天津工业大学14151应用统计期末复习

14-15-1硕士生《应用统计》期末复习一、填空题1.设总体,(X,X,,X)是取X~N(0,)21220自X的样本，求系数，使（1）Y__，（2）Z_X~(9)922ii1X10~t(9)Y_，（3）(XXX2)_______22~F(10,9).1XXX110W222111219解：因为，所以X~N(0,2)且相互独立，X,X,,X~N(0,2)1220XXX,,,20~N(0,1)从而且相互独立。于12是（1）X2，即，所求（）2Y19X~9~（9）9i222i2i1i11系数为.2（2）X，且与相互1Y9X~9（）~N(0,1)1022i2i1X103X独立，故~t(9)，即Z10~t(9)，所求YY/93系数为.（3）仿照（1）中的分析知，，X210~（10）i22i1X2i2，且二者相互独立，故19~（29）i11X2X2i1010i/1022，即9，所求系~F10,9（）~F（10,9）Wi1i110X2iX2i21919/9i112i11数为9.1012.设，则______，当充~nX~t(n)X2分大时，_________。近似X~解：由X~t(n)知，，从而X~F(1,n)21~F(n,1)；X2再由t分布的性质知，当充分大时，n近似X~N(0,1).3.设母体X~N(,2)，是XX,X,,X12n的一个子样，子样均值X1nXn，修正子ii1，当2已知时，的样方差1n1S*2n(XX)2ii1置信概率为1的置信区间为_______；当2已知时，若要检验，那么检验统计量H:0H:001U______~_______________，在显著水平为时，拒绝域_______。W解：①的点估计可取为；XUX取枢轴量~N(0,1).0n1给定置信概率为时，的置信区间为0)n(Xu,Xu.0n22②当已知时，若要检验2，那么检验统计量H:H:0010UX，在显著水平为时，时~N(0,1)0n拒绝域XW：0u。n4.在3因子、2水平、考虑交互作用的正交实验设计中，（1）请在,,,,L(2)L(2)L(2)L(2)311157481216和中选择适用于该问题的正交L(3)L(34)91327表：_______。（2）将因子A,B，C分别安排在第2，3，4列；由表1可知A与B的交互作用应安排在第_____列；则第______列是空白列。列号123456列号765432654321745234761567213表1两列间的交互作用表（3）对于第4次试验所采用的各因子水平组合应参考表中试验号为______的行和列号分别为______的列得知；（4）完成所有试验后进行数据分析时，应参考表中列号为______的列上的QE数据及各次试验值来求得；方差分析表中,离差平方和对应的自由度为______；QE（5）如果显著性检验的结果是认为因子A对试验指标的影响显著，那么为求得因子A的一个最优水平，应先分别求出列号为______的列上数据为i（i=1,2）的各______个试验值的算术平均值，再比较上述平均值的大小，即可找出A的有利于试验指标的那个水平.解：（1）选正交表的原则是：ss2；①水平数：取表需要②表的列数：表中每个因子占1列；

每对一级交互作用占（水平数-1）列，从而rr试验因子数（试验水平数1）一表需要C3(21）6；23③为使试验次数n尽可能小，选正交表.L(27)8（2）设计表头：在考虑交互作用的情形下，A,B若依次放在L(27)的第2、3列上；则8查两列交互作用表AB应放在第1列；A,C若依次放在的第2、4列上；则L(2)78AC查两列交互作用表应放在第6列；B,C若依次放在的第3、4列上；则查L(2)78两列交互作用表应放在第7列；于是AB第5列成为空白列。（3）对于第4次试验所采用的各因子水平组合应参考表中试验号为4的行和列号分别为2、3、4的列得知；（4）完成所有试验后进行数据分析时，Q应参考表中列号为5的列上的数据E及各次试验值来求得；方差分析表中，离差平方和Q,Q,Q对应的自由度均为CABs1211s，对应的自由度均BCQ,Q,QACAB为，Q对应的自由度均为(1)12Tn1817，从而Q对应的自由度为E（n1）3(s1)3(s1)27331.（5）如果显著性检验的结果是认为因子A对试验指标的影响显著，那么为求得因子A的一个最优水平，应先分别求出列号为2的列（因子A所在的列）上数据为i（i=1,2）的各4个试验值的算术平均值，再比较上述平均值的大小，即可找出A的有利于试验指标的那个水平.二、设的概率密度为Xx1,0x10,elsef(x),其中0是未知参数。1.求的矩估计；解：母体有1个未知参数.①母体的1阶矩：1E(X)xf(x)dx1xx1dx01.xdx101nAXX.②子样的1阶矩：n1ii1③令A：即X，解得111X()2.1X2.求的最大似然估计。解：①似然函数取为：nL()(x1),0x1,i1,2,,n.iii1②取对数1lnL[ln(1)lnx]n2ii1③求最大值点，令：dlnL11[lnx]ind22i112[1lnx]ini112(nlnx)0ini1n()2.解得nlnxii1三、设的概率密度为X1xf(x)e,x0，问X是否为的优0,x0效估计。