）知：AB∥CF∴∠DAO=∠EDA=60°，∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，OA=AD=4，∴7．【答案】（1）证明：连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODB=∠CBD．∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠ODB+∠CDB=90°，即∠ODC=90°，∴OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠CDB=60°，∴∠CBD=90°−∠CDB=30°，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°．∵AB=18，∴AO=1∴AD8．【答案】（1）解：连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是弧CD的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°-32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB-∠BCD＝58°-45°＝13°，故∠ABE＝∠ACD＝13°；（2）解：连接BF，∵AC与⊙B相切于点F，∴BF⊥AC，∴∠BFA＝∠BFC＝90°，∵∠BAC＝32°，∴∠ABF＝58°，∴∠CBF＝90°-58°＝32°，∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠BGF＝74°，∴∠GFC＝90°-∠BFG＝90°-74°＝16°．9．【答案】（1）解：①∵二次函数的图象经过原点，∴m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝3．②∵m＜0，∴m＝﹣1．把m＝﹣1代入y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3中，得：y＝x2﹣4x．当y＝x2﹣4x＝0时，x1＝0，x2＝4，∴AB＝4．以AB为直径作⊙P，根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y＝﹣x+b（b＞0）的图象与圆相交时，可得∠ACB＝90°．如图，一次函数y＝﹣x+b（b＞0）的图象与⊙P相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得∠PCF＝90°．当x＝0时，y＝﹣x+b＝b，∴点E（0，b）；当y＝﹣x+b＝0时，x＝b，∴点F（b，0）．∴AE＝AF＝b，∴∠PFC＝45°．又∵∠PCF＝90°，∴△PCF为等腰直角三角形，∴PF＝2PC＝22，∴b＝AF＝2+22．∴b的取值范围为0＜b≤2+22（2）解：∵y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3＝（x+m﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1﹣m．①当1﹣m≤﹣0.5，即m≥1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝2时，函数最大值为5，∴（2+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝2或m＝﹣4（舍去）；②当1﹣m＞﹣0.5，即m＜1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝﹣3时，函数最大值为5，∴（﹣3+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝1或m＝7（舍去）．综上所述，m＝2或m＝1．10．【答案】（1）证明：连接OE，∵AB=BC且D是AC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE//BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．（2）解：∵BD=6，sinC=35∴BC=10，∴AB=BC=10，设⊙O的半径为r，则AO=10−r，∵OE//BD，∴△AOE∽△ABD∴OEBD=AO∴r=15答：⊙O的半径是15411．【答案】（1）解：证明：连接OF，∵在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°∵EC=EF，∴∠EFC=∠DCA，∵OF=OA，∴∠OFA=∠CAD，∴∠EFC+∠OFA=90°，∴∠OFE=90°，即EF⊥OF，又OF是⊙O半径，∴EF是⊙O的切线；（2）连接MF，∵AM是直径，∴∠AFM=90°，在Rt△AMF中，cos∠CAD=AF∴AF=6，6AM=3∵MD=2，∴AD=8，在Rt△ACD中，cos∠CAD=ADAC∴8AC=35，∴FC=403-6=12．【答案】（1）证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又AD⊥PD，∴OC⊥PD，∴PC与⊙O相切；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∴弧AE=弧BE，∴∠ABE=∠ECB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵∠BCP+∠OCB=90°，∴∠BCP=∠BAC，∵∠BAC=∠BEC，∴∠BCP=∠BEC，∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，∠PCF=∠ECB+∠BCP，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF；（3）解：连接AE，在Rt△ACB中，tan∠ABC=43∴BC=6，由勾股定理得，AB=AC∵弧AE=弧BE，∴AE=BE，则△AEB为等腰直角三角形，∴BE=2213．【答案】（1）解：如图，⊙C为所求（2）解：∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=CDBC∴CD=3cos30°=33∴的长=60·π·3314．【答案】（1）证明：如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·DA．