正方形的性质与判定第2课时正方形的判定课件九年数学北师大版上册

第2课时正方形的判定知识点1

用定义判定正方形1.如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明(

)A.AB＝BD且AC⊥BDB.∠A＝∠B且AB＝ADC.∠A＝∠B且AC＝BDD.AC和BD互相垂直平分B2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相等且互相平分,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,可添加的条件是

.(写出一个条件即可)

AB＝BC(答案不唯一)

3.如图,已知D是△ABC的边AB的中点,四边形BCED是平行四边形.(1)求证:四边形ADCE是平行四边形;(2)若AC＝BC,AC⊥BC,求证:四边形ADCE是正方形.证明:(1)∵四边形BCED是平行四边形,∴BD∥CE,BD＝CE.∵D是AB的中点,∴AD＝BD,∴AD＝CE.又∵AD∥CE,∴四边形ADCE是平行四边形.4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形,则这个条件可以是

.(写出一个即可)

知识点2

已知菱形再判定正方形

AC＝BD(答案不唯一)

5.[教材P25习题第3题改编]如图,已知E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,并且AF＝BP＝CQ＝DE.求证:(1)EF＝FP＝PQ＝QE;(2)四边形EFPQ是正方形.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°,AB＝BC＝CD＝AD.∵AF＝BP＝CQ＝DE,∴DF＝AP＝BQ＝CE,∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS),∴EF＝FP＝PQ＝QE.(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE,∴四边形EFPQ是菱形.∵△APF≌△BQP,∴∠AFP＝∠BPQ.∵∠AFP＋∠APF＝90°,∴∠APF＋∠BPQ＝90°,∴∠FPQ＝90°,∴菱形EFPQ是正方形.6.如图,在矩形纸片ABCD中,AB＝6cm,BC＝8cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为(

)A.6cm B.4cm C.3cm D.2cm知识点3

已知矩形再判定正方形D7.如图,等边△AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF＝45°.求证:矩形ABCD是正方形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵△AEF是等边三角形,∴AE＝AF,∠AEF＝∠AFE＝60°.∵∠CEF＝45°,∴∠CFE＝∠CEF＝45°,∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°,∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AB＝AD,∴矩形ABCD是正方形.8.[改编]学习了正方形的判定之后,徐老师提出问题:要判断一个四边形是正方形,有哪些思路?甲同学说:先判定四边形是菱形,再确定这个菱形有一个角是直角.乙同学说:先判定四边形是矩形,再确定这个矩形有一组邻边相等.丙同学说:判定四边形的对角线相等,并且互相垂直平分.丁同学说:先判定四边形是平行四边形,再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等.上述四名同学的说法中,正确的是(

)A.甲、乙 B.甲、丙C.乙、丙、丁 D.甲、乙、丙、丁D9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,则下列结论:①OA＝OD;②AD⊥EF;③AE＋DF＝AF＋DE;④当∠BAC＝90°时,四边形AEDF是正方形.其中一定正确的结论是(

)A.①②③ B.②③④

C.①③④ D.①②③④B证明:(1)∵AB＝AC,AD是BC边上的中线,∴BD＝CD.∵BF∥EC,∴∠BFD＝∠CED.又∵∠BDF＝∠CDE,∴△BDF≌△CDE(AAS).12.如图,在等边△ABC中,过边AB上一点D作DE⊥BC,垂足为E,过边AC上一点G作GF⊥BC,垂足为F,BE＝CF,连接DG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)连接AF,当∠BAF＝3∠FAC时,求证:四边形DEFG是正方形.证明:(1)∵DE⊥BC,GF⊥BC,∴∠DEF＝∠GFC＝90°,∴DE∥GF.∵∠B＝∠C＝60°,BE＝CF,∠DEB＝∠GFC＝90°,∴△BDE≌△CGF(ASA),∴DE＝GF,∴四边形DEFG是平行四边形.(2)∵∠DEF＝90°,∴▱DEFG是矩形.∵∠BAC＝60°,∠BAF＝3∠FAC,∴∠GAF＝15°.在△CGF中,∵∠C＝60°,∠GFC＝90°,∴∠CGF＝30°,∴∠GFA＝15°,∴∠GAF＝∠GFA,∴GA＝GF.∵DG∥BC,∴∠ADG＝∠B＝60°,∴△DAG是等边三角形,∴GA＝GD,∴GD＝GF,∴矩形DEFG是正方形.13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.(1)求证:CE＝AD.(2)填空:①当AB＝

BD时,四边形BECD是菱形;

②在①的基础上,当∠A的度数为

时,