，故X是的解：（1）E()E(X)无偏估计；2（2）D()D(X)D(X).nnR-C（3）求下界Ilnf(X;)Rlnf(x;))2(I()E()2f(x;)dx0112xx)](e[ln(e)dx0x1)](e2x[(ln)dx0()(e)dx1x1x2201(x)2(e1)dxD(X)1x4401I2D()nI()nR即：X是的优效估计.四、某厂生产一种灯，寿命X~N(,2)，,2均未知，现抽取16只产品，测得其寿命分别为159,280,101,212,224,379,179,264,222,362,168,250,149,260,485,170.问是否有理由认为灯的平均寿命为0.05225小时（）？解：属于单个正态母体、方差未知情形下对均值的假设检验。HH:225:225①作假设01X225S*/nHt(n1)~0②检验统计量T③给定显著水平，拒绝域为：W：Tt(n1).2④这里，算得n16x241.5,s*98.7259，从而T0.6685；又0.05，查表得，故：t(n1)t(15)2.13150.0252Tt(n1)，于是应接受H，认为与22502无显著差异.即有理由认为灯的平均寿命为225小时.五、（P169Ex5）为考察温度对某化工产品得率的影响，选了5种不同的温度，在每一温度下各做了3次试验，测得结果如下：温度()6065707580909796848492939683868892938882C0得率(%)问：①温度对得率有无显著影响(0.05)？2②求，；1③求与时平均得率之差的置60C080C0信区间；解：试验指标——产品得率；因子A——温度；水平数r5；各水平下的试验5；则nn15i次数in3,i1,2,,5.i1①假设检验作假设H:012345.H:不是所有都相同1iFSA2H~0F(r1,nr)S2检验统计量E给定显著水平，拒绝域为：W：FF(r1,nr)F(4,10)3.48.0.05这里，算得下表子样均值子样值()n(XX)2n(ii1XniXij0C（得率）ijij1inij190，92，8897，93，9296，96，9384，83，8884，86，820)5)0)5)0)90949585848146148Q50EQ353.6TX89.6Q于是有方差分析表：平方和自由度均方离差F值临界值3.48303.6r-1=475.915.850.0n-r=105.0353.6n-1=14即认为温度对得率有显著影响.X90，2S25.②11E③给定1，的置信区间为：15(XXt(nr)11S,XXt(nr)11Snn1nn115E155522其中，t(nr)t(10)2.22810.025x90,x584,，12S25nn3,.E15故所求置信区间为(1.932,10.068).六、在某细纱机上进行断头率测定，试验锭子总数为440个，测得各锭子的断头次数纪录如下：头数0123456数2631123819311试检验各锭子的断头数是否服从泊松分布？(0.05)iH:P(Xi)e0解：①作假设，i!，未知，i0,1,2,0②泊松分布中参数的最大似然估计为1lxmx*0.664niii1③np4400.664ie226.5970.664i,i0,1,i!0.664i!i，于是有大子样列表：1234567150.37049.89311.0361.8310.2430.07150.37049.8931123819313.1401111238279.7912.89514.61912④并组后l4,k1,lk，检验统计量(mnp)24~2(2)H02iinpi近似i1拒绝域为W：(2）(2)5.991.2220.05H这里，2，故应拒绝，33.094(2)20即认为各锭的断纱数X不服从泊松分布。七、要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各抽取8个，组成8对，再随机选取8架飞机，将8对轮胎随机配给8架飞机，作耐磨试验，飞行了一定的起落次数后，测得轮胎磨损量（单位：mg）数据如下：4900，5220，5500，6020，6340，7660，8650，甲）4930，4900，5140，5700，6110，6880，7930，乙）假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满2足：，，相互独X,YX~N(,)Y~N(,)212立，问这两种轮胎的耐磨性有无显著差0.05异？()解：①作假设H:H:201211②检验统计量XYHt(nn2)~0T，其中1112S*nn12S(n1)S*2(n1)S*2*21X2Ynn212③给定显著水平，拒绝域W：Tt(nn2).122nn8，算得_x6145④这时，12s*21867314，5852y_s21204429，从*XYT；而0.5160.05又，查表知t(nn2)t(14)2.1448，120.0252Tt(nn2)，于是接受H，即故1202认为这两种轮胎的耐磨性无显著性的差异。八、某企业欲了解每周产品广告费x与销售额Y（单位均为万元）间的关系，记录n了10周的数据(x,y)，,并已i1,2,,10ii算得：x32,L450,y376,L9000,L1800。yyxyxx.~N(0,2).假设：，其中Yββx011.求最小二乘估计值β和β，回归直01线的估计，指出β的经