圆内接四边形的性质与判定

1.3.2圆内接四边形的性质与判定自学导引1.圆内接多边形

(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．

(2)同样，如果四边形的四个顶点都在同一个圆上，则称该四边形为圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2.圆内接四边形的两个性质定理

(1)定理：圆的内接四边形的

．并且任何一个外角都等于

．对角互补它的内对角3．圆内接四边形的判定定理

(1)圆内接四边形的判定定理

如果一个四边形的

，那么这个四边形的四个顶点共圆．

对角互补(3)判断四点共圆的常用方法①如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆；②如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．试一试：判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．提示(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．名师点睛1．(1)要注意圆内接四边形的四个内角都是圆周角这一特点．利用圆周角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，从而得出圆内接四边形性质.

(2)圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新方法．2．掌握圆的内接四边形需注意的问题

(1)在圆内接四边形的判定定理的证明中，利用了穷举法．所谓的“穷举法”就是当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情况分别论证，最后获证结论的方法．在每一种情形的证明中都用到了反证法，要注意这些方法的应用．

(2)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关系可以用集合形式表示：{圆内接四边形}⊆{圆内接多边形}．

(3)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；三角形一定存在外接圆，并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点；圆内接梯形一定是等腰梯形等．

(4)要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用．例1如图，圆⊙O和⊙O1相交于A，B两点，经过点A，B的直线EF，MN与两圆分别相交于E，F；M，N.求证：EF//FN.证明：连接AB.因为四边形ABEM是⊙O的内接四边形，所以∠ABF=∠M.又因为四边形ABFN是⊙O1内接四边形，所以∠ABF

+∠N=180°.所以EF//FN.例2如图，四边形ABCD内接于⊙O，过A作⊙O的切线交CB的延长线于P，已知∠EAD=∠PCA.求证：DA2=CD×BP.证明：因为EP是⊙O的切线，所以所以∠EAD=∠DCA，∠PAB=∠PCA.又因为∠EAD=∠PCA

，所以∠DCA=∠PAB=∠PCA，所以AD=AB.又因为圆内接四边形ABCD，所以∠PBA=∠D，所以△DCA与△BAP相似，因此因为AD=AB，所以

DA2=CD×BP.例3如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且造公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.已知：如图，∠C，∠D在AB同侧，∠C=∠D.求证：△ABC和△ABD有公共的外接圆.证明：如图，作△ABC的外接圆⊙O，在⊙O的弧AB上取点E，是E与C在AB的两侧.因为A，E，B，C四点共圆，所以∠ACB+∠AEB=180°.又已知∠ACB=∠ADB，所以∠ADB+∠AEB=180°.因此A，E，B，D四点共圆.因为过不共线的三点A，E，B只有一个圆，即⊙O，所以A，B，C，D四点共圆.即△ABC和△ABD有公共的外接圆.方法技巧综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决

问题【示例1】

已知CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.

求证：A、B、P、Q四点共圆．

[思维启迪]

首先，连接PQ，要证A、B、P、Q四点共圆，只要利用判定定理或推论即可．而由题目中的垂直条件易得Q、F、P、C四点共圆，再考虑利用圆内接四边形的性质．证明连接PQ，在四边形QFPC中，因为PF⊥BC，FQ⊥AC，所以∠FQA＝∠FPC＝90°.所以Q、F、P、C四点共圆．所以∠QFC＝∠QPC.又因为CF⊥AB，所以∠QFC与∠QFA互余．而∠A与∠QFA也互余，所以∠A＝∠QFC.所以∠A＝∠QPC.所以A、B、P、Q四点共圆．

反思感悟熟练掌握圆内接四边形的判定定理及其推论．【示例2】

(2011·辽宁高考)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.

(1)证明：CD∥AB；

(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．

[思维启迪]

利用圆内接四边形的性质与判定定理证明．证明(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，B