余弦定理 课件

1．1．2余弦定理复习正弦定理适用类型1.已知三角形的两边及一对角。2.已知两角及任意一边。如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.试做下题分析：用正弦定理无法解此三角形对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？即在△ABC中，已知边a和b，以及角C，求边c.如果角C是90°，那么可以用勾股定理求c的长.如果角C不是直角，是否可以构造直角三角形再来求边c的长。当∠C是锐角时，高AD把△ABC分成两个直角三角形ADB和ADC，算出c的关键是先算出AD和BD（或DC）。AD=bsinC，BD=a－bcosC当∠C是钝角时，过A做BC的垂线交BC延长线于D。AD=bsinC，BD=a－bcosC

不论∠C是锐角、钝角还是直角，都有AD=bsinC，

BD=a－bcosC。在RT△ADB中，运用勾股定理，得

c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a－bcosC)2=a2+b2－2abcosC.同理可得b2=a2+c2－2accosB.a2=b2+c2－2bccosA.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即用向量来研究这个问题.设，，，那么，从而余弦定理变式试用类型已知三边求任意角余弦定理适应的类型：1.已知两边和夹角，解三角形。2.已知三边，解三角形。先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角．[例2]

在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求角A、B和边c的值．[变式训练2]如图，已知AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长．分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三角形内角平分线定理可求出BD长，再解△ABD即可求出AD长．解析：在△ABC中，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋52－2×3×5·cos120°＝49，∴BC＝7，设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.[例3]在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确定此三角形的形状．当a＝b时，△ABC为等腰三角形；当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．[变式训练3]

(2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．例1.如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.解：由余弦定理，得因此例2.如图，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=，求此三角形各个角的大小及其面积。解：由余弦定理得因此∠C=120°，（精确到0.1）再由正弦定理，得因此∠A=36.6°，或∠A=143.6°（不合题意，舍去）因此∠B=180°－(∠A+∠C)=23.4°.设BC边上的高为AD，则AD=csinB=sin23.4°≈1.73.所以，△ABC的面积是例3.如图△ABC的顶点为A(6，5)，B(－2，8)和C(4，1)，求∠A.(精确到0.10)解：根据两点间距离公式，得在△ABC中，由余弦定理得因此∠A≈84.0°.练习：已知△ABC，求证1.若a2+b2=c2

，则∠C为直角。2.若a2+b2>c2

，则∠C为锐角。3.若a2+b2<c2

，则∠C为钝角。例4.求证：在△ABC中，证明：由余弦定理，得同理可证，其余两式。例5.△ABC中，（1）若求∠A；（2）若求最大的内角。解：（1）由正弦定理得a2=b2+c2+bc，即b2+c2－a2=－bc，所以故∠A=120°；（2）因为，所以∠C为最大角，设a=(－1)k，b=(+1)k，c=10k，故最大内角C为120°.例6.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。解：由正弦定理，R为△ABC的外接圆半径，将原式化为4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B

=8R2sinBsinCcosBcosC，所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC，因为sinBsinC≠0，所以sinBsinC=cosBcosC，即cos(B+C)=0，从而∠B+∠C=90°，∠A=90°，故△ABC为直角三角形。解2：将已知等式变形为b2(1－cos2C)+c2(1－cos2B)=2bccosBcosC，由余弦定理得即得，得b2+c2=a2，故△ABC是直角三角形。小结1.余弦定理2.余弦定理适用类型思考：在解三角形问题中，知道哪些元素便可以通过我们所学知识解出三角形其他元素？三角形六个元素中除了三个角以外的任意三个元素。作业：书后8页练习A2.、3练习B1、2例7.在△ABC中，已知a2－a=2(b+c)，a+2b=2c－3；（1）若sinC:sinA=4:，求a，b，c；（2）求△ABC的最大角的弧度数。解：（1）由可设c=4k，a=所以即从而或k=1.又因为时，b<